精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年高一上学期阶段性学业质量检测数学试题

2024—2025学年度第一学期阶段性学业质量检测 高一数学试题 一、单选题（本题本题每小题5分共40分） 1. 下列函数图象中，可以表示非奇非偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 是（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 函数的最小值及取得最小值时的值为（ ） A. 当时最小值为 B. 当时最小值为 C. 当时最小值为 D. 当时最小值为 6. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 二、多选题（本题本题每小题6分共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 定义域为 B. 的值域为 C. 为增函数 D. 的图象关于坐标原点对称 10. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若“，”为假命题，则 C. 设，，则“”充分不必要条件是“” D. {是无理数}，是无理数 11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 存在，使得 三、填空题（本题每小题5分，共15分） 12. 若集合，，则_________． 13. 已知定义在上的偶函数满足当时，则_________． 14. 已知，若恒成立，写出符合条件的正整数_________.（写出一个即可） 四、解答题（本题共77分） 15. 已知幂函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 17. 已知函数. （1）判断在区间上单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域. 18. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 19. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等. 例如，，求证. 证明：. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为. 结合阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期阶段性学业质量检测 高一数学试题 一、单选题（本题本题每小题5分共40分） 1. 下列函数图象中，可以表示非奇非偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数及偶函数的对称性分别判断各个选项. 【详解】对于A:函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，A选项错误； 对于B:函数图象关于原点对称，函数为奇函数，B选项错误； 对于C:函数图象关于原点对称，函数为奇函数，C选项错误； 对于D:函数图象既不关于y轴对称也不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，D选项正确. 故选：D 2. 是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可得一定成立，所以充分性成立； 反之：当时，不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：C. 3. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的并集和补集的关系，结合韦恩图法，即可求解. 【详解】因为集合，则 所以图中阴影部分表示的集合是或， 故选: A. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法，以及不等式的性质，即可判断选项. 【详解】A.，其中，，，， 所以，即，故A错误； B.若，若，则，则，若，则，则，故B正确； C.若，则，且，所以，故C错误； D.若，则，，所以，故D错误. 故选：B 5. 函数的最小值及取得最小值时的值为（ ） A. 当时最小值为 B. 当时最小值为 C. 当时最小值为 D. 当时最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】对于函数，可将其化简为，然后利用基本不等式（当且仅当时取等号）来求函数的最小值. 【详解】化简函数, 因为，根据基本不等式则. 所以. 当且仅当时取等号，解方程，得到，解得. 故函数的最小值为，取得最小值时的值为. 故选：D. 6. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，可直接得出结果. 【详解】因为为奇函数， 所以， 即，所以. 故选：A 7. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类讨论与，求解范围. 【详解】由的定义域为， 对称轴, 当时，在单调递减，则，， 而函数的值域为，则，解得，故， 当时，在单调递减，在单调递增， 则，， ，故，解得， 故， 综上所述，的取值范围为， 故选：A 8. 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 二、多选题（本题本题每小题6分共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为增函数 D. 的图象关于坐标原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等概念.分别对每个选项进行分析判断即可. 【详解】对于选项A：对于分段函数，当， 时有意义，所以的定义域为，选项A正确. 对于选项B：当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 综合起来，的值域为，选项B正确. 对于选项C：当时，是单调递增的. 当时，是单调递增的. 但是在处不连续，例如取，，，，当时，，并不满足对于任意的都有，所以不是增函数，选项C错误. 对于选项D：对于奇函数，有. 当时，，，. 当时，，，. 所以是奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项D正确. 故选：ABD 10. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若“，”为假命题，则 C. 设，，则“”的充分不必要条件是“” D. {是无理数}，是无理数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定形式，即可判断A，转化为命题的否定，根据命题为真命题，即可求解，判断B，举例说明，并判断CD. 【详解】A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可知A正确； B.由题意可知，命题“”为真命题，即，即，故B错误； C.，不能推出，例如，，反过来，也不能推出，例如，，是的既不充分也不必要条件，故C错误； D.是无理数，也是无理数，故D正确. 故选：AD 11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据题意得到且中元素不能出现在中，故；B选项，与是相同的，所以；C选项，推出；D选项，表达出，结合，，得到，故. 【详解】A选项，且，则， 故，且中元素不能出现在中，故，A正确； B选项，且，则， 即与是相同，所以，B正确； C选项，因为，所以，故，C错误； D选项，， 其中，， 故， 而， 故，D错误. 故选：AB 三、填空题（本题每小题5分，共15分） 12. 若集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解集合和，再求. 【详解】，得或，即 ，解得：，即， 所以. 故答案为： 13. 已知定义在上的偶函数满足当时，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先需要明确偶函数的性质，即.然后根据已知的分段函数表达式求出，再进一步求出. 【详解】因为是偶函数，所以. 当时，由于，根据，可得. 因为，所以. 又因为是偶函数，所以. 当时，由于，根据分段函数， 可得. 所以. 故答案为：2. 14. 已知，若恒成立，写出符合条件的正整数_________.（写出一个即可） 【答案】1（，，，任一个都行，答案不唯一）. 【解析】 【分析】先对进行变形，然后利用基本不等式求出其最小值，再根据恒成立的条件确定的取值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是， 因为恒成立，所以，， 又因为是正整数，所以，，. 故答案为：1（，，，任一个都行，答案不唯一）. 四、解答题（本题共77分） 15. 已知幂函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，幂函数， 可得，即，解得或， 当时，函数为奇函数， 当时，为非奇非偶函数， 因为为奇函数，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集结果得到，求出，检验后满足要求； （2）得到为的子集，分和两种情况，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 ，， ， 故，解得， 此时，满足， 故 【小问2详解】 “”是“”的充分条件， 故为的子集， 若，此时，解得， 若，此时，解得， 综上，实数a的取值范围是. 17. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域. 【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明见解析 （2）函数为奇函数，在区间上的值域为 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域. 【小问1详解】 在区间上单调递增，证明如下： ，，且， 有. 因为，，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增. 【小问2详解】 的定义域为. 因为，所以为奇函数. 由（1）得在区间上单调递增， 结合奇偶性可得在区间上单调递增. 又因为，，所以在区间上的值域为. 18. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】（1）长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【小问1详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； 【小问2详解】 设矩形用地平行于横向过道一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 19. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等. 例如，，求证. 证明：. 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数，满足，求的最小值. 解：由，得，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为. 结合阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将直接代入所求式子即可求解. （2）由题可得，代入化简，令，结合基本不等式即可求出的最大值，进而得出的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 由题知，， ， 因为， 所以， 所以， 令， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等， 所以， 所以， 所以， 所以， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$