精品解析：安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

独山中学2024-2025学年度第一学期高二年级 期中考试数学试卷（学业水平考试模拟） 满分：100分 时间：90分钟 必修一、必修二 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分总计54分） 1. 已知集合，，，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则（ ） A. 的否定：，，且的否定是假命题 B. 的否定：，，且的否定是真命题 C. 的否定：，，且的否定是假命题 D. 的否定：，，且的否定是真命题 4. 从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第行和第行） A. B. C. D. 5. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且， 则 11. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 设，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15. 把函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数满足，且函数的图像关于直线对称，当时，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 17. 如图，三棱锥中，为边长为的等边三角形，是线段的中点，，且，，，则与平面所成角的正切值为 A. B. C. D. 18. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若是对立事件，则 B. 若A，B是互斥事件，，则 C. 若是独立事件，，则 D. 若，且，则是独立事件 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分总计16分） 19. 函数（且）的图象必过定点___________. 20. 若某圆锥高为4，其侧面积与底面积之比为3：1，则该圆锥的体积为__________. 21. 已知是上的奇函数，且当时，，则函数在上的零点的个数是______. 22. 已知，则______. 三、解答题（每题10分总计30分） 23. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 24. 如图，在四面体中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 25. 为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图： 组数 速度（千米/小时） 参赛人数（单位：人） 少年组 300 成年组 600 专业组 （1）求a，b的值； （2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）； （3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山中学2024-2025学年度第一学期高二年级 期中考试数学试卷（学业水平考试模拟） 满分：100分 时间：90分钟 必修一、必修二 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分总计54分） 1. 已知集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合补集交集的定义进行求解即可． 【详解】解：， 则， 则， 故选D． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据复数的几何意义计算可得； 【详解】解：复数的实部为，虚部为，故其对应的坐标为． 故选：D 【点睛】本题考查复数的几何意义的理解，属于基础题. 3. 设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则（ ） A. 的否定：，，且的否定是假命题 B. 的否定：，，且的否定是真命题 C. 的否定：，，且的否定是假命题 D. 的否定：，，且的否定是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】写出全称命题的否定，再判断其真假. 【详解】原命题的否定：，． 由于原命题是真命题，所以其否定是假命题． 故选：C 4. 从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第行和第行） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用随机数表可列举出样本前个同学的编号，即可得解. 【详解】由随机数表法可知，样本前个同学的编号依次为、、、， 故选出的第个同学的编号为. 故选：C. 5. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、、与、，根据零点存在定理即可求解. 【详解】由题意知函数在R上单调递增， ，， ，，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选：C. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，代入关系式即可求得的值． 【详解】因为，若，则，解得. 故选：B 7. 中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，从而得解. 【详解】由有， 由正弦定理有，又， 即， 所以， 又，则. 故选：D 8. 用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果. 【详解】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为. 故选：D 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】由，得或，则A错误． 由，得或相交，则B错误． 由，得或，则C错误． 由，得，则D正确． 故选：D 10. 已知a、b、c、d均为实数， 则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且， 则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可． 【详解】选项A，当，时，满足，但，A选项错误； 选项B，取，，，，满足且，但，B选项错误； 选项C，当时，有，，， 则，有，C选项错误； 选项D，且，则，， 则，得，D选项正确． 故选：D． 11. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB. 【详解】函数的定义域为，， 即函数为奇函数，故CD错误； 由可知，C错误，A正确； 故选：A 12. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可得解. 【详解】. 故选D. 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式及同角三角函数关系，属于基础题. 13. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“0”、“1”分析判断. 【详解】因为在上单调递增，且，则，即， 又因为在上单调递减，且，则，即， 又因为在上单调递减，且，则，即， 所以. 故选：B. 14. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，且，结合“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4 故选：C 15. 把函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数图象平移与变换解出结果即可. 【详解】将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，再把所得图像向右平移个单位长度， 得到的图象. 故选：A. 16. 已知函数满足，且函数的图像关于直线对称，当时，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴方程得到函数为偶函数；根据条件得到函数是周期函数，且，从而根据函数的奇偶性和周期性求的值. 【详解】因为关于直线对称， 所以关于直线对称，即函数为偶函数， 因为，所以函数是周期函数，且， 所以. 故选：B. 17. 如图，三棱锥中，为边长为的等边三角形，是线段的中点，，且，，，则与平面所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可证平面，过作于，从而为与平面所成的角，利用解直角三角形可求其正切值． 【详解】由勾股定理，过作于， 由可得平面， 所以为与平面所成的角， 在直角三角形中, ,. 故选：A． 【点睛】本题考查线面角的计算，此类问题可根据线面垂直构造线面角，并将其放置在可解的三角形来求． 18. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若是对立事件，则 B. 若A，B是互斥事件，，则 C. 若是独立事件，，则 D. 若，且，则是独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A；根据互斥事件的概率加法公式判断B；根据独立事件的定义及概率公式判断CD. 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则，A错误； 对于B，若A，B是互斥事件，，则，B错误； 对于C，若A，B是独立事件，而， 则，C错误； 对于D，，则， 又，则是独立事件，所以A，B是独立事件，D正确. 故选：D 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分总计16分） 19. 函数（且）的图象必过定点___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】因为且，所以，因此该函数的图象必过定点， 故答案为： 20. 若某圆锥高为4，其侧面积与底面积之比为3：1，则该圆锥的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用圆锥的侧面积、底面积及体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，如图所示， 则， 由题意知，，即，解得， 所以圆锥体积为. 故答案为：. 21. 已知是上的奇函数，且当时，，则函数在上的零点的个数是______. 【答案】5 【解析】 【分析】由函数的零点，在时,令求零点，根据奇函数的对称性及性质可得其它的零点，即可知在上的零点的个数. 【详解】时,令，解得，； 根据奇函数的对称性，当时，的零点是，； 又，所以在上共有5个零点. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了函数的零点，应用了奇函数的性质：关于原点对称且，属于基础题. 22. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 故答案为： . 三、解答题（每题10分总计30分） 23. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 【答案】（1）偶函数，证明：因为且定义域为R，所以是偶函数. （2） 【解析】 【分析】(1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 24. 如图，在四面体中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） 证明：在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质及线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）可得二面角的平面角，并利用几何法求出角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 25. 为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图： 组数 速度（千米/小时） 参赛人数（单位：人） 少年组 300 成年组 600 专业组 （1）求a，b的值； （2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）； （3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率. 【答案】（1），；（2）9.05千米/小时；（3）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1，求出的值，再由频率分布直方图求出少年组的频率，而少年组的人数为300人，从而可求出总人数，进而可求出的值； （2）利用平均数的公式求解即可； （3）先利用分组抽样的定义求出成年组和专业组的人数，然后利用列举法求解即可 【详解】（1）由频率分布直方图可知 ， ∴. 少年组人数为300人，频率，总人数人， ∴. ∴，. （2）平均速度 ， ∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时. （3）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人. 设在成年组和专业组抽取的人数分布为x，y， 则. ∴，. ∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人. 设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示；专业组中的2人分别为a，b表示. 从中抽取两人接受采访的所有结果为： AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种. 接受采访的两人均来自成年组的所有结果为： AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种. 故接受采访的两人都来自成年组的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $