精品解析：江苏省泰州市兴化市2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答案写在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 一组数据2，4，3，2，5的众数是（　　） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数是出现次数最多的数据，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：众数为2； 故选D． 【点睛】本题考查众数．熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，是解题的关键． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式， ∴二次函数图象的顶点坐标是（-1，-2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 3. 如图，是的弦，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，理解同弧和等弧所对的圆周角相等是解答关键． 根据等弧所对的圆周角相等得到即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 故选：A． 4. 某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为分，期末数学考试成绩为分，那么他的数学总评成绩是（ ） A 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：他的数学总评成绩是分， 故选：D． 【点睛】本题主要考查加权平均数算法，熟练掌握加权平均数的算法是解题的关键． 5. 在二次函数的图像上有三个点则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性：当二次项系数时，离对称轴越远的点，函数值越大；时，离对称轴越远，函数值越小．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故；进而得离对称轴最近，离对称轴最远，从而即可得解． 【详解】解：∵二次函数可知， ∴对称轴为，图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴三点中，离对称轴最近，离对称轴最远． 综上所述： ． 故选B． 6. 如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和三角形的面积问题，熟练掌握矩形的性质，学会利用几何图形的等面积法转换图形面积是解题的关键．连接，由矩形和三角形面积的关系可得：，，从而得到，再把矩形面积切割成3个小图形的面积，利用等式的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是边上一点， ， 是边上一点， ， ， ， ， 即． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 二次函数的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线， 故答案为：直线． 8. 已知一组数据，，，，，它们的中位数是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数，熟记中位数的概念是解题关键．根据中位数的定义可得将这组数据按从小到大进行排序后，即可求解． 【详解】解：∵一组数据，，，，，它们的中位数是， ∴， 故答案为：． 9. 正十二边形的每一个内角是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，即正多边形所有的内角都相等，先求出该多边形的外角，再求每个内角即可． 【详解】解：多边形的外角和为度， 正十二边形的每个外角度数为：， 所以每个内角度数为， 故答案为：． 10. 将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为____________． 【答案】160° 【解析】 【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得各个扇形的圆心角的度数． 【详解】由题意可知，三个圆心角的和为360°， 又∵三个圆心角的度数比为， ∴最大的圆心角度数为：． 故答案为：160°． 【点睛】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键． 11. 二次函数的图像不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限． 【详解】解：当时， ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为且经过点，函数图象开口向上， ∴该函数图象不经过第三象限， 故答案为：三． 12. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____． 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.8 【答案】丙 【解析】 【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛． 【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组． 故答案为丙． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．13. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、弧长公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 15. 二次函数的最大值为4，则实数的值为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据配方法得到，即可求解． 【详解】解：∵的最大值为4， ∴ 解得：或 故答案为：或． 16. 如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作关于的对称点，在上，可得，过点作，交延长线于点，连接，，证为等边三角形，得，又证为等边三角形，得，，，进而证明，得，由，即可得解． 【详解】解：作关于的对称点，在上，可得，过点作，交延长线于点，连接，， ∵是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，垂径定理及推论，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，熟练掌握垂径定理及推论，勾股定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 抛物线与x轴的一个交点为． （1）求k的值； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及二次函数与一元二次方程的关系等知识． （1）将点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值； （2）确定出抛物线的解析式，令抛物线中，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标． 【小问1详解】 把代入可得， ， ∴； ∴抛物线的解析式为； 小问2详解】 ∵， 解得，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标． 18. 如图，是的直径，，．连接交于D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理；解题关键是熟练掌握切线的判定方法． （1）先由求出，再根据三角形内角和求出，即可得出结论； （2）先求出半径，再根据勾股定理即可求出，得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 19. 甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87 93 88 93 89 90 乙：85 90 90 96 89 （1）甲同学成绩的极差是_____； （2）若甲、乙的平均成绩相同，求的值； （3）已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）选甲，理由见解析． 【解析】 【分析】此题考查及极差的定义，根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）将甲的成绩的最大减最小即可得解； （2）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （3）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【小问1详解】 解：∵甲：87 93 88 93 89 90，最大数为，最小数为， ∴甲同学成绩的极差是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； 【小问3详解】 解：选甲，理由如下： 甲的平均数， 甲的方差， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 20. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数的值为______，扇形统计图中的值为______； （2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数． 【答案】（1）60，15； （2）人． 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，频数分布表与扇形统计图，熟练掌握样本估计总体是解题的前提． （1）根据成绩为分的人数除以占比，求得的值，根据成绩为分的人数的占比，求得，进而求得，即可得出的值； （2）根据得分超过分学生的占比乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，（人），（人），（人）， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：（人）； 答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人． 21. 如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． （1）求的半径； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∴ ． 22. 正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽，水面距离拱桥顶端． （1）把桥拱看作一个二次函数的图像的一部分，如图建立平面直角坐标系，求出这个函数的表达式； （2）如果水位以的速度持续上涨，经过多长时间拱桥下水面宽 【答案】（1）； （2）经过，拱桥下水面宽． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数模型的建立方法、待定系数法求二次函数解析式的方法、函数自变量与因变量的意义等是解题关键． （1）设所求表达式为，然后应用待定系数法求解即可； （2）当水面宽时，在（）所得函数解析式中，令，可以求出达到警戒水位后拱桥最高点到水面的距离，用这个距离除以水位上涨速度即可得解． 【小问1详解】 解：设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为， ∵ ∴点坐标为， 把代入得 ∴， ∴所求函数表达式为； 【小问2详解】 当水面宽时， ∴当时，， ∴函数图象经过， ． 答：经过，拱桥下水面宽． 23. 在正方形中，是边上的点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规在图中求作，使得与均相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与相切于点，连接，若，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质及切线性质定理是解题的关键． （1）作的平分线与的交点即为点，以为圆心，的长为半径作即可； （2）根据切线的性质定理及正方形的性质求解． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图，设的半径为 ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∵平分，，， ∴ ∴， 解得，即的半径为． 24. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求的值； （2）点是该函数图象上两点，若求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将，代入函数解析式求解； （2）由抛物线解析式及可得． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得， 故的值为，的值为； 【小问2详解】 解：由（1）得 点是该函数图象上两点， ， ， ， 点是图象上两点， ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析． 25. 如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）若点为二次函数的顶点，连接，求的面积． （3）将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 【答案】（1），直线的表达式为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由得抛物线的顶点，过点作轴于，如图，则，从而根据即可得解； （3）由平移得平移后的二次函数表达式为，由，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上，记旋转前，的对应点为，得在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上，设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为，求得，进而得，由旋转性质得，过点作直线轴交直线于点，设则，根据铅锤法求得的面积函数，从而利用二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：把和，分别代入，得 解得，， ∴抛物线的表达式为， 当时，， ∴， 设直线的为， 把、分别代入，得 ， 解得∶ ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的顶点， 过点作轴于，如图，则， ∵、，， ． 【小问3详解】 解：∵，二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合， ∴平移后的二次函数表达式为， ∵，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上， 记旋转前，的对应点为， ∴在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上， 设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为 ∵点、，绕坐标原点顺时针旋转后对应点为，， ∴ 解得， 所以 联立 解得， ∴， ∵为旋转后抛物线上，左侧动点， ∴旋转前的对应点在上且在直线上方，， 过点作直线轴交直线于点， 设则， ∴， ∴ ， 当时，有最大值， ∴最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、旋转的性质，二次函数的性质，待定系数法求二次函数，求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的平移、旋转的性质及二次函数的性质是解题的关键． 26. 综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（ ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】归纳结论（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；结论运用（3） ①，理由见解析；②． 【解析】 【分析】归纳结论（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； 结论运用（3）①由得，，，四点在同一个圆上，记为，设，，先证，又，，从而，即可得；②延长至点，使得，过点作于，证明（）得，再利用勾股定理及度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：归纳结论（1）如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， （同弧所对的圆周角相等）， 在中，， ， 这与已知条件矛盾； ∴点不在内； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）如图，假设点在外，设交于点，连接， ∵点在上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴这与已知条件矛盾； ∴点不在外； ①∵， ∴，，，四点在同一个圆上，记为， 设，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ； ∵，， ∴， ∴； ②的大小不会发生变化 理由∶延长至点，使得，过点作于， ∵， ∴，，，四点在同一个圆上， ∵平分， ∴， ∴； ∵，，，四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期初中学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答案写在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 一组数据2，4，3，2，5的众数是（　　） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的弦，且，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为分，期末数学考试成绩为分，那么他的数学总评成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 在二次函数的图像上有三个点则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 二次函数的对称轴是______． 8. 已知一组数据，，，，，它们的中位数是，则______． 9. 正十二边形的每一个内角是______度． 10. 将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为____________． 11. 二次函数的图像不经过第______象限． 12. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____． 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 18 13. 如图，为半圆直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______． 15. 二次函数的最大值为4，则实数的值为______． 16. 如图，已知扇形中，圆心角，半径，点为．上一点，将沿翻折后交于点，点分别为中点，过点作与翻折后的弧线交于点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 抛物线与x轴的一个交点为． （1）求k的值； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 18. 如图，是的直径，，．连接交于D． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19. 甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87 93 88 93 89 90 乙：85 90 90 96 89 （1）甲同学成绩的极差是_____； （2）若甲、乙平均成绩相同，求的值； （3）已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 20. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数的值为______，扇形统计图中的值为______； （2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数． 21. 如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． （1）求的半径； （2）求阴影部分的面积． 22. 正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽，水面距离拱桥顶端． （1）把桥拱看作一个二次函数的图像的一部分，如图建立平面直角坐标系，求出这个函数的表达式； （2）如果水位以的速度持续上涨，经过多长时间拱桥下水面宽 23. 在正方形中，是边上的点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规在图中求作，使得与均相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与相切于点，连接，若，求的半径． 24. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求的值； （2）点是该函数图象上两点，若求证：． 25. 如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）若点为二次函数的顶点，连接，求的面积． （3）将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 26. 综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（ ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$