精品解析：安徽省六安市独山中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度独山中学高一数学期中考试卷1 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 4. 设函数，则的值为 A. B. C. D. 5. 设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则关于的方程的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题 9. 下列各组函数为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 函数的最小值是2 三､填空题 12. 函数的定义域为______. 13. 设函数，若，则a=___________. 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_______(m). 四､解答题 15. 已知，． （1）求，的值； （2）求的值． 16. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 18. 已知函数. （1）求与，与的值； （2）由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； （3）求的值． 19. 设函数，其中． （1）解不等式； （2）证明：当时，函数在区间上是单调函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度独山中学高一数学期中考试卷1 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求值，即求得比值. 【详解】因为，所以，，故. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题. 3. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域. 【详解】由函数解析式有意义可得 且 所以函数的定义域是且， 故选：A. 4. 设函数，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为时， 所以； 又时，， 所以故选A. 本题考查分段函数的意义,函数值的运算. 5. 设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合菱形的定义和几何性质，判断“四边形为菱形”和“”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当四边形为菱形时，必有两条对角线互相垂直，即； 当四边形的两条对角线垂直时，即，不一定能推出四边形为菱形， 还需要再加上对角线互相平分这一条件，才可推出四边形为菱形， 故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 7. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 8. 设函数，若，则关于的方程的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得、的值，可得函数的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于的方程的解的个数． 【详解】解：由得，① 由得，② 由①②得，． 所以， 当时，由得方程，解得，； 当时，由得． 所以，方程共有3个解． 故选：C 二､多选题 9. 下列各组函数为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据当两个函数的定义域相同，对应关系相同为同一个函数逐个分析判断. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 则两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，，的定义域均为，， 则两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，，的定义域均为，， 则两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数； 对于D，的定义域均为， 则两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 故选：CD 10. 已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据真子集的性质，结合集合补集、交集和并集的定义逐一判断即可. 【详解】因为⫋，所以，，因此选项A错误，B正确； 因为⫋，所以存在， 因此有，所以，因此选项C不正确； 因为⫋，所以都有，而， 所以，因此选项D正确， 故选：BD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 函数的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误； 对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误； 对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误 【详解】对于A选项，取，，，则，故错误； 对于B选项，，，，，故B正确； 对于C选项，，，，，故C正确； 对于D选项，函数，令， 由函数在上单调递增，，故D错误. 故选：BC 三､填空题 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 设函数，若，则a=___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先令，则，求解的值，然后再分类讨论，求解的值. 【详解】令，则，当时，有，无解， 当时，有，解得，或， 所以或， 当时，，，故 无解； 当时，若，则，得， 若，则，即，无解， 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用. 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_______(m). 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：设矩形高为，由三角形相似得且， 所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为. 考点：基本不等式的应用. 四､解答题 15. 已知，． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将2代入各自的解析式后可求对应的函数值. （2）求出后可求的值. 【小问1详解】 因为， 所以，． 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 16. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出二次函数，利用题目条件列式求解即可； （2）由题意在上恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解范围. 【小问1详解】 由题意设，，因为，所以， 又因为，所以， 即，所以，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，因为的图象恒在的图象上方， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 令，则.又因为在上单调递减， 所以，即，所以实数的取值范围是. 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）求与，与的值； （2）由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； （3）求的值． 【答案】（1），；，； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算可得答案； （2）由（1）中求得的结果归纳推理可得，计算可得答案； （3）求出，利用可得答案. 【小问1详解】 ，； ，； 【小问2详解】 由（1）中求得的结果，归纳推理可得. 证明：； 【小问3详解】 因为， 所以 . 19. 设函数，其中． （1）解不等式； （2）证明：当时，函数在区间上是单调函数． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题知，进而得，将问题转化为，再分，两种情况讨论求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 解：，等价于， 所以，，即，其中 所以， 所以，原不等式等价于， 所以， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 解：当时，， 设，且， 所以 ， 因为且， 所以，，， 所以，，即， 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $