湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024—2025学年 高三上学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，=（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面，，和直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．且 C．且 D．内的任何直线都与平行 5．下列四个图象可能是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 6．在数列中，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（    ）（参考数据：，，） A．3分钟 B．5分钟 C．7分钟 D．9分钟 8．已知函数有三个零点，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9．下面命题为假命题的是（    ） A．若，，则 B．函数的单调减区间是 C．的最小值是 D．与是同一函数 10．已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（    ） A．若，则在上单调递减 B．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2 C．若在上有且仅有4个零点，则 D．若，且在区间上有最小值无最大值，则 11．如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，点为棱的中点，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（    ）    A．长度的最小值为 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．在数列中，，若，则 ； 13．已知椭圆：的左焦点为，椭圆上的一点到左焦点的距离为6，点是线段的中点，为坐标原点，则 . 14．编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是 . 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.，. （1）求角A的值； （2）若，求的面积. 16．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由. 17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、A1B1的中点，A1C与AC1交于点F，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2． （1）求证：EF∥平面BB1C1C； （2）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值． 18．已知椭圆的短轴长为2，且其右焦点也是抛物线的焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线、满足，直线与椭圆交于、两点，直线与抛物线交于、两点，求四边形面积的最小值． 19．已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”. (1)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求； (2)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【解析】求得指数函数的值域和对数型函数的定义域，再求交集即可. 【详解】， 故选：A. 【点睛】易错点睛：本题考查集合的交集运算，解题时要注意集合的元素代表，从而转化为求指数函数的值域和对数型复合函数的定义域，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题. 2．C 【分析】根据复数的周期性以及乘除法运算法则化简，进而根据复数的模长公式即可求解. 【详解】， 故，， 所以， 故选：C 3．A 【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案. 【详解】由题意知命题为存在量词命题， 其否定为全称量词命题：， 故选：A 4．B 【分析】选择“”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出，反之不成立. 【详解】A. 内有无数条直线与平行,则可能相交或平行，故不能推出. B. 且,则. 反之不成立，满足条件. C. 且,则 可能相交或平行，故不能推出. D. 内的任何直线都与平行是的充要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题. 5．C 【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解. 【详解】∵的定义域为， 其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到， ∵为奇函数，图象关于原点对称， ∴的图象关于点成中心对称. 可排除A、D项. 当时，，∴B项不正确. 故选：C 【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题. 6．B 【分析】由数列递推式可得和相减可得，分n为奇数和偶数两种情况，求得数列通项公式，即得答案. 【详解】由，可得，且， 两式相减得，当时, ， 此时是以为首项，公差为2的等差数列， 则，即（n为奇数）； 当时, ， 此时是以为首项，公差为2的等差数列， 则，即（n为偶数）， 综合上述可得数列的通项公式为， 故选：B 7．B 【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果. 【详解】根据题意，，即 设茶水从降至55℃大约用时t分钟，则， 即，即 两边同时取对数： 解得. 故选：B. 8．D 【分析】令，问题等价于函数有三个零点，利用导数研究函数单调性，判断极值的符号，求结论成立的条件. 【详解】函数有三个零点， 则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求， 令，问题等价于在上有三个不等的实数根， 函数，则的定义域为，有三个零点， ， 设，其中， ①当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意； ②当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意； ③当，且，即时，设的两根为，， 解得，， ，解得或，，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，， 构造函数，则有， 当时，单调递增；当时，单调递减， 有，所以，即. 取，， （其中，所以，即， 取，， （其中，所以，即， 所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点， 在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且， 所以时，有三个零点，此时， 即时，函数有三个零点. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 9．BCD 【分析】对A：由不等式性质可得，，即可得；对B：由函数单调性定义即可得； 对C：举出反例即可得；对D：分别计算两函数定义域即可得. 【详解】对A：若，，则，，故，故A正确； 对B：函数的单调减区间是、，故B错误； 对C：当时，，故C错误； 对D：的定义域为，的定义域为，故D错误. 故选：BCD. 10．BC 【分析】根据给定条件，求出，再逐项分析求解，判断作答. 【详解】依题意，，即，而，则，， 对于A，当时，，由，得，则在上不单调，A不正确； 对于B，的图象向左平移个单位后得函数， 依题意，，解得：，因此的最小值为2，B正确； 对于C，当时，，因在上有且仅有4个零点， 则，解得：，C正确； 对于D，因，且在区间上有最小值无最大值，则直线是图象的对称轴， 且在处取得最小值，，因此，，且， 即，且，所以或，D不正确. 故选：BC 11．ABC 【分析】 根据题意取的中点为，截取平面，利用正四棱台性质可知平面，由线面角定义可知点的轨迹是以为直径在平面内的半圆，再利用圆外一点到圆上点距离的最值问题可知A正确；利用线面垂直的判定定理可知当与以为直径的半圆相切时，满足，即B正确；根据线面平行的判定定理可得当点与点重合时满足，即C正确；易知此棱台可放入的最大球的直径为，而棱长为1.5的正方体的外接球直径为，可知D错误. 【详解】对于A，分别取的中点为，连接，如下图所示：    由题意得，，又，平面， 所以可得平面， 又平面，所以； 又因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为， 即可得，易得， 所以在梯形中，，可得， 满足，所以； 又，平面，所以平面； 又因为与平面所成角的正切值为， 可得，即， 所以点的轨迹是为圆心，即以为直径在平面内的半圆， 故长度的最小值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，平面，平面，所以； 若（即与以为直径的半圆相切时），平面， 又平面，所以， 即存在点，使得，故B正确； 对于C，当点与点重合时，，且， 此时四边形为平行四边形，所以，即，故C正确； 对于D，若正方体在此容器内部可以任意转动，则正方体的外接球可以放进容器， 棱长为1.5的正方体的外接球直径为， 由等腰梯形可知，其高，如下图所示：    可知此棱台可放入的最大球的直径为，小于正方体外接球直径， 故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D不正确． 故选：ABC 【点睛】方法点睛：在处理立体几何当中的动点问题时，往往根据几何体特点利用已知条件得出动点轨迹，再利用适当的定理处理动点与不动点平行、垂直等问题. 12．8 【分析】分为偶数和奇数，利用和，得到关于m的方程求解. 【详解】解：当为偶数时，由得，解得； 当为奇数时，由得1，即， 作出的图象，如图所示： 由图象知：y=随增大而增大，y=随增大而减小， 所以只有一个交点，且，即， 又因为，所以不满足题意． 综上：． 故答案为：8 13．5 【解析】先根据椭圆的定义求得的长度，再利用中位线定理求出的值. 【详解】由椭圆的定义得， ∵，∴， 又，， ∴， 故答案为：5. 【点睛】本小题考查了椭圆的两种定义和中位线等基础知识，考查数形结合思想，分析问题、解决问题的能力，推理与运算能力. 14．/0.375 【分析】根据排列知识可求基本事件的总数为64，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为， 设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为， 根据题意有， 则， 整理得，即， 当时，，此时为，3种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，3种情况； 综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据题意构造不等式，然后结合抽出的前两个球号码为正整数，再对第三个球号码进行分类讨论即可得出符合条件的的数量，再结合基本事件总数即可得出结果. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）根据同角三角函数关系式,可得,由正弦定理代入表达式即可求得. （2）根据正弦和角公式,可代入求得.再由正弦定理可求得,结合三角形面积公式即可求得的面积. 【详解】（1）在中,因为, 所以 因为 由正弦定理,得,即 所以 若,则,与矛盾,故 于是 又因为 所以 （2）因为,,, 所以 由正弦定理,得 所以的面积为 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理解三角形,三角形面积公式的用法,属于基础题. 16．（1）；（2）存在实数，使得在单调递增，理由见解析. 【解析】（1）由题得，求导得，进而得切线方程为； （2）令，结合，研究在上的单调性即可得答案. 【详解】解：（1）求导得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）存在实数，使得在单调递增，理由如下： 由（1）得， 令，则， 故当时，在上恒成立， 故在上单调递增，由于， 故时，，单调递减， 时，，单调递增. 当时，令得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由于， 所以当时，， 所以不可能使得在恒成立， 所以当时，均不能使得在具有单调性. 当时，， 此时时，单调递减，时，单调递增， 所以， 所以在恒成立，此时函数在单调递增. 故存在实数，使得在具有单调性. 【点睛】本题考查切线方程的求解，利用导数研究函数的单调性，考查综合分析能力，运算能力，分类讨论思想，是中档题. 17．（1）见解析（2）． 【分析】（1）推导出OE∥B1C1，OF∥C1C，，从而平面OEF∥平面BB1C1C，由此能证明EF∥平面BB1C1C； （2）设点C1到平面AA1B1的距离为d，由，求出由此能求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值. 【详解】证明：（1）∵O，E分别是A1C1、A1B1的中点，A1C与AC1交于点F， ∴OEB1C1，OFC1C， 又平面BB1C1C，平面BB1C1C， 平面BB1C1C， 同理平面BB1C1C， 又，平面OEF， ∴平面OEF平面BB1C1C， ∵EF⊂平面OEF， ∴EF平面BB1C1C． （2）设点C1到平面AA1B1的距离为d， ∵， ∴， AO，OB1， AB12， ∵△AA1B1中，A1B1＝AB1＝2，AA＝2， 边AA上的高为：， ∴， ∴， 解得d， 设A1C1与平面AA1B1所成角为θ， ∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为： sinθ． 【点睛】本题主要考查的是空间几何体及点、线、面的位置关系，直线与平面平行的证法，直线与平面所成角的求法，考查学生的逻辑推理能力，是中档题. 18．（1）；（2）. 【分析】（1）由题知，，进而得，故椭圆的标准方程为． （2）由题知直线的斜率存在，设直线，进而分类讨论，考虑当时，，当时，结合直线与椭圆，抛物线的位置关系求弦长，，进而得，进而得答案. 【详解】解：（1）因为椭圆的短轴长为2，即，所以． 因为抛物线的焦点坐标为（1，0），所以椭圆的右焦点坐标为，即，故， 所以椭圆的标准方程为． （2）根据题意知直线的斜率存在，设直线， ①当时，，，此时，，四边形的面积． ②当时，直线， 将直线与椭圆的方程联立得， 设，，则，， 所以． 将直线与抛物线的方程联立得， 设，，则，所以． 综上所述，四边形面积的最小值为． 【点睛】本题考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于对直线的斜率分等于零和不等于零两类情况讨论求解.其中涉及弦长的求解，常用设而不求的方法结合韦达定理和弦长公式计算.对于抛物线过焦点的弦的弦长问题，一般有以下方法： （1）由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得，根据抛物线的定义有，求弦长； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式求弦长. 19．(1) (2)31 【分析】（1）根据题意，由“等差向量列”定义和“等比向量列”定义可得的通项公式，再由错位相减法，即可得到结果； （2）根据题意，构造函数，结合函数的性质，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由“等差向量列”定义和“等比向量列”定义知， ， ， ， 设， ， 两式相减得， 所以. （2），所以，所以为等差数列， 所以， 由题意知 ， 构造函数， 则 ， 所以函数至少有三个零点， 若要使有三个零点，则存在，使得为常数，且三个零点均在内，所以m为偶数，且 ，解得， 所以，解得， m的最大值为31. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解“等差向量列”定义和“等比向量列”定义，然后结合数列的相关知识解答. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$