精品解析：河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

沧衡名校联盟高一年级2024-2025学年上学期期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：所有的正方形都是菱形，则命题的否定为（ ） A. 所有的菱形都不是正方形 B. 存在一个正方形不是菱形 C. 所有的正方形都不是菱形 D. 存在一个正方形是菱形 3. 已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义表示集合的元素个数，例如：，.已知，，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数为同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知定义在上的函数满足，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则是的______条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）. 13. 已知实数，，满足，则的最大值为_________. 14. 若存在实数，使得，则称函数与函数具有“联系”.若函数与函数不具有“联系”，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若是真命题，求实数的取值集合； （2）在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的解析式. （2）证明：在上单调递增. （3）求不等式的解集. 17. （1）若关于的不等式的解集为{或}，求不等式的解集； （2）已知正数，满足，证明：. 18. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 19. 若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. （1）若，，证明二维形式的权方和不等式：. （2）已知，，求的最小值. （3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧衡名校联盟高一年级2024-2025学年上学期期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，得，所以， ， 所以. 故选：D. 2. 已知命题：所有的正方形都是菱形，则命题的否定为（ ） A. 所有的菱形都不是正方形 B. 存在一个正方形不是菱形 C. 所有的正方形都不是菱形 D. 存在一个正方形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得命题的否定. 【详解】命题：所有的正方形都是菱形，则命题的否定为存在一个正方形不是菱形. 故选：B. 3. 已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和两种情况，参变分离，得到. 【详解】由，求出， 在上恒成立， ， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 4. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法，结合基本不等式可求得最大值. 【详解】由，令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最大值为. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复合函数的定义，利用题目分段函数的解析式即可求解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C. 6. 定义表示集合的元素个数，例如：，.已知，，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两集合表示的几何意义及函数定义作出判断，得到答案. 【详解】表示的是上的点的集合，表示的是图象上的点的集合， 的定义域为，由函数定义知，与有且只有1个交点， 故. 故选：B 7. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到方程，求出，从而得到解析式，并计算出. 【详解】因为的图象关于原点对称，故， 其中， ， 则， 由于恒成立， 故，解得， ，是奇函数，符合题意， 则. 故选：C 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得.再将变形为，利用基本不等式“1”的代换即可求出最小值. 【详解】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数为同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【解析】 【分析】当定义域和对应法则均相同时，两函数为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，A错误； B选项，，，两函数为同一函数，B正确； C选项，中，令，解得， 中，令，解得， 故两函数定义域相同，又，故两函数为同一函数，C正确； D选项，中， 当时，， 当时，， 故，故两函数为同一函数，D正确； 故选：BCD 10. 已知定义在上的函数满足，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得到关于对称，在上单调递增，从而得到，对选项一一判断，得到答案. 【详解】由得，关于对称， ，，且，，故在上单调递增， 故， 故，A正确；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得在，上单调递减，在，上单调递增，利用是偶函数与的单调性可得复合函数的单调性. 【详解】由是对勾函数且是奇函数， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 易得的定义域为，，所以函数是偶函数， 故只需研究在上的单调性即可， 由，解得， 由复合函数的单调性可得在上单调递增，故B错误； 由，解得，同理可得在上单调递增， 另外，可知在上单调递减，故D错误； 结合是偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，故AC正确. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求得的单调性，利用是偶函数与的单调性，结合复合函数的单调性可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则是的______条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】求得，，根据充分条件和必要条件的概念可得结论. 【详解】由，得， 由，可得，显然由可以推出，由推不出， 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 13. 已知实数，，满足，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 故答案为：. 14. 若存在实数，使得，则称函数与函数具有“联系”.若函数与函数不具有“联系”，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】取反面，若函数与函数具有“联系”，换元令，结合基本不等式可得，即可得结果. 【详解】若函数与函数具有“联系”，等价于方程有解， 令，则，可得， 显然时，不成立， 可知，可得， 又因为，可得， 即若函数与函数具有“联系”，等价于， 若函数与函数不具有“联系”，等价于， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若是真命题，求实数的取值集合； （2）在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）由已知可得，可得，求解即可. 【小问1详解】 若是真命题，则，解得， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 因为，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的解析式. （2）证明：在上单调递增. （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 任取且， 则， 因为且，所以且， 所以， 所以，故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据及求出，，检验后得到答案； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）根据函数奇偶性和（2）中结论得到在上单调递增，从而得到不等式，求出不等式解集. 【小问1详解】 因为为定义在上的奇函数，故， 即，解得， ， 又，故， 故，所以，解得， 故，经检验，满足要求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为定义在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， ，故，解得， 的解集为. 17. （1）若关于的不等式的解集为{或}，求不等式的解集； （2）已知正数，满足，证明：. 【答案】（1）； （2）因为，所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故，得证. 【解析】 【分析】（1）根据已知不等式的解集，可知其对应的方程的根，再利用韦达定理求出方程中的系数，进而求解另一个不等式的解集； （2）利用已知条件对式子进行变形，然后运用基本不等式来证明结论 【详解】（1）因为不等式的解集为或 则和是方程两根， 由韦达定理得，解得. 不等式，即 解得，即的解集为. （2）略 18. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】（1）左面墙的长度为10米 （2） 【解析】 【分析】（1）设甲工程队的总报价为元，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论； （2）根据题意可得出，可知，对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当时，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 【小问2详解】 解：由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当时，即时，取最小值， 则，即的取值范围是. 19. 若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. （1）若，，证明二维形式的权方和不等式：. （2）已知，，求的最小值. （3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】（1）证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. （2） （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $