精品解析：四川省德阳市广汉市金雁中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

广汉市金雁中学2024-2025学年高一上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟，满分100分） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：​. 故选：B. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简求解不等式，再由交集运算可得. 【详解】由解得，， 由解得，， 则， 故选：C. 4. 已知函数则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可. 【详解】因为函数 所以， 所以， 故选：D 5. 若实数，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】，，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故选：C 6. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，C选项只需要用特殊值法，找出反例即可判断正误。D选项需要利用对钩函数，利用函数单调性即可判断正误。 【详解】对于选项A，若时，，则错误. 对于选项B，若，当，则，则B错误. 对于选项C，若取，则，故错误. 对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 7. 已知，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 8. 已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数” 【详解】A:当时，对当时，，因此不是“理想函数”，故A错误. B：当时，对当时，，所以不是“理想函数”，故B错误. C：当时，例如时，所以不是“理想函数”，故C错误. D：当时，对当时，，所以是“理想函数”，故D正确 故选：D 二、多选题（每小题4分，共12分，多选错选不得分，漏选得部分分） 9. 与函数是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】定义域和对应法则均相同的两函数为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，与定义域和对应法则均相同，为同一函数，A正确； B选项，定义域为，的定义域为R，定义域不同，B错误； C选项，，故定义域和对应法则均相同，为同一函数，C正确； D选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，对应关系：，则：是到的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出，利用函数定义作出判断；B选项，根据抽象函数定义域法则得到，解得，得到定义域；C选项，令，得到，得到函数值域；D选项，把换成得，，根题目条件联立得到答案. 【详解】A选项，时，， 结合函数定义，：是到的函数，A正确； B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确； C选项，令，则， 所以，此时函数在上单调递增，故， 故函数值域为，C错误； D选项，①，把换成得，②， 得，故，D正确. 故选：ABD 11. 已知p：“，恒成立”为真命题，下列选项可以作为p的充分条件的有（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由命题为真，结合一元二次不等式性质有求参数范围，根据各选项判断充分条件. 【详解】由p为真命题，则，可得， 所以、、都是p的充分条件，或是p的既不充分也不必要条件. 故选：ACD 三、填空题（每小题3分，共9分） 12. 求函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】用函数定义域的知识直接求解即可. 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为: 13. 已知，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】应用赋值法求函数值即可. 【详解】令 故答案为:5. 14. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】集合有个元素，由根的判别式得到方程，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】有且仅有两个子集，故集合仅有个元素， 则，即， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题（15小题9分，16，17小题各11分，18，19小题各12分） 15. 已知函数，. （1）若函数的图象经过点，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式，求出； （2）解一元二次不等式，求出解集. 【小问1详解】 将代入得，解得； 【小问2详解】 ，解得， 故不等式解集为. 16. 已知函数. （1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象； （2）根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【答案】（1）图象： （2）在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）分析得到时，，为二次函数，开口向下，时，为一次函数，结合特殊点函数值，画出图象； （2）数形结合得到函数单调区间和函数单调性. 【小问1详解】 当时，，为二次函数，开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，，为一次函数，当时，， 当时，， 画出图象如下： 【小问2详解】 由图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 故在上单调递增，在上单调递减. 17. 设函数. （1）求，，； （2）判断函数在的单调性并证明. 【答案】（1），，； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，故，即. 所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）代入求解即可； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论. 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 略 18. 问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 【答案】（1） （2），当且仅当且同号时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值； （2）由“1”的妙用得到，其中，从而得到，并得到等号取到的条件. 【小问1详解】 正实数，满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； 【小问2详解】 ， 而，当且仅当时，等号成立， 所以， 故，当且仅当且同号时，等号成立. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 19. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求的值； （2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）由年产量为10台时，需另投入成本500万元求解； （2）根据利润销售收入成本，分和求解； （3）由（2），分和，分别利用二次函数和基本不等式求解. 【小问1详解】 解：将，代入， 得，解得. 【小问2详解】 由题意可得，当时，； 当时，. 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问3详解】 由（2）得当时，； 当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，. 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元. 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广汉市金雁中学2024-2025学年高一上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟，满分100分） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 5. 若实数，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题4分，共12分，多选错选不得分，漏选得部分分） 9. 与函数是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，对应关系：，则：是到的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 11. 已知p：“，恒成立”为真命题，下列选项可以作为p的充分条件的有（ ） A. B. 或 C. D. 三、填空题（每小题3分，共9分） 12. 求函数的定义域为________. 13. 已知，则______. 14. 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值是______. 四、解答题（15小题9分，16，17小题各11分，18，19小题各12分） 15. 已知函数，. （1）若函数的图象经过点，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求不等式的解集. 16. 已知函数. （1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象； （2）根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 17. 设函数. （1）求，，； （2）判断函数在的单调性并证明. 18. 问题：正实数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件. 19. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求的值； （2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $