精品解析：河南省周口市郸城县东风乡第一初级中学等校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中测评卷 九年级数学 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式中不含能开得尽方的因式或因数，分母中不含根号． 【详解】解：A选项：分母中含有根号，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项：是最简二次根式，故B选项符合题意； C选项：，分母中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D选项：不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减判断A，根据二次根式的乘方判断B，根据二次根式的性质判断B，根据二次根式的除法判断D． 【详解】解：A．中的2个项不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘方，二次根式的性质，以及二次根式的除法运算，熟练掌握性质和运算法则是解答本题的关键． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 【详解】解：x2-6x=-1， x2-6x+9=8， （x-3）2=8． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得. 【详解】解：由位似变换的性质可知，， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，理解此定义及性质是解题关键． 5. 等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，则 k的值是（　　） A. 9 B. 27 C. 36 D. 27 或36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分两种情况：若3是等腰三角形的腰长；若3是等腰三角形的底边长，结合一元二次方程的解，根的判别式，即可求解． 【详解】解：若3是等腰三角形的腰长， ∴方程的一个根为3， ∴， 解得：， ∴ ∴ 解得，， ∵ ∴此时围不成三角形，不符合题意，应舍去； 若3是等腰三角形的底边长， ∴方程的两个根相等， ∴， 解得：； 综上所述，k的值为36． 故选：C． 6. 已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的负实根 D. 有两个不相等的正实根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，三角形三边的关系，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．先求出根的判别式，再由三角形三边关系确定出判别式的符号，最后由根与系数的关系确定根的符号即可． 【详解】解：在此方程中， ∵a，b，c是三条边的长， ∴，即， ∴， 故方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是0，两根的积是0， ∴方程的根的情况是有两个不相等的负根． 故选：C． 7. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 8. 如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，求出的面积，根据平移的性质得出，的面积的面积，再根据面积比等于相似比的平方得出即可． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， 将沿着点到点的方向平移到的位置， ∴， 的面积的面积，， 图中阴影部分面积为， ， ∴， 解得：， 即平移的距离是， 故选：． 【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求出的面积是解此题的关键． 9. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度m,，m，则树高为（　　） A. 4m B. 4.5m C. 5m D. 6m 【答案】D 【解析】 【分析】先判定，然后根据相似三角形对应边成比例求出的长，再加上即可求解． 【详解】解： ， ， 即， 解得：， m， （m）， 即树高6m． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质,比较简单，判定出和相似是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别为、的中点，分别连接、，交点为P，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作轴，交x轴于点C，根据点E、F分别为、的中点，则是的中位线，，可得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，则，即可得． 【详解】解：如图所示，过点P作轴，交x轴于点C， ∵点E、F分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的坐标，三角形的中位线，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 12. 如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减； 纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题． 【详解】解：∵左眼A的坐标是，右眼B的坐标， ∴嘴唇C的坐标是 ，即， ∴将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是， 故答案为：． 13. 一个三层折叠花架如图所示，已知，，，，则的长为____________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理， 熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据计算得的长，进一步计算即得答案． 【详解】解∶∵， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶120． 14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是______尺． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【详解】解：设门对角线的长为尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得： ， 即， 解得：（不合题意舍去），， （尺， 答：门高8尺． 故答案为：8 15. 在边长为的等边三角形 中，为边 上一动点，将沿过点的直线折叠，折痕与直线 交于点 ，当点落在直线上的点处，且时，折痕为，线段 的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件．因为折叠后点落在直线上，所以点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，无论哪种情况都有，根据相似三角形对应边成比例可求结果． 【详解】解：如下图所示，当点在线段上时，， 是等边三角形， ，， 根据折叠的性质可得：， ，， ， ， ， ，， 设， 则有，， ， 整理得：，， 根据折叠的性质可得：， ， ， 解得：； 如下图所示，当点在线段的延长线上时，， 是等边三角形， ，， 根据折叠的性质可得：， ，， ， ， ， ，， 设， 则有，， ， 整理得：，， 根据折叠的性质可得：， ， ， 解得： ． 故答案为：或 ． 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. 计算 （1）； （2）. 【答案】(1) 11；(2). 【解析】 【分析】(1)先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； (2)先分别利用多项式乘法法则以及完全平方公式进行展开，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】(1)原式==11； (2)原式= = =. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【小问1详解】 ∴，； 【小问2详解】 ∴，， ∴ ∴ ∴，； 【小问3详解】 ∴或 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）． （1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2． （3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（0，4），（0，﹣4）． 【解析】 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案； （3）直接利用三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4）， （0，﹣4）． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 19. 定义新运算“⊕”：当时，；当时，． （1）填空：______； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2）x的值为或 【解析】 【分析】（1）首先根据无理数的估算判断出，然后根据新定义的运算规则，即可得到答案； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ， ， ， 解得，（舍去）； 当时，， ∴， ， ， 解得，（舍去）． ∴x的值为或 【点睛】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算解一元一次不等式，无理数的估算，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B， （1）求证：△ADF∽△DEC （2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=，∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC （2）AF=2 【解析】 【详解】（1）略 (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴∴ ∴AF= 21. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）①55件；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）①根据每件的利润乘以销售量等于利润1375元，列出方程并求解，再结合每件商品获利不得高于60%，可得符合题意的答案； ②根据每件的利润乘以销售量等于利润1650元，然后根据根的判别式判断方程是否有解即可． 【小问1详解】 解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，将点、代入一次函数关系式得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴y与x之间的函数关系为； 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴，， ∴每天的销售量55件； ②根据题意，得， 化简得， ∴， ∴方程无解， ∴不存在每天的销售利润为1650元． 【点睛】本题考查了一次函数一元以及二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键． 22. 如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． （1）若与相似，求t的值； （2）（如图2）连接，若，求t的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，分、两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）如图：过P作于点M，交于点N，则，可证，根据相似三角形的性质可得，，再根据得出，然后代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴, 由题意可得： ①当时， ∵， ∴，解得：； ②当时， ∵， ∴，解得：． 综上，当或时，与相似． 【小问2详解】 解：由题意可得： 如图：过P作于点M，交于点N， ∴， ∴, ∴,即，解得：，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴，解得：． 23. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． （3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中测评卷 九年级数学 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9 5. 等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，则 k的值是（　　） A. 9 B. 27 C. 36 D. 27 或36 6. 已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的负实根 D. 有两个不相等的正实根 7. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度m,，m，则树高为（　　） A. 4m B. 4.5m C. 5m D. 6m 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别为、的中点，分别连接、，交点为P，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为________． 12. 如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是________． 13. 一个三层折叠花架如图所示，已知，，，，则的长为____________． 14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是______尺． 15. 在边长为的等边三角形 中，为边 上一动点，将沿过点的直线折叠，折痕与直线 交于点 ，当点落在直线上的点处，且时，折痕为，线段 的长为______． 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. 计算 （1）； （2）. 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）． （1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2． （3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标． 19. 定义新运算“⊕”：当时，；当时，． （1）填空：______； （2）若，求x的值． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B， （1）求证：△ADF∽△DEC （2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长． 21. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 22. 如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． （1）若与相似，求t的值； （2）（如图2）连接，若，求t的值． 23. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． （3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $