精品解析：黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度高一上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 4. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）． A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的最大值是 C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间 10. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数无最大值 B. 函数的最小值为 C. 函数在上递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间为______. 13. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____________ ． 14. 矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当______________时，三角形的面积最大，最大值为_______________ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 16. 设且，函数的图像过点． （1）求的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最大值． 17. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 19. 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即． （1）设函数，求和； （2）证明：若为连续的单调函数，则； （3）若，存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可. 【详解】∵存在量词命题的否定是全称量词命题， ∴命题，，则是，. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别确定集合，再根据交集的概念求解即可． 【详解】因为， 所以， ， 所以． 故选：A． 3. 若函数，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】∵， ∴. 故选：A. 4. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数偶函数的定义判断各个选项的奇偶性即可. 【详解】观察各个选项，函数的定义域均为，关于原点对称，对于定义域内任意的，可代入判断如下： 对A选项，，可知其为偶函数； 对B选项，可知其为奇函数； 对C选项，，可知其为偶函数； 对D选项，，即不等于又不等于，可知其既不是奇函数，也不是偶函数. 故选：D 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式有意义的条件列不等式组，解不等式组可得函数的定义域. 【详解】由题意：. 所以所求函数的定义域为：. 故选：A 6. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以函数为偶函数； 设，则， 因为，所以，，，所以，即 所以函数在上单调递增. 由函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，在上单调递减. 所以且. 故选：D 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】因为为正实数，且， 所以， （当且仅当即时取“”）. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的最大值是 C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间 【答案】AD 【解析】 【分析】可作出函数草图，数形结合，判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：由图可知，的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故A正确； 对B：由图可知，函数在上单调递增，且，所以，当时，，故B错误； 对C：由图象可知，函数在上单调递减，故C错误； 对D：由图象可知，函数在和上单调递减，在和上单调递减，所以函数有四个单调区间.故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的. 【详解】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由，故C正确； 对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数无最大值 B. 函数的最小值为 C. 函数在上递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“高斯函数”的定义，得出的图象，结合图象，对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，，，依此，可得的图象如图所示， 由图知，的值域为，所以选项A正确，选项B错误， 对于选项C，因为当时，，所以函数在上递增，故选项C正确， 对于选项D，由图知，是周期函数，且，所以选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性，即转化为求在定义域上的减区间即可. 【详解】因为，解得或， 所以函数的定义域为， 设，则原函数， 因为在单调递减， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 13. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先分情况讨论的符号，再由可得的取值范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以若，则不等式可化为：，对一切恒成立，故满足题意； 若，则. 综上可知：. 故答案为： 14. 矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当______________时，三角形的面积最大，最大值为_______________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，结合即可求得，结合勾股定理得到，再根据三角形的面积公式可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如上图所示，设，则，又，得到，即， 易知，得，所以， 又，得到， 所以的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以的面积的最大值为， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 设且，函数的图像过点． （1）求的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1）2； （2）2 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域； （2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由函数的图像过点， 得，即，所以，解得或（舍）， 所以， 由，解得， 所以，函数的定义域为． 【小问2详解】 由（1）知， 又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增， 故函数在区间上的最大值． 17. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. 【小问2详解】 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 19. 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即． （1）设函数，求和； （2）证明：若为连续的单调函数，则； （3）若，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 若，则对，若满足，则，既， 若，同样. 假设，既存在，使得，，且. 不妨设，函数为连续单调递增函数，则，既，矛盾. 故不成立. 所以，则. （3） 【解析】 【分析】（1）已知函数的解析式，利用“不动点”和“稳定点”的概念求集合和. （2）结合函数的单调性，利用“”证明集合相等. （3）把问题转化为“存在，使得，，且”，进一步转化成“方程存在两个不相等的实根”，由求的取值范围. 【小问1详解】 ，解得； ，解得； . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，则存在，使得，，且. 即，两式相减，得， 又，，. 代入，得，同理，， 即方程存在两个不相等的实根， 则， 【点睛】关键点点睛：第三问中，把问题转化为“存在，使得，，且”，进一步转化成“方程存在两个不相等的实根”，由求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $