精品解析：河南省许昌市长葛市2024-2025学年九年级上学期期中质量监测数学试题

2024～2025学年上学期期中质量监测九年级数学 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置） 1. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则a必须满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足含有一个未知数，未知数的最高次数是2；注意二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选A． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握二次项系数不为0． 3. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，且， ∴只有B选项符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 5. 一元一次方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照一元二次方程配方法的解题步骤即可得到正确答案． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，牢记知识点并能够正确应用是解题重点． 6. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知∠C=∠AC1B1，AC=AC1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠C=∠CC1A=∠AC1B1=37°，从而可求得∠CC1B1=74°． 【详解】解：由旋转的性质可知：∠C=∠AC1B1，AC=AC1，∠CAC1=106°． ∵AC=AC1，∠CAC1=106°， ∴∠C=∠CC1A=． ∴∠AC1B1=37°． ∴∠CC1B1=∠CC1A+∠AC1B1=37°+37°=74°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键． 7. 已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，－1），则线段AB的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接EB，如图所示： ∵C（0，9），D（0，﹣1）， ∴OD=1，OC=9， ∴CD=10， ∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4， ∵AB⊥CD， ∴AO=BO=AB，OB==3， ∴AB=2OB=6； 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 9. 如图，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数的增减性和一次函数与y轴的交点可判断A和B；由一次函数图象和二次函数的图象相比较可判断C和D． 【详解】解：A、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误； B、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误； C、由抛物线的对称轴可知，，即，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，即，由直线可知，，，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解答本题的关键． 10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由题意得，抛物线经过，所以可设抛物线解析式为，代入可得抛物线解析式为，再根据抛物线解析式逐一分析判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得：， 设抛物线解析式为， 当时，有最大值， 即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 即足球被踢出时，距离地面的高度是，故②正确； 抛物线的对称轴为，即足球飞行路线的对称轴是直线，故③正确； 当时，， 即足球被踢出时落地，故④错误； 综上所述，只有②③正确，即正确的有2个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果写在答题卡上对应位置） 11. 把抛物线向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据上加下减的规律进行求解即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度后解析式为， 即， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于圆，若，则__________． 【答案】115°. 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180°，代入求出即可． 【详解】解：∵弧BCD对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD，∠BOD=130°， ∴∠A=∠BOD=65°， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠BCD=115°， 故答案为115°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出∠A的度数和得出∠A+∠BCD=180°． 13. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值1；当时函数有最小值，进而求得它们的范围． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为， 在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：， 故答案为：． 14. 2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是228万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设营业额每天的平均增长率为，依题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设营业额每天的平均增长率为，依题意，得： ， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，将点绕原点顺时针旋转后得到，再将点绕原点顺时针旋转后得到，点绕原点顺时针旋转后得到，以此类推，可以得到，，，，那么点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，解题的关键是得出点的坐标的变化规律．根据题意可得：将点绕原点顺时针旋转次刚好回到初始位置，进而得到，点的位置与的位置相同，由点，可得，推出与轴的夹角为，进而得到在轴的负半轴上，，求出，即可求解． 【详解】解：点绕原点顺时针旋转， （次），即将点绕原点顺时针旋转次刚好回到初始位置， ， 点的位置与的位置相同， 点， ， 与轴的夹角为， 将点绕原点顺时针旋转后得到， 在轴的负半轴上， ， ， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共75分，请将解答过程写在答题卡上对应位置） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）．（用配方法解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用直接开平方根的方法解方程即可； （2）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，根据建立不等式求解，即可解题． （2）本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用“，”结合建立关于的等式，即可解题． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， ， 或， 解得，， ， 的值为0． 18. 在平面直角坐标系中，如图所示． （1）画出与关于原点成中心对称的； （2）平移，当点移动到点，那么的对应点的坐标为：______． （3）将绕点逆时针旋转，那么的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变化，由点的变化得出平移的方式，熟练掌握相关性质定理确定好平移方式为解题关键． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）根据点平移前后的坐标确定平移方式再得出的坐标即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 移动到点， 平移方式为向右平移3个单位，向下平移1个单位， 平移后的点， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，绕点逆时针旋转后的如下图，则， 故答案为：． 19. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y，满足，求的值； （2）已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【小问1详解】 解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 20. 如图，是半圆的直径，点是半圆上不与点、重合的一个动点，延长到点，使，是的中点，连接、． （1）求证：； （2）连接，当四边形是菱形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：点是的中点，， ，， ． ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得到，，由可证； （2）根据菱形的性质得，从而证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质以及菱形的性质，解题关键是根据中位线的性质得到，，由得出． 21. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元； （2）每个模型应降价10元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量=20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱数； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用“总利润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型． 可获利：元． 答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元． 【小问2详解】 解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：，整理得：， 解得：， 又∵每个模型盈利不少于25元， ∴． 答：每个模型应降价10元． 22. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为20米，如果水位上升3米，则水面的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了多少米？ （3）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3．6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了米； （3）在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，求得的值，进一步计算即可求解； （3）当时，求得的值，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 设点，点， 由题意得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了米； 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 23. 已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． （1）如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； （2）如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】（1） （2） （1）中的结论成立；证明： 过点D作，，则， 又∵， ∴，， ∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）当绕D点旋转到时，证明四边形是正方形，边长是的一半，即可得出结论； （2）过点D作，，则，证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得：，得出即可． 【小问1详解】 解：当绕D点旋转到时， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，， ∵为边的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，，D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴ ， ∴． 故、、的关系是：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年上学期期中质量监测九年级数学 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置） 1. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则a必须满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 3. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为 D. 当时，y随x增大而增大 5. 一元一次方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，－1），则线段AB的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果写在答题卡上对应位置） 11. 把抛物线向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为______． 12. 如图，四边形内接于圆，若，则__________． 13. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 14. 2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是228万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，将点绕原点顺时针旋转后得到，再将点绕原点顺时针旋转后得到，点绕原点顺时针旋转后得到，以此类推，可以得到，，，，那么点的坐标是______． 三、解答题（8小题，共75分，请将解答过程写在答题卡上对应位置） 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）．（用配方法解） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 18. 在平面直角坐标系中，如图所示． （1）画出与关于原点成中心对称的； （2）平移，当点移动到点，那么的对应点的坐标为：______． （3）将绕点逆时针旋转，那么的对应点的坐标为______． 19. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y，满足，求的值； （2）已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 20. 如图，是半圆的直径，点是半圆上不与点、重合的一个动点，延长到点，使，是的中点，连接、． （1）求证：； （2）连接，当四边形是菱形时，求的度数． 21. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 22. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为20米，如果水位上升3米，则水面的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水面宽度为25米时，相对于正常水位下降了多少米？ （3）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3．6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 23. 已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． （1）如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； （2）如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，这种情况下，的数量关系是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $