专题10 嵌套函数的零点问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题10 嵌套函数的零点问题 专题10 嵌套函数的零点问题 知识梳理 函数的零点问题是命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图象、性质求解. 本微点对嵌套函数零点问题的两个常见考法进行归纳总结. 考点解读 考点一 嵌套函数零点个数的判断 【典例精讲】 例1.(2024·浙江省湖州市月考)已知函数则函数的零点个数是  (    ) A. B. C. D. 例2.(2023·湖北省黄冈市月考)已知函数，则实数根的个数为(    ) A. B. C. D. 例3.(2023·湖北省武汉市月考)已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤 (1)换元解套，转化为的零点; (2)依次解方程，令的值，代入的值或判断图象交点个数. 2.抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质. 【拓展提升】 练1-1(2023·四川省宜宾市模拟)已知函数则关于的方程的解的个数的所有可能值为(    ) A. 或或 B. 或 C. 或 D. 练1-2(2024·浙江省金华市模拟)若函数，则方程的实数根个数为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2023·河南省新乡市月考)已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 考点二 已知嵌套函数的零点个数求参数范围 【典例精讲】 例4.(2024·江苏省南通市模拟)已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例5.(2024·安徽省合肥市模拟)已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·广东省湛江市月考)已知，函数，若关于的方程有个解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由的图象，确定的取值范围,进而由的图象确定零点的个数； 2.处理含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合. 【拓展提升】 练2-1(2024·湖南省长沙市月考)已知函数，若方程有个不同的实根，则实数取值范围值是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·河北省保定市期末)已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围(    ) A. B. C. D. 练2-3(2024·辽宁省抚顺市月考)定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不等的实数根，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练2-4(2024·辽宁省葫芦岛市模拟)已知函数，，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-5(2024·江西省九江市月考)已知函数函数，若的图象与直线有个不同的交点，则实数的值可能为(    ) A. B. C. D. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 嵌套函数的零点问题 专题10 嵌套函数的零点问题 知识梳理 函数的零点问题是命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图象、性质求解. 本微点对嵌套函数零点问题的两个常见考法进行归纳总结. 考点解读 考点一 嵌套函数零点个数的判断 【典例精讲】 例1.(2024·浙江省湖州市月考)已知函数则函数的零点个数是  (    ) A. B. C. D. 例2.(2023·湖北省黄冈市月考)已知函数，则实数根的个数为(    ) A. B. C. D. 例3.(2023·湖北省武汉市月考)已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤 (1)换元解套，转化为的零点; (2)依次解方程，令的值，代入的值或判断图象交点个数. 2.抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质. 【拓展提升】 练1-1(2023·四川省宜宾市模拟)已知函数则关于的方程的解的个数的所有可能值为(    ) A. 或或 B. 或 C. 或 D. 练1-2(2024·浙江省金华市模拟)若函数，则方程的实数根个数为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2023·河南省新乡市月考)已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 考点二 已知嵌套函数的零点个数求参数范围 【典例精讲】 例4.(2024·江苏省南通市模拟)已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例5.(2024·安徽省合肥市模拟)已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·广东省湛江市月考)已知，函数，若关于的方程有个解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由的图象，确定的取值范围,进而由的图象确定零点的个数； 2.处理含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合. 【拓展提升】 练2-1(2024·湖南省长沙市月考)已知函数，若方程有个不同的实根，则实数取值范围值是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·河北省保定市期末)已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围(    ) A. B. C. D. 练2-3(2024·辽宁省抚顺市月考)定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不等的实数根，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练2-4(2024·辽宁省葫芦岛市模拟)已知函数，，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-5(2024·江西省九江市月考)已知函数函数，若的图象与直线有个不同的交点，则实数的值可能为(    ) A. B. C. D. 【答案解析】 例1. 解：由函数可得： ，由， 故函数共个零点， 故选A． 例2. 解：作出的图象： 若，则或 由图象可知与没有交点，与有个交点， 故实数根的个数为 故选A． 例3. 解：令，，则，分别作出和直线， 由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，， 有两根；时，有个不等实根， 综上可得的实根个数为， 即函数的零点个数是． 故选：． 练1-1. 解：当时，，， 从而当时，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，当时，，且， 当时，，， 从而当时，单调递减，当时，，单调递增． 时，，且，， 从而画出函数草图如下： 而方程，令，从而等价于． 二次方程的，从而有两解，设为 由韦达定理知，，故异号，不妨设， 若，从而，故无解，而有三解，即时方程共三解； 若，则，故有一解，而有二解，共三解； 若，从而， 故有二解，而仅一解，即共三解． 故选D． 练1-2. 解：由于 当时，，则，此时在上单调递增， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 当时，令得，， 当时，令得，， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有个解， 当时，结合图象可知，只有个解， 当时，结合图象可知，有个解， 综上，方程的实数根的个数为． 故选：． 练1-3. 解：设，令，可得：， 由，得，则在处切线的斜率为， 设与相切于点， ，切线斜率为， 则切线方程为：，即， ，解得：， 由于，作出与图象如下图所示， 与有四个不同交点， 即与有四个不同交点，设四个交点为，，，， 由图象可知： 与无交点，与有三个不同交点，与，各有两个不同交点， 的零点个数为个． 故选： 例4. 解：当时，， 当且仅当时取等号， 则易得的图象如图所示，令， 则化为， 当时，无解 当时，，解得，有两解 当时，有一个解，，有一个解 当时，有两解， 即，，有一个解，有两解，共三解 当时，，有三个解，，，，无解，有三解，两解，共五个解 当时，，有两解，，，有三解，有两解，共五个解． 综上，的取值范围是． 故选C． 例5. 解：要使得  由个不同的零点， 则令  ，  有个不同的实数根， 根据  ，作出  的大致图象如下： 由图可知：当  时，此时由两个根，分别为  ， 当  时，此时  有个交点， 当  时，此时  有个交点， 当  时，此时  有个交点，  显然不是  的根， 设  的两个零点分别为  ，且  ， 故当  时，此时  有个交点，  有个交点，满足题意， 故需要满足  ，解得  ， 当  时，此时  有个交点，  有个交点，满足题意， 故需要满足  ，解得  ， 综上可得  或  故选： 例6. 解：令，则，是二次方程，最多有两个解，最多有三个解， 由关于的方程有个解，则方程的解有个， 则函数和的图象如图，  由图象可得，，且三个解分别为，，，  则方程，，均有两个不相等的实根，  则，且，且， ，且，即且，解得， 当时，恒成立，  故的取值范围为． 故选A． 练2-1. 解：原方程可转化为， 即或， 当时，；当时，， 方法：要使得有个不同的实根，则有或 解得． 方法：作出的图象，如图所示， 当时，有个实根，有个实根，不符合题意； 当时，有个实根，有个实根，符合题意； 当时，有个实根，有个实根，不符合题意； 当时，有个实根，有个实根，符合题意； 当时，有个实根，有个实根，不符合题意； 综上， ． 故选D． 练2-2. 解：令，则原函数方程等价为． 作出函数的图象如图： 图象可知当由时，函数有个交点． 所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根，，且，． 令，则由根的分布如下图 可得，即，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选B  练2-3. 解：当时， 为偶函数，画出函数图象，如图所示： 依题意在和上递增，在和上递减， 当时，函数取得最大值 ；当时，取得最小值． 要使关于的方程，，有且只有个不同实数根， 设，可转化为必有两个根、，则有两种情况符合题意： ，且，此时，则； ，，此时同理可得， 综上可得的范围是． 故选：． 练2-4. 解：如图，作出函数的图象， 令，由图可知， 当时，关于的方程有个不同的实数根， 当或时，关于的方程只有个实数根， 因为关于的方程有三个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上， 或方程的两个根一个为，另一个在上， 若为方程的根时，则， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程的另一个根为，不符题意； 若为方程的根时，则或， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程只有一个根为，不符题意； 若关于的方程的一个根在上，另一个在上时， 令， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：． 练2-5. 解：由题意得：当时，， 令，则， 当时， ， 令，则 作出函数图象如图所示： 因为与函数图象有个交点，所以，且， 故实数的值可能为， 故选：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$