宁夏吴忠市2025届高三上学期学业水平适应性考试数学试题

吴忠市2025届高三学业水平适应性测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 题号 2 3 5 6 7 8 答案 D C B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2 13.(0,1) 14.(7,25): 337-m2 288 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分，第(1)题5分，第(2)题8分) 解：(1)在第4秒末移动到点(2,2,0)，需要沿x轴正方向移动2次， 沿y轴正方向移动2次，共有C?=6种可能， 2分 故该质点在第4秒末移动到点(2,2,0)的概率为6 3分 6 216 (2)质点移动2次，共有6×6=36种可能.若向正方向移动2次，则X=2,有3×3=9种 可能，PK=2引- 42分 若向负方向移动2次，则X=-2,有3x3=9种可能，P(X=-2)=9=: 364 2分 若向正方向和负方向各移动1次， 则X=0,有6x3=18种可能，PK=0)-瓷号 2分 故E(x)=2×4+(-2)x+0x)=0. 4 2分 2 16.(本题满分15分，第(1)题6分，第(2)题9分) 解：(1)当n=1时，1a=S,=2,即a=2: 1分 数学答案·第1页共6页 当n≥2时， 有man=S。-Sn1=(n-1)21+2-[m-2)2+2]=m2”, 得an=2”, 3分 若n=1,则a1=2: 1分 综上，有an=2" 1分 2分 -传*+r仔+ 32月34 2分 A 显然，了=子有=0， 1分 当22时，元≥=名且7<号有]=1n22 2分 2[]0+++l-n-l<1. 故 2分 17.(本题满分15分，第(1)题5分，第(2)题10分) 解：(1)如图，取PA的中点F,连接EF, 1分 BF,有EF∥D,EF-2AD, 又BC∥AD,BC=2AD, 所以EF∥BC,EF=BC, 所以四边形BCEF是平行四边形， 所以CE∥BF, 2分 因为CE车平面PAB,BFS平面PAB, 所以CE∥平面PAB. 2分 数学答案·第2页共6页 (2)如图，取AD的中点O,连接OP,OB, 因为PA=PD,∠APD=90°， 所以AD⊥PO,PO=二AD=1, 由BC∥OD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD, 知四边形BCDO是正方形，有AD⊥BO,OB=1, 因为PO∩BO=O,所以AD⊥平面PBO, 因为AD≤平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PBO, 在平面PBO内作直线BO的垂线Oz, 则Oz⊥平面ABCD,有Oz⊥OB,Oz⊥OD, 分别以OB,OD,Oz所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 3分 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PBO, 因为BPS平面PBO,所以BC⊥BP, 由PC=2,BC=1,知BP=V3, 由cos∠B0P-0P+0BBP_13.-,知∠B0P-2 2OP.0B21-12 3 从有 2分 A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0) AB=(（L1,0),BC=(01,0) mpA=0有 1 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),由 1x-y-2 2=0取x=1, m·AB=0, x+y=0, 则y=-1,z=5,得平面PAB的一个法向量为m=(山，-1，V5, 3分 设直线BC与平面PAB所成的角为a,则sina BC.m 5 BC 2分 J 数学答案·第3页共6页 18.(本题满分17分，第(1)题3分，第(2)题(i)8分，(iⅱ)6分) 解：)由题意，有9-5 03 1分 2b=4, 1分 a2-b2=c2,解得a2=6,b2=4, 故椭圆C的方程为父+ =1. 64 .1分 (2)1:y=c+1(k≠0)，与+ -=1联立， 64 得(2+3k2)x2+6kx-9=0, 】分 其中△=(6k)2-4(2+3k2)(9)=72(2k2+1>0, 1分 设P(xy）,Q(x》,有x+名=2+3球' -6k 1分 -9 x=2+3k 1分 (i)由F( E(0,1),OE=FP, 有0-=-(即+= 1分 有、6M 2+3k2k 1分 解得k=士 6 3 2分 (ⅱ)A(0,2),B(0,-2),假设存在直线AP平行于直线BQ, 有长=k0,有当2-当+2，又男=+1，为=：1， x1 x2 有已_+3，得(-1)x=(低+3)， 有x2=-3x: 2分 -6k 3k 代入+5=2+3次，得2+3次· .1分 数学答案·第4页共6页 -9k 有=2+3球' .1分 代入x2=23k’有2329啡 -9 2+3k22+322+3’ l分 整理，得、3认 2+3次=1，有2=0，显然矛盾，故不存在 1分 实数k,使直线AP平行于直线BQ. 19.(本题满分17分，第(1)题4分，第(2)题(i)5分，（ⅱ）8分) =1,得a=2, 1分 有+=1，有y小 1分 2x 则y'=4 1分 2V5' 故该函数在点 即x+2V5y-4=0. 1分 (2)因为y是x的“-1型函数”，所以+b=1, 1分 x y 由<1，b<1,有x>4,y>b. 1分 (x y y x 当且仅当“+=1，x-型 x y y x 即x=a+√ab,y=b+√ab时“=”成立. 3分 (i)由+。=，有y=x， 1分 x y x-a 记r+y=r+年=f因(x>a. 】分 x-a 数学答案·第5页共6页 f(x)=nx"+n 气扩-广]分 由f(x)=0,得x=a+Vab, 当x∈a,a+ab）时，f(x)<0,fx)单调递减， 1分 当x∈a+"yab,+∞时，fx)>0,f)单调递增， 1分 因此，有 wwit可可 +6y[+(5+bja6bj …2分 这电我证阴7r少o4b”《aN) 数学答案·第6页共6页绝密★启用前 吴忠市 2025 届高三学业水平适应性测试卷 数 学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合  2A x y x   ，  2 4 3 0B x x x    ，则 A B  （ ） A. 2 3x x  B. 2x x  C. 1, 2x x x 或 D. 1x x  2. 已知 30.2a  ， 0.23b  ， 0.2log 3c  ，则（ ） A. a c b  B. a b c  C.b a c  D. c b a  3. 已知平面  0 0P n P P     ，其中点  0 1,2,3P ，法向量  1,1,1n  ，则下列各点中不在平面 内 的是（ ） A.  1, 2,3 B.  2,4,5 C.  3,4,5 D.  2, 4,8 4. 已知函数  2( ) ln( 1)xf x x a e    是偶函数，则 a （ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 0 D. 1 5. 过抛物线 2 4x y 的焦点F 作直线 l，交抛物线于 A， B两点.若线段 AB中点的纵坐标为3，则 AB 等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 6. 函数 ( ) sin cosf x a x b x  图象的一条对称轴为直线 6 x  ，则 a b （ ） A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3  7. 已知 A，B，C是球O的球面上的三个点，且 120ACB  ， 3AB  ， 2AC BC  .若三棱锥 O ABC 的体积是 6 6 ，则球O的体积为（ ） A.36 B. 24 C.12 D.8 8. 已知   1cos 2    ， 5cos cos 12    ，则 2 2cos cos  （ ） A. 3 2 B. 4 3 C. 7 6 D. 9 8 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分. 9. 已知 1z ， 2z 为方程 2 10 40 0x x   的根，则（ ） A. 1 2 10z z  B. 1 2 10z z  C. 1 2z z D. 1 2z z 10. 已知函数 1( ) sin 2 sin cos f x x x x   ，则（ ） A. ( )f x 的图象关于原点对称 B.存在非零常数T，使得 ( ) ( )f x T f x  C. ( )f x 的最小值为2 2 D.方程 ( )f x a 无解的充要条件是  3,3a  11. 过双曲线C： 2 2 1 2 yx   的右焦点F 作直线 l，交双曲线C于 A，B两点，则（ ） A.双曲线C的实轴长为2 B.当 l x 轴时， 4AB  C.当 3AB  时，这样的直线 l有3条 D.当 4AB  时，这样的直线 l有 4 条 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知单位向量a  ，b  满足 2 3a b    ，则a  与b  的夹角为 . 13. 不等式 2 lnx x x  的解集为 . 14. 已知矩形 ABCD， 20AB  ， 15BC  ，沿对角线 AC将 ABC 折起（点 B在平面 ACD外），若 BD m ，则m的取值范围是 ，二面角B AC D  的余弦值是 （用m表示）. 数学试卷 · 第 2 页 · 共 4 页数学试卷 · 第 1 页 · 共 4 页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 13 分） 在空间直角坐标系O xyz 中，一个质点从原点O出发，每秒向 x轴正方向、x轴负方向、y轴 正方向、 y轴负方向、 z轴正方向、或 z轴负方向移动1个单位，且向六个方向移动的概率均相等. （1）求该质点在第 4 秒末移动到点  2,2,0 的概率； （2）设该质点在第 2 秒末移动到点  , ,x y z ，记随机变量 X x y z   ，求 X 的期望  E X . 16.（本题满分 15 分） 已知数列 nna 的前 n项和 nS 满足   11 2 2nnS n     （ *Nn ）. （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 1 1 n n n b a a   ，数列 nb 的前 n项和为 nT ， x 表示不超过 x的最大整数， 求证：   1 1 n i i T n    . 17.（本题满分 15 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中， PAD 是以 AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥ AD，CD AD ， 2 2 2PC AD DC CB    ，E为PD的中点. （1）证明：CE∥平面PAB； （2）求直线 BC与平面PAB所成角的正弦值. 18.（本题满分 17 分） 设椭圆C： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a b  ）的离心率为 3 3 ，短轴长为4 . （1）求椭圆C的方程； （2）过点 (0,1)E ，且斜率为 k的直线 l与椭圆C相交于P，Q两点. （ⅰ）若直线 l与 x轴相交于点F，且QE FP   ，求 k的值； （ⅱ）已知椭圆C的上、下顶点分别为 A，B，是否存在实数 k，使直线 AP平行于直线 BQ？ 19.（本题满分 17 分） 若变量 x， y满足： 0x  ， 0y  ，且 1 m mx y a b             ，其中 0a  ， 0b  ， Zm 且 0m  ， 则称 y是 x的“m型函数”. （1）已知 1b  ， y是 x的“ 2型函数”，求该函数在点 31, 2        处的切线方程； （2）已知 y是 x的“ 1 型函数”. （ⅰ）求 x y 的最小值； （ⅱ）求证： 1 1 1 nn n n n n nx y a b            （ Nn  ）. 数学试卷 · 第 3 页 · 共 4 页 数学试卷 · 第 4 页 · 共 4 页