概率初步重难点真题特训之易错必刷题型（45题15个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

概率初步重难点真题特训之易错必刷题型（45题15个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、事件的分类 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列哪个事件是可能发生的（   ） A．明天太阳从西方升起 B．经过交通路口时遇到红灯 C．三角形内角和为 D．在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）清明是春耕的关键时期，诗句“清明时节雨纷纷”所描述的是 事件(填“必然”，“随机”或“不可能”) 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）把必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件填入下列图框中：    易错必刷题二、列举随机实验的所有可能结果 4．（2022·北京朝阳·一模）下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果（　　） 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”次数m 22 52 71 95 116 138 160 187 214 238 “正面向上”频率 0.44 0.52 0.47 0.48 0.46 0.46 0.46 0.47 0.48 0.48 下面有三个推断： ①表中没有出现“正面向上”的概率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5； ②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48； ③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生； 其中合理的是（　　） A．①② B．①③ C．③ D．②③ 5．（22-23九年级·浙江杭州·）书架上有一本语文书，两本相同的英语书，三本相同的数学书，则把它们排成相同科目的书不相邻的排列方法有 种． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）用标有1克，2克，6克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物．如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数的重量共有多少种? 易错必刷题三、概率的意义理解 7．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列说法正确的是（       ） A．机场对旅客的行李的检查应采取抽样调查 B．检测一批灯管的使用寿命不宜采取全面调查 C．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上 D．反映一种饮料的成分构成应采用折线统计图 8．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 9．（21-22九年级上·全国·课后作业）小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”．那么，你认为小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理由，并与同伴交流． 易错必刷题四、判断几个事件概率的大小关系 10．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）北京冬奥会于年月日至日胜利举行．现有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，这三张邮票除正面内容不同外其余均相同．现将枚邮票放入一个不透明的袋子中，搅匀后从中任意抽出一张，小红第一个抽．下列说法正确的是（    ） A．小红抽到“会徽”的可能性最小 B．小红抽到“冰墩墩”的可能性最大 C．小红抽到“雪容融”的可能性最大 D．小红抽到三种邮票的可能性相同 11．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 12．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 易错必刷题五、根据概率公式计算概率 13．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）一个不透明布袋中有1个红球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，连续5次都是正面向上，则关于第6次抛掷结果，（正面向上） （反面向上）．（填写“>”“<”或“=”） 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时． (1)指针指向奇数的概率为多少？ (2)指针指向大于5的数的概率为多少？ 易错必刷题六、根据概率作判断 16．（2022·北京昌平·模拟预测）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 17．（20-21八年级下·江苏常州·期中）在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则 做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）． 18．（22-23七年级下·河南开封·阶段练习）一个正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，三个面上标有“3”，求这个骰子掷出后： (1)“2”朝上的概率； (2)朝上概率最大的数； (3)如果规定出现朝上的数为1或2时甲胜，出现朝上的数为3时，乙胜，那么甲、乙谁获胜的机会大些． 易错必刷题七、已知概率求数量 19．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 20．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 21．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共30个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5． (1)试求黄色球的数量； (2)若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值． 易错必刷题八、几何概率 22．（23-24七年级下·全国·期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 23．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 24．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？ 易错必刷题九、列举法求概率 25．（23-24九年级上·河南郑州·期中）连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（　　） A． B． C． D．1 26．（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为 27．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）小榕同学将宋、元、明、清四个朝代的名称分别写在四张完全相同的卡片的正面，并将卡片背面朝上随机放好 (1)小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是__________； (2)把这四张卡片分成两组，每组两张．求卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率． 易错必刷题十、列表法或树状图法求概率 28．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ． 30．（24-25九年级上·全国·期中）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，利用列表或树状图求小明与小慧同车的概率？ 易错必刷题十一、游戏的公平性 31．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 32．（22-23八年级下·四川达州·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为4，8，9的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 33．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）为迎接党的二十大胜利召开，银川市组织了形式多样的主题教育，我校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 易错必刷题十二、关于频率与概率关系说法的正误 34．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 35．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 36．（22-23九年级上·广西防城港·期末）在学习“概率”内容时，九5班的腾飞学习小组做了投掷质地均匀的正方体骰子的试验，他们共做了120次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 20 16 18 22 30 14 (1)计算“1点朝上”的频率是______； (2)在小组交流讨论时，小明说：“根据试验结果，估计投掷正方体骰子得到5点朝上的概率是”，小明的说法正确吗？为什么？ (3)甲和乙两位同学各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率． 易错必刷题十三、求某事件的频率 37．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 38．（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 39．（21-22七年级下·河南周口·期末）投掷一枚普通的正方体骰子次． (1)你认为下列四种说法中正确的为 （填序号）； ①出现点的概率等于出现点的概率； ②投掷次，点一定会出现次； ③投掷前默念几次“出现点”，投掷结果出现点的可能性就会加大； ④连续投掷次，出现的点数之和不可能等于． (2)求出现奇数的概率； (3)出现点大约有多少次？ 易错必刷题十四、由频率估计概率 40．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 41．（24-25九年级上·全国·期中）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有 个． 42．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496 (1)上表中的________，________． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 易错必刷题十五、用频率估计概率的综合应用 43．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是(    )    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 44．（23-24九年级上·广西河池·期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中8环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中8环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 . 45．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 概率初步重难点真题特训之易错必刷题型（45题15个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、事件的分类 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列哪个事件是可能发生的（   ） A．明天太阳从西方升起 B．经过交通路口时遇到红灯 C．三角形内角和为 D．在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故A不符合题意； B、经过交通路口时遇到红灯，是随机事件，故B符合题意； C、三角形内角和为，是不可能事件，故C不符合题意； D、在装满红色小球的箱子里摸出蓝色小球，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）清明是春耕的关键时期，诗句“清明时节雨纷纷”所描述的是 事件(填“必然”，“随机”或“不可能”) 【答案】随机 【分析】本题考查随机事件，解题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：诗句“清明时节雨纷纷”所描述的是随机事件， 故答案为：随机． 3．（22-23七年级下·山东淄博·期中）把必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件填入下列图框中：    【答案】见解析 【分析】按照事件的分类进行解题即可． 【详解】解：    【点睛】本题考查事件的分类，掌握事件的分类是解题的关键． 易错必刷题二、列举随机实验的所有可能结果 4．（2022·北京朝阳·一模）下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果（　　） 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”次数m 22 52 71 95 116 138 160 187 214 238 “正面向上”频率 0.44 0.52 0.47 0.48 0.46 0.46 0.46 0.47 0.48 0.48 下面有三个推断： ①表中没有出现“正面向上”的概率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5； ②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48； ③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生； 其中合理的是（　　） A．①② B．①③ C．③ D．②③ 【答案】C 【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可． 【详解】解：①随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故错误； ②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48，故错误； ③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生，正确； 故选C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．（22-23九年级·浙江杭州·）书架上有一本语文书，两本相同的英语书，三本相同的数学书，则把它们排成相同科目的书不相邻的排列方法有 种． 【答案】10 【分析】设语文书为△，英语书为□，数学书分别为○，根据题意进行排列即可得出所有的排列方法. 【详解】解：设语文书为△，英语书为□，数学书分别为○， ∴则排成相同科目的书不相邻的排列方法可以为： △○□○□○； □○△○□○； □○□○△○； ○□○□○△； ○□○△○□； ○△○□○□； ○△□○□○； ○□△○□○； ○□○△□○； ○□○□△○； 故此种要求的排法有10种， 故答案为：10. 【点睛】本题考查了排列与组合问题，注意把不符合的扣除，避免多了或少了，始终注意同类书不相邻是解题关键． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）用标有1克，2克，6克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物．如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数的重量共有多少种? 【答案】9 【分析】利用列举法将所有可能的情况都列举出来，主要分一端放砝码，另一端不放砝码时求得可称重物的克数有多少种；另种情况两端都放砝码，求得可称重物的克数有多少种．然后去掉相同的克数，由此问题得解． 【详解】解：①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克； ②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克； ③当天平的一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有9克； ④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克； ⑤当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克． 去掉重复的克数后，可称重物的克数共有9种． 【点睛】本题考查简单的列举法，利用分类讨论得出是解题的关键，注意不重不漏． 易错必刷题三、概率的意义理解 7．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列说法正确的是（       ） A．机场对旅客的行李的检查应采取抽样调查 B．检测一批灯管的使用寿命不宜采取全面调查 C．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上 D．反映一种饮料的成分构成应采用折线统计图 【答案】B 【分析】本题考查调查的方式，概率的意义和统计图，根据调查的方式，概率的意义和统计图的特点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、机场对旅客的行李的检查应采取全面调查，原说法错误，不符合题意； B、检测一批灯管的使用寿命不宜采取全面调查，说法正确，符合题意； C、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同，原说法错误，不符合题意； D、反映一种饮料的成分构成应采用扇形统计图或条形统计图，原说法错误，不符合题意； 故选B． 8．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 【答案】② 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：①说明做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； ②说明做次这种试验，事件可能发生次，正确； ③说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误； ④说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键． 9．（21-22九年级上·全国·课后作业）小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”．那么，你认为小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理由，并与同伴交流． 【答案】一样大，都是，见解析 【分析】根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】由于硬币质地均匀，并且是“没有记忆”的，所以第3次掷硬币，“正面朝上”的可能性和“反面朝上”的可能性一样大，都是． 【点睛】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键． 易错必刷题四、判断几个事件概率的大小关系 10．（21-22七年级下·贵州贵阳·期末）北京冬奥会于年月日至日胜利举行．现有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，这三张邮票除正面内容不同外其余均相同．现将枚邮票放入一个不透明的袋子中，搅匀后从中任意抽出一张，小红第一个抽．下列说法正确的是（    ） A．小红抽到“会徽”的可能性最小 B．小红抽到“冰墩墩”的可能性最大 C．小红抽到“雪容融”的可能性最大 D．小红抽到三种邮票的可能性相同 【答案】D 【分析】根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：共有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”“雪容融”， 小红抽到三种邮票的可能性相同，抽到的概率都是； 故选：D． 【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 11．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性 摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 【答案】小于 【分析】分别求出摸出白色和黄色球的概率，再比较摸出两种颜色球的可能性大小即可． 【详解】∵摸出白球的可能性为，摸出黄球的可能性为 ∴摸出白球的可能性小于摸出黄球的可能性． 故答案为：小于． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求概率时，应注意熟练概率公式是解题的关键． 12．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 易错必刷题五、根据概率公式计算概率 13．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）一个不透明布袋中有1个红球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单概率计算，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．根据题意可知袋中共有5个球，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意，袋中有1个红球，4个白球，即袋中共有5个球， 所以，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为． 故选：C． 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，连续5次都是正面向上，则关于第6次抛掷结果，（正面向上） （反面向上）．（填写“>”“<”或“=”） 【答案】= 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 由抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上；直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上， ∴（正面向上）（反面向上）． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时． (1)指针指向奇数的概率为多少？ (2)指针指向大于5的数的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）指针指向奇数的有4个，再除以总数8即可； （2）指针指向大于6的数有3个，再除以总数8即可． 【详解】（1）解：∵8个扇形中奇数有1，3，5，7共4个， ∴指针指向奇数的概率为； （2）解：∵8个扇形中大于5的数有6，7和8，共3个， ∴指针指向大于5的数的概率为． 易错必刷题六、根据概率作判断 16．（2022·北京昌平·模拟预测）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（    ） A．A B．B C．C D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷， 所以A必定有地雷， 所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 17．（20-21八年级下·江苏常州·期中）在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则 做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）． 【答案】男生 【分析】依题意，分别求出男生作代表和女生做代表的概率，比较之即可求得答案． 【详解】选男生做代表的概率为：， 选女生作代表的概率为：， ． 男生做代表的可能性较大． 故答案为：男生． 【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率的简单计算是解题的关键． 18．（22-23七年级下·河南开封·阶段练习）一个正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，三个面上标有“3”，求这个骰子掷出后： (1)“2”朝上的概率； (2)朝上概率最大的数； (3)如果规定出现朝上的数为1或2时甲胜，出现朝上的数为3时，乙胜，那么甲、乙谁获胜的机会大些． 【答案】(1) (2)3 (3)甲、乙获胜的机会相同 【分析】（1）用面上标有2的面数除以总面数即可得出答案； （2）概率公式直接求解即可； （3）根据面上标有1和面上标有2的共有3面，面上标有3的有3个面，得出面数相等，从而得出甲、乙谁获胜的机会一样大． 【详解】（1）解： ∵共有6个面，其中两个面上标有2， ∴2朝上的概率， （2）∵共有6个面，其中一个面上标有1，两个面上标有2，三个面上标有3， ∴朝上概率最大的数是3； （3）出现朝上的数为1或2时的概率， 出现朝上的数为3时的概率为， 所以甲、乙获胜的机会相同． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 易错必刷题七、已知概率求数量 19．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得，（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是15个． 故选：D． 20．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【答案】35 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 21．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共30个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5． (1)试求黄色球的数量； (2)若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值． 【答案】(1)黄色球的数量为个 (2)6 【分析】本题考查一直概率求数量： （1）根据概率之和为1，求出摸到黄球的概率，利用总数乘以概率求出数量即可； （2）根据红球的个数等于原来的个数加上放进去的个数，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5， ∴摸到黄球的概率为：， ∴黄色球的数量为：（个）； （2）由题意得：， 解得：， 答：a的值为6． 易错必刷题八、几何概率 22．（23-24七年级下·全国·期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题的关键． 【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：A． 23．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：． 24．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，整式的混合运算，解题关键是求得房屋的总面积．分别表示出房屋总面积以及卧室和客厅的面积和，相除即可求得概率． 【详解】解：由图形可知，房屋总面积为：， 卧室和客厅的面积和为：， 他停留在卧室或客厅的概率是． 易错必刷题九、列举法求概率 25．（23-24九年级上·河南郑州·期中）连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等可能事件的概率．先求出连续抛掷两枚质地均匀的硬币的结果有4种，其中两枚正面朝上共有1种结果，再利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，共有4种结果：正正，正负，负正，负负， ∴“两枚正面朝上”的概率是． 故答案为：A． 26．（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况，进行计算即可． 【详解】解：随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况， ∴； 故答案为：． 27．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）小榕同学将宋、元、明、清四个朝代的名称分别写在四张完全相同的卡片的正面，并将卡片背面朝上随机放好 (1)小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是__________； (2)把这四张卡片分成两组，每组两张．求卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列举法求概率即可． 【详解】（1）小闽同学从中随机抽取一张，恰好卡片上写着是“宋”字的概率是； 故答案为：； （2）解∶这四张卡片分成两组，每组两张．有如下3种情况∶ “宋”、“元”与“清”、“明”；“宋”、“明”与“元”、“清”；“宋”、“清”与“元”、“明”， 并且它们出现的可能性相等， 其中“清”、“明”两字分在同一组有1种情况 ∴卡片上写着“清”、“明”两字分在同一组的概率为． 易错必刷题十、列表法或树状图法求概率 28．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种 ∴他们两人选取的主题不同的概率是， 故选：． 29．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中、两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：列表得： 项目必考，再从、、、四项中随机抽考两项， 共有12种等可能的结果，恰好选中、两位同学的有2种情况， （恰好选中、． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·全国·期中）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，利用列表或树状图求小明与小慧同车的概率？ 【答案】 【分析】此题考查了利用列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：设三辆车分别是A、B、C，根据题意可列表如下， 小慧的选择 小明的选择 A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 根据列表可知所有结果有9种，小明与小慧同车的结果有3种， 则小明与小慧同车的概率 易错必刷题十一、游戏的公平性 31．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率为，小明胜的概率为，然后再利用两者的概率相等可判断游戏公平． 【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则不公平． 32．（22-23八年级下·四川达州·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为4，8，9的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数的比值．先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 4 8 9 4 8 12 13 8 12 16 17 9 13 17 18 共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 所以这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 33．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）为迎接党的二十大胜利召开，银川市组织了形式多样的主题教育，我校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】此规则不合理，理由见解析 【分析】本题考查游戏公平性，解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比. 画树状图得出所有可能出现的结果，分别求出两个小球和是奇数和偶数的概率即可得出答案. 【详解】此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有种等可能的结果，其中选甲乙的有种结果，选丙丁的有种结果， ∴ ，故此规则不合理. 易错必刷题十二、关于频率与概率关系说法的正误 34．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 35．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】利用频率与概率的意义即可得出． 【详解】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确； 故答案为①③④ 【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值． 36．（22-23九年级上·广西防城港·期末）在学习“概率”内容时，九5班的腾飞学习小组做了投掷质地均匀的正方体骰子的试验，他们共做了120次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 20 16 18 22 30 14 (1)计算“1点朝上”的频率是______； (2)在小组交流讨论时，小明说：“根据试验结果，估计投掷正方体骰子得到5点朝上的概率是”，小明的说法正确吗？为什么？ (3)甲和乙两位同学各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率． 【答案】(1) (2)小明的说法不正确．因为通过大量的重复试验，可用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，但120次试验次数不够多，所以不能由此频率估计概率． (3) 【分析】（1）根据频率的概念求解即可； （2）试验次数越多各数字出现的频数就越接近相等，据此求解即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）“1点朝上”的频率是， 故答案为：； （2）小明的说法不正确．因为通过大量的重复试验，可用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，但120次试验次数不够多，所以不能由此频率估计概率． （3）列表得： 点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有36种等可能的结果，其中两枚骰子朝上的点数和是4的倍数的结果有9种． ∴． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，掌握频率公式：频率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事物的概率． 易错必刷题十三、求某事件的频率 37．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 38．（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 39．（21-22七年级下·河南周口·期末）投掷一枚普通的正方体骰子次． (1)你认为下列四种说法中正确的为 （填序号）； ①出现点的概率等于出现点的概率； ②投掷次，点一定会出现次； ③投掷前默念几次“出现点”，投掷结果出现点的可能性就会加大； ④连续投掷次，出现的点数之和不可能等于． (2)求出现奇数的概率； (3)出现点大约有多少次？ 【答案】(1)①④ (2) (3)4次 【分析】（1）根据随机事件的定义逐一判断即可得； （2）根据概率公式求解可得； （3）先求出出现6点的概率，再用投掷次数乘以其概率即可求解． 【详解】（1）①抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为，故①正确； ②投掷24次，2点不一定会出现4次，故②错误； ③投掷结果出现4点的概率一定，不会受主观原因改变，故③错误； ④连续投掷6次，最多为6×6=36，所以出现的点数之和不可能等于37，故④正确． 即只有①④说法正确； （2）1至6的6个点数中有3个是奇数点数，3个是偶数点数， 即出现奇数点数的概率为：， 即所求概率为； （3）出现6点的概率为：， 即出现6点大约有：24×=4次， 答：出现6点的次数大约为4次． 【点睛】本题考查了概率的公式，解题时注意出现1点的概率不受实验次数的影响． 易错必刷题十四、由频率估计概率 40．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验，  是方程的解，且符合题意． 故选：D． 41．（24-25九年级上·全国·期中）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有 个． 【答案】14 【分析】根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近， 从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为， 设袋子中的白球有个， 根据题意，得：， 解得， 估计袋子中的白球有14个， 故答案为：14． 42．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496 (1)上表中的________，________． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 【答案】(1)191， (2) (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． （3）用9500除以发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：191，； （2）解：∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3）解：， 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 易错必刷题十五、用频率估计概率的综合应用 43．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是(    )    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率接近，故本选项推理错误，不符合题意； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是，故本选项推理正确，符合题意； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个，故本选项推理正确，符合题意； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率也是，故本选项推理错误，不符合题意． 故选：B． 44．（23-24九年级上·广西河池·期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中8环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中8环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 . 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据大量的实验结果稳定在，即可得出结论． 【详解】解：由题知，射击次数越多，“射中8环以上”的频率越接近， 所以这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是． 故答案为：． 45．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 【答案】17个 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求数量，根据摸到白球的频率稳定在0.15附近，得到摸到白球的的概率为0.15，设袋子中红球的个数为个，利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中红球的个数为个， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋子中红球的个数为17个． 学科网（北京）股份有限公司 $$