投影与视图重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

投影与视图重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、平行投影 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西桂林·一模）某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米． 3．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 压轴满分题二、中心投影 4．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）下列各种现象中，属于中心投影现象的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点和图形，以点为圆心，1为半径作，图形上的每一个点（不是原点），都能使得直线与有公共点，那么称图形和点关联． (1)点，下列图形中与点关联的图形是____________； ①轴； ②直线； ③半径为1的； ④线段，其中． (2)点在直线上，点在轴上，点在第一象限，已知为等边三角形，若与点关联，求点横坐标的取值范围； (3)平面上一点满足，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，点在线段上．点在以为中心，边长为8的正方形上，与点关联，直接写出的半径的取值范围． 压轴满分题三、正投影 7．（22-23九年级上·全国·课后作业）若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD 8．（22-23九年级下·全国·单元测试）投影线 投影面产生的投影叫做正投影． 9．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题. （1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积； （3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）. 压轴满分题四、视点、视角和盲区 10．（23-24九年级下·全国·单元测试）人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 11．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 12．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 压轴满分题五、由三视图还原几何体 13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是(   )．    A．18 B．19 C．20 D．21 14．（22-23九年级下·江苏镇江·单元测试）展览厅内要用相同的正方体木块搭成一个三视图如图的展台，则此展台共需这样的正方体 块． 15．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问： （1）俯视图中b=__________，a=__________． （2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成． （3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）． 压轴满分题六、已知三视图求边长 16．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（    ）    A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm 17．（22-23八年级下·重庆渝中·期末）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算该几何体的底面周长为 ． 18．（23-24九年级下·安徽·单元测试）如图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)． 探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示． 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm； (2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)； (3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数（）. 压轴满分题七、已知三视图求侧面积或表面积 19．（2022九年级上·全国·专题练习）从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形为矩形，分别是的中点．若，则这个正六棱柱的侧面积为(　　) A． B． C． D． 20．（2024·甘肃平凉·三模）如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的表面积是 ． 21．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图是一个直六棱柱的不完整的三视图，其中主视图是一个邻边为和的矩形，俯视图是正六边形 请把三视图补充完整； 计算这个直棱柱的表面积． 压轴满分题八、求小立方块堆砌图形的表面积 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 23．（21-22八年级下·山东青岛·期中）如图所示是一种棱长分别为3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体： 如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ． 24．（22-23七年级上·四川·阶段练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 压轴满分题九、已知三视图求体积 25．（22-23九年级下·全国·单元测试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·山西大同·期末）某几何体的三视图如图所示，根据图中提供的数据可知，该几何体的体积为 ．    27．（2023九年级·全国·专题练习）如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图，利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积． 压轴满分题十、求几何体视图的面积 28．（2022·山西·三模）如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（2023·江苏无锡·中考真题）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是 . 30．（22-23九年级·广东茂名·期末）如图是一个正三棱柱的俯视图： （1）你请作出它的主、左视图； （2）若AC＝2，AA'＝3，求左视图的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 投影与视图重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、平行投影 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，分式方程解实际应用题，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得，故， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故选B． 2．（2024·广西桂林·一模）某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米． 【答案】// 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，米， 根据实际高度和影长成正比例，得出， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故答案为：． 3．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 压轴满分题二、中心投影 4．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）下列各种现象中，属于中心投影现象的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，根据平移投影和中心投影的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、阳光下旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意； B、台灯下书本的影子为中心投影，所以B选项符合题意； C、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以C选项不合题意； D、正午阳光下的树影为平行投影，所以D选项不合题意． 故选：B． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 【答案】3.24 m2 【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可. 【详解】 解：根据题意由图可知， ， 由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为 ×1.2×1.2=3.24m2． 【点睛】解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点和图形，以点为圆心，1为半径作，图形上的每一个点（不是原点），都能使得直线与有公共点，那么称图形和点关联． (1)点，下列图形中与点关联的图形是____________； ①轴； ②直线； ③半径为1的； ④线段，其中． (2)点在直线上，点在轴上，点在第一象限，已知为等边三角形，若与点关联，求点横坐标的取值范围； (3)平面上一点满足，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，点在线段上．点在以为中心，边长为8的正方形上，与点关联，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】（1）根据新定义画出图形，即可求解； （2）根据新定义，作使得与直线和轴的相切，过点作的垂线，得出，结合新定义可得当时，与点关联，即可求解； （3）当在的垂直平分线上时，到的距离相等，根据中心投影的性质可得，当离最近时，最小，离最远时，最大， 当在时，如图所示，过点作于点，过点作于点，当在时，的半径取得最大值，根据，求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 根据定义可得与点关联的图形是①④ （2）解：如图所示，在直线上，点在轴上，点在第一象限，已知为等边三角形， 作使得与直线和轴的相切，过点作的垂线， ∵是等边三角形， ∴， ∵与点关联， ∴； （3）解：依题意，当在的垂直平分线上时，到的距离相等，根据中心投影的性质可得，当离最近时，最小，离最远时，最大， 当在时，如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵，则 设，则， 在中，， ∴， ∵ ∴ 解得：，（舍去）     则， ∵ ∴， ∴， ， 解得： ， 即的最小半径为； 当在时，的半径取得最大值，此时如图所示， 同理可得 ∴ 解得： ∴． 【点睛】本题考查了中心投影的新定义，切线的性质，勾股定理，正方形的性质，中心对称，解直角三角形，等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 压轴满分题三、正投影 7．（22-23九年级上·全国·课后作业）若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD 【答案】D 【分析】根据正投影的定义和性质解答可得． 【详解】若线段AB平行于投影面，则AB=CD， 若线段AB不平行于投影面，则AB>CD， 则AB≥CD， 故答案选：D. 【点睛】本题考查了平行投影的知识点，解题的关键是熟练的掌握正投影的定义和性质. 8．（22-23九年级下·全国·单元测试）投影线 投影面产生的投影叫做正投影． 【答案】垂直于 【详解】根据定义，正投影强调的是投影线垂直于投影面而产生的，所以填垂直 故答案为垂直于 9．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题. （1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积； （3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）. 【答案】（1）2 ；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）= 【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可； (2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题； (3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案. 【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H， ∵T(AC，AB)=3， ∴AH=3， ∵AB=5， ∴BH=AB-AH=2， ∴T(BC，AB)=BH=2， 故答案为2； (2)如图2，过点C作CH⊥AB于H， 则∠AHC=∠CHB=90°， ∴∠B+∠HCB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠A=90° ∴∠A=∠HCB， ∴△ACH∽△CBH， ∴CH：BH=AH：CH， ∴CH2=AH·BH， ∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9， ∴AH=4，BH=9， ∴AB=AH+BH=13，CH=6， ∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39； (3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K， ∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2， ∴AC=2， ∵∠A=60°， ∴∠ADC=∠BDK=30°， ∴CD=AC·tan60°=2，AD=2AC=4，AH=AC=1， ∴DH=4-1=3， ∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB， ∴BH=6， ∴DB=BH-DH=3， 在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°， ∴DK=BD·cos30°=， ∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=+=.    【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键. 压轴满分题四、视点、视角和盲区 10．（23-24九年级下·全国·单元测试）人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据视角与盲区的关系来判断. 【详解】解：如图，AB为窗户，由此知离窗户越远，视角就会越小，盲区就会变大， 故选A.    【点睛】此题主要考查视角与盲区，解题关键是明确视角盲区的意义. 11．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【答案】 【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可． 【详解】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P， 作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G， 根据题意可得出： ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40， ∴NC=， =40米， 设EO=x米， ∴DH=x米， ∵ME=DE=60米， ∴∠MDE=45∘， ∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米， ∵FC∥PO， ∴， ∴x， 解得：x=60−20， ∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米， CD⋅HP=DP⋅CG， ×40×(120−20−60)= × [20+40−(40−20)]⋅CG， CG=20米， ∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米． 故答案为40+20 【点睛】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键． 12．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)见解析 (2)等比性质； (3)① ② 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）利用盲区的定义作图即可； （2）根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）如图所示: （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 压轴满分题五、由三视图还原几何体 13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是(　　　　  )．    A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可. 【详解】解：∵由主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体， ∴n的最大值为6+6+9=21. 故选：D 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形. 14．（22-23九年级下·江苏镇江·单元测试）展览厅内要用相同的正方体木块搭成一个三视图如图的展台，则此展台共需这样的正方体 块． 【答案】10 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】综合主视图，俯视图，左视图，底层有3+1+2=6个正方体，第二层有2个正方体，第三层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是6+2+2=10个． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 15．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问： （1）俯视图中b=__________，a=__________． （2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成． （3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）． 【答案】（1）1；3（2）9（3）7 【详解】试题分析：（1）由主视图可知，第2列小正方体个数都为1，所以b=1,，第三列小正方体个数为3，所以a=3；（2）正方体个数最少时，第一列正方体个数为：1+1+2=4个，第2列正方体个数为：1+1=2个，第3列正方体个数为：3个，一共有：4+2+3=9个；（3）第2列正方体个数确定为：1+1=2个，第3列正方体个数确定为：3个，第1列正方体情况可能为：①d=1，e=1，f=2；②d=1，e=2，f=1；③d=2，e=1，f=1；④d=2，e=2，f=1；⑤d=2，e=1，f=2；⑥d=1，e=2，f=2；⑦d=2，e=2，f=2，共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多，左视图如图所示. 试题解析： （1）b=1，a=3； （2）1+1+2+1+1+3=9个； （3）共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多. 此时，左视图为： 点睛：掌握三视图的画法，并会根据三视图判断对应的正方体的个数. 压轴满分题六、已知三视图求边长 16．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（    ）    A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm 【答案】C 【分析】由主视图知道，高是，两顶点之间的最大距离为，再利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可解答． 【详解】解：根据题意，如图：作出实际图形的上底，连接, 由主视图可知：, ∵正六边形 ∴, ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴，则， ∴胶带的长至少．      故选C． 【点睛】本题考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力，知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形是解答本题的关键． 17．（22-23八年级下·重庆渝中·期末）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算该几何体的底面周长为 ． 【答案】4πcm． 【分析】根据主视图是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，勾股定理求得底边的长，这就是圆锥底面圆的直径，计算周长即可． 【详解】如图，根据主视图的意义，得三角形是等腰三角形， ∴三角形ABC是直角三角形， BC==2， ∴底面圆的周长为：2πr=4πcm． 故答案为：4πcm． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握圆锥的三视图及其各视图的意义是解题的关键． 18．（23-24九年级下·安徽·单元测试）如图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)． 探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示． 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm； (2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)； (3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数（）. 【答案】(1)平行,　3 (2)V液＝24(dm3)． (3)α≈37°. 【详解】试题分析：(1)根据水面与水平面平行可以得到CQ、BE的位置关系，利用勾股定理结合三视图即可求得BQ的长. (2)液体正好是一个以△ BCQ为底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积. (3)在Rt△ BCQ中易得∠ BCQ的正切值，结合已知即可求解. 试题解析：(1)平行,　3. (2)V液＝×3×4×4＝24(dm3)． (3)过点B作BF⊥CQ，垂足为F. ∵S△BCQ＝×3×4＝×5×BF，∴ BF＝ dm，∴液面到桌面的高度是dm. ∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ= ，∴∠BCQ≈37°. 由(1)可知CQ∥BE，∴ α＝∠ BCQ ≈37°. 点睛：本题主要考查三视图、棱柱的体积以及三角函数等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键. 压轴满分题七、已知三视图求侧面积或表面积 19．（2022九年级上·全国·专题练习）从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形为矩形，分别是的中点．若，则这个正六棱柱的侧面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，正六边形的边长为，过点作，则垂直平分，根据正六边形的性质求得，进而求得正六棱柱的侧面积． 【详解】解：如图，正六边形的边长为，过点作 ∴垂直平分， 由正六边形的性质可知，， ∴ 正六棱柱的侧面积 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图，正多边形与圆，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 20．（2024·甘肃平凉·三模）如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的表面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三视图还原几何体，正三棱柱表面积，解直角三角形，根据三视图可知，该几何体为正三棱柱，记底面三角形高为，结合解直角三角形求出，分别算出三棱柱的侧面积和三棱柱的两个底面积，即可得到这个几何体的表面积． 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为正三棱柱， 三棱柱的侧面积为：， 记底面三角形高为，则， 三棱柱的两个底面积为：， 这个几何体的表面积是， 故答案为：． 21．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图是一个直六棱柱的不完整的三视图，其中主视图是一个邻边为和的矩形，俯视图是正六边形 请把三视图补充完整； 计算这个直棱柱的表面积． 【答案】（1）画图见解析；（2）表面积是． 【分析】（1）根据直六棱柱的主视图与俯视图可知，其左视图为并排的两个长方形，长方形的高跟主视图的高相等，长方形的宽跟俯视图的宽相等，依此画出即可；（2）由于主视图的矩形长是20宽是8，则直六棱柱底面的正六边形的边长是20÷2=10，直六棱柱的高是8，依此即可得到这个直棱柱的表面积． 【详解】如图所示： 主视图的矩形长是宽是，则直六棱柱底面的正六边形的边长是，直六棱柱的高是， ． 故这个直棱柱的表面积是． 【点睛】本题考查了作图-三视图，由三视图判断几何体及直六棱柱的有关运算，主视图可表示出几何体的长与高，左视图应表示出几何体的宽与高；俯视图表示出几何体的长与宽．求出底面正六边形的边长是10是解题的关键． 压轴满分题八、求小立方块堆砌图形的表面积 22．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 23．（21-22八年级下·山东青岛·期中）如图所示是一种棱长分别为3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体： 如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ． 【答案】 228 264 912 【分析】如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长3×3=9cm，宽4cm，高6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解； 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4×2=8cm，宽3×2=6cm，高6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解； 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长6×2=12cm，宽4×2=8cm，高3×6=18cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：长3×3=9cm，宽4cm，高6cm， （9×4+9×6+4×6）×2 =（36+54+24）×2 =114×2 =228（cm2）． 答：如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是228cm2． 长4×2=8cm，宽3×2=6cm，高6cm， （8×6+8×6+6×6）×2 =（48+48+36）×2 =132×2 =264（cm2）． 答：如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是264cm2． 长6×2=12cm，宽4×2=8cm，高3×6=18cm， （12×8+18×8+12×18）×2 =（96+144+216）×2 =456×2 =912（cm2）． 答：如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是912cm2． 故答案为：228；264；912． 【点睛】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的长宽高． 24．（22-23七年级上·四川·阶段练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克． 【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得； （2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得； （3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得． 【详解】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1， 搭建第②个几何体的小立方体的个数为， 搭建第③个几何体的小立方体的个数为， 归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为， 故答案为：30； （2）第②个几何体的三视图如下：    由题意，每个小正方形的面积为， 则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； 第③个几何体的三视图如下：    则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为， 则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为， 因此，共需要油漆的克数为（克）， 答：共需要992克油漆． 【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键． 压轴满分题九、已知三视图求体积 25．（22-23九年级下·全国·单元测试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图、左视图以及俯视图，即可判定这个几何体是圆锥，求出外接球的半径，即可求出球的表面积． 【详解】由三视图可知，这个几何体是圆锥， 其外接球的球心恰好是正三角形的外心， 因为这个圆锥外接球的半径为， 所以这个球的表面积为： S=4πr2=. 故选C. 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积.理解外接球的球心就是正三角形的外心是解题的关键. 26．（23-24九年级上·山西大同·期末）某几何体的三视图如图所示，根据图中提供的数据可知，该几何体的体积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了几何体三视图，由三视图确定几何体为圆柱，根据题图中的数据进行计算体积即可，解题的关键是是正确理解几何体的三视图． 【详解】解：由几何体三视图可知，该几何体是圆柱， 则体积为， 故答案为：． 27．（2023九年级·全国·专题练习）如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图，利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积． 【答案】该手电筒的表面积，该手电筒的体积 【分析】观察手电筒的三视图可知，手电筒下部是一个圆柱，上部是一个圆台，且圆台较小的底面与圆柱的底面相同；接下来构造如图所示的三角形，可得，，，，，则梯形可表示圆台的主视图，根据图形求得相关线段长度；接下来分别求出手电筒圆台部分的表面积为S1，圆台的体积为V1，手电筒圆柱部分的表面积S2，圆柱的体积为V2，进而得到该手电筒的表面积和体积． 【详解】解：先求圆台的表面积和体积． 构造如图所示的三角形，，，，，，则梯形ABDC可表示圆台的主视图． ，， ， 在中，， ， ， ，即， 解得， ， 由，得，　 ， 手电筒圆台部分的表面积为， 圆台的体积为， 又手电筒圆柱部分的表面积为， 圆柱的体积为， 该手电筒的表面积， 该手电筒的体积． 【点睛】在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺寸计算物体的表面积或体积，解决此类题型的方法是先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸利用相应的公式进行计算． 压轴满分题十、求几何体视图的面积 28．（2022·山西·三模）如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得． 【详解】解：该组合体的俯视图为： 故该组合体的俯视图的面积为： 故选：B 【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键． 29．（2023·江苏无锡·中考真题）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是 . 【答案】72 【详解】分析：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是36， ∴设高为h，则6×2×h=36，解得：h=3． ∴它的表面积是：2×3×2+2×6×2+3×6×2=72． 30．（22-23九年级·广东茂名·期末）如图是一个正三棱柱的俯视图： （1）你请作出它的主、左视图； （2）若AC＝2，AA'＝3，求左视图的面积． 【答案】（1）见解析（2）3 【分析】（1）利用左视图和主视图的定义作图即可； （2）先求出AB在右侧面的正投影长度，再根据矩形的面积公式计算可得． 【详解】（1）作图如下： （2）如图，过点B作BD⊥AC于点D， ∵AC＝2， ∴AD＝1，AB＝AD＝2， ∴BD＝， 则左视图的面积为3． 【点睛】本题考查简单的几何体的三视图，三视图的面积的计算，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$