精品解析：江苏省南通市如皋市十校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度高一年级第一学期教学质量调研（二） 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 3. 已知函数，其中为常数，若，则（ ） A. B. 7 C. D. 4 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A. 5.8min B. 6.0min C. 6.2min D. 6.4min 6. 若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（ ） A. 1，1 B. ， C. ，1 D. 1， 7. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 10. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 11. 已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（    ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图像关于轴对称，则____________． 13. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 14. 已知函数为上的偶函数，对任意、，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且． （1）若在区间上的最大值是2，求实数的值； （2）若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）记，当时，求的最大值（用表示）． 18. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． （1）求函数，的解析式； （2）若在区间上的最大值为，求实数的值． 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一年级第一学期教学质量调研（二） 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是，. 故选：D 2. 已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式求集合，确定函数的定义域求集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，得，则， 由，得，解得，则， 所以. 故选：C. 3. 已知函数，其中为常数，若，则（ ） A. B. 7 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断奇偶性并求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令， 则，所以是奇函数， 因此，而， 所以. 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的判断方法判断出函数的奇偶性，从而可得选项B和D错误，再结合值的正负，可得选项C错误，即可求解. 【详解】由，得，则且，所以且， 则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故选项B和D错误， 又，且，所以选项C错误. 故选：A. 5. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A. 5.8min B. 6.0min C. 6.2min D. 6.4min 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出，，从而求得，代入，即可利用公式求解； 【详解】由题意可知，， 当时，，于是， 整理得， 当，于是， 所以，故， 将代入可得，故， 故. 故选：B 6. 若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（ ） A. 1，1 B. ， C. ，1 D. 1， 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，分别对和的情况进行分析，从而求出和的值. 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，. 因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得. 故，. 故选：D. 7. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数、均为上的增函数， 则，即. 故选：B. 8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C 【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复合函数的性质即可根据求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解 D. 【详解】对于A，根据题意可得，解得，所以的定义域为，故A正确， 对于B, 对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误， 对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确， 对于D, 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误， 故选：AC 10. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解. 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（    ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D. 【详解】函数的定义域为且， 对于A，取，则，故A正确； 对于B，且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D，由选项C知，， 则，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图像关于轴对称，则____________． 【答案】9 【解析】 【分析】首先，根据幂函数的定义，系数应为，可求出的值.然后根据函数图像关于轴对称确定的具体取值，得到函数表达式，最后将代入函数求值. 【详解】因为是幂函数，所以，即. 解得或. 当时，，，函数是奇函数，其图像关于原点对称，不符合题意. 当时，，，函数是偶函数，其图像关于轴对称，符合题意. 所以，. 将代入，可得. 故答案为：9. 13. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 14. 已知函数为上的偶函数，对任意、，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数和对数函数的单调性可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的、，当时，均有成立， 不妨设，则，所以，函数在上为减函数， 又因为函数为上的偶函数，所以，在上为增函数，且， 由得， 可得，所以，，可得或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且． （1）若在区间上的最大值是2，求实数的值； （2）若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程，解得即可； （2）根据函数在各段单调递增且断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 当时在上单调递增， 则，即，解得或（舍去）； 当时在上单调递减， 则，即，解得或（舍去）； 综上可得或； 【小问2详解】 因为且在上是增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解， （2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断， （3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 17. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）记，当时，求的最大值（用表示）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出二次函数解析式. （2）由（1）求出并化成分段函数，再分段讨论求出函数最大值. 【小问1详解】 设，由， 得，即， 因此，解得，， 由，得， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，，在上单调递减，， 当，即时，，在上单调递增，， 当时，，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值. 18. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． （1）求函数，的解析式； （2）若在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，解方程组即可； （2）首先求出解析式，再令，则，令，，问题转化为在上的最大值为，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足， 所以，即， 解得， 【小问2详解】 因为，所以， ， 则 ， 令，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 所以，， 所以， 令，， 依题意可得在上的最大值为， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 综上可得. 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】（1） 函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. （2） 因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得，若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $