精品解析： 山东省威海乳山市（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，即可求解． 【详解】解：A、，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； B、，能用平方差公式因式分解，故本选项符合题意； C、，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； D、，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 2. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符； B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符； C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符； D．原来数据的方差==， 添加数字2后的方差==， 故方差发生了变化． 故选D． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 根据最简分式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意； B、，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、，不是最简分式，故此选项不符合题意； D、，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 为了解某公司员工的年工资情况，小明随机调查了10位员工，其年工资如下单位：万元：4，4，4，5，6，6，7，7，9，则下列统计量中，能合理反映该公司员工年工资中等水平的是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合员工工资情况，从统计量的角度分析可得答案． 【详解】根据题意，了解这家公司的员工的工资的中等水平， 结合员工情况表，即要全面的了解大多数员工的工资水平， 故最应该关注的数据的中位数， 故选B． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 5. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．本题考查的是分式的值为0的条件，若分式的值为0，需同时具备两个条件：分子为0且分母不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 6. 学校某个功能室墙壁的主色调颜色经过学生投票（统计如下表）后决定采用红色，这样的决定依据的统计量是（ ） 主色调颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生投票人数/人 20 32 44 16 150 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数及方差的意义判断即可． 【详解】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数， 故选：C． 7. 对于任意的x值都有，则M，N值为（　　） A. M＝1，N＝3 B. M＝﹣1，N＝3 C. M＝2，N＝4 D. M＝1，N＝4 【答案】B 【解析】 【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得． 【详解】解： = = ∴= ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组． 8. 已知，，是的三条边长，则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式将代数式分解因式，再根据三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：∵(a−b)2−c2=(a−b+c)(a−b−c)， ∵a+c>b，b+c>a， ∴a−b+c>0，a−b−c<0， ∴(a−b)2−c2<0． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解的应用，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 分解因式：3a2+6a+3=_____． 【答案】3（a+1）2 【解析】 【分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解. 【详解】3a2＋6a＋3＝． 故答案为． 考点：分解因式． 12. 化简：﹣=_____． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】原式= = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键． 13. 已知一组数据 的方差是7，那么数据…，的方差为_____________ 【答案】7 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去5所以波动不会变，方差不变． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都减去了5，则平均数变为−5， 则原来的方差， 现在的方差， ==7， 方差不变． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，因式分解的应用，将转化为是解决问题的关键． 通过因式分解将转化为，再整体代入即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义，将增根代入整式方程求解． 【详解】解：， ， ∴， ∵方程有增根， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 观察规律：，，，，若符合上述规律，则______． 【答案】131 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，找出分数的分子、分母与前面整数的关系：分数的分子与前面的整数相同，分母是前面整数的平方减1，即规律：是解题的关键． 由题意可知：分数的分子与前面的整数相同，分母是前面整数的平方减1，据此求出m、n，再相加即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：131． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则和顺序化简，再把代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入，得 原式． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，注意分银因式要彻底． （1）先提公因式2，再用平方差公式分解即可； （2）用十字相乘法分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 某车间共有技术工人15人，为了合理制订每月加工零件的数量，随机统计了他们之前某个月加工的零件数： 加工零件数/件 540 450 300 240 210 120 人数/人 1 1 2 6 3 2 （1）这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数分别为______；（直接写结果） （2）若将该车间每位工人的月加工零件数定为260件，你认为是否合理？为什么？ 【答案】（1）260，240，240 （2） 解：不合理． 因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，由于极端数据拉高了平均数，所以大多数人不能完成规定的260件． 【解析】 【分析】本题考查的是平均数、众数和中位数，在做本题的平均数时，应注意先算出15个人加工的零件总数．为了大多数人能达到的定额，制定标准零件总数时一般应采用中位数或众数． （1）平均数=加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第7个数．众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，240出现6次． （2）应根据中位数和众数综合考虑． 【小问1详解】 解：这15人该月加工零件数的平均数； 把这15人该月加工零件数从小到大排列，处于中间位置的是第7个数，所以中位数是240； 这15人该月加工零件数中，240出现的次数最多，所以众数是240； 故答案为“260；240；240． 【小问2详解】 略 20. 工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器． 【答案】400台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产台空气净化器，由题意：甲车间独立生产一半后，生产任务的数量增加了15000台．乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．则正好可以按时完成生产任务．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲车间每天生产台，则乙车间每天生产台空气净化器，由题意得 ， 解得， 经检验，是所列方程的根且符合题意． 答：甲车间每天生产400台空气净化器． 21. 【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 22. 单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． （1）已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 【答案】（1）， （2）89.6 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，二元一次方程组的应用，关键灵活运用有关知识列出算式． （1）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可； （2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，求出其余2号选手的综合成绩，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，根据题意得 ， 解得． 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，． 【小问2详解】 解：（分）． 答：2号选手的综合成绩是89.6． 23. 我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 略 24. 对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 〖探究发现〗（1）（2）（3）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果； 〖猜想归纳〗（4）根据〖探究发现〗归纳出规律即可； 〖问题解决〗（5）利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；（6）利用得出的结论可得，从而可得到结果． 【详解】解：〖探究发现〗：（1）； （2）； （3） 故答案为：（1）．（2）．（3）． 〖猜想归纳〗（4）． 故答案为：． 〖问题解决〗（5）原式． （6） ． ． 解得或（舍）． 的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某公司员工的年工资情况，小明随机调查了10位员工，其年工资如下单位：万元：4，4，4，5，6，6，7，7，9，则下列统计量中，能合理反映该公司员工年工资中等水平的是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 6. 学校某个功能室墙壁的主色调颜色经过学生投票（统计如下表）后决定采用红色，这样的决定依据的统计量是（ ） 主色调颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生投票人数/人 20 32 44 16 150 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7. 对于任意的x值都有，则M，N值为（　　） A. M＝1，N＝3 B. M＝﹣1，N＝3 C. M＝2，N＝4 D. M＝1，N＝4 8. 已知，，是的三条边长，则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 分解因式：3a2+6a+3=_____． 12. 化简：﹣=_____． 13. 已知一组数据 的方差是7，那么数据…，的方差为_____________ 14. 若，，则的值为______． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 16. 观察规律：，，，，若符合上述规律，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 某车间共有技术工人15人，为了合理制订每月加工零件的数量，随机统计了他们之前某个月加工的零件数： 加工零件数/件 540 450 300 240 210 120 人数/人 1 1 2 6 3 2 （1）这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数分别为______；（直接写结果） （2）若将该车间每位工人的月加工零件数定为260件，你认为是否合理？为什么？ 20. 工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器． 21. 【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 22. 单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． （1）已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 23. 我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 24. 对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $