5.3.2一元一次方程应用--“盈不足”问题 教学设计 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章《一元一次方程》---5.3.2一元一次方程应用—“盈不足” 版本：2024版北京师范大学出版社 教材：7年级上册第五章第3节第2课时 新授课 课程标准与教材分析 在新课标框架下，本节课的总体目标是培养学生运用数学知识和方法解决实际问题的能力，特别强调以下几个方面的能力发展： （1） 数学模型的建立：学生能够理解并识别实际问题中的数学关系，将其抽象为数学模型，特别是一元一次方程模型； （2） 数学运算与推理：学生能够熟练掌握一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤，并能进行正确的数学运算和逻辑推理； （3） 问题解决策略：学生能够根据具体问题，灵活选择和应用数学策略，如列表法、图示法等，以辅助解决“盈不足”等实际问题； （4） 数学应用意识：学生能够认识到数学在日常生活和工作中的重要性，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达结果。 教材位置与内容： 《一元一次方程的应用》是北师大版新版七年级上册第五章的内容。本节课属于该章的第三节第二课时，专门讨论一元一次方程在“盈不足”问题中的应用。 “盈不足”问题是一类经典数学问题，通过设定未知数，列出等量关系式，进而求解实际问题。 教材特点：教材通过《九章算术》中的经典例题，如“共买金”问题，引入“盈不足”概念，使学生理解若每人多出钱，则出钱总数相对物价就会多（即“盈”）；若每人少出钱，则出钱总数相对物价就会少（即“不足”）。强调借助表格等方法直观分析复杂实际问题中的数量关系，帮助学生理清思路，建立数学模型。 知识点梳理： 定义：盈不足问题，即固定数量的人去买固定物价的物品，通过每人出钱数的不同，导致“盈”或“不足”的情况。 等量关系：每人出的钱数（多）×人数-盈数=每人出的钱数（少）×人数+不足数。 解题步骤：（1）设未知数（如人数或物价）；（2）根据题意列出等量关系式；（3）解一元一次方程求解未知数；（4）根据解得的未知数，求出其他相关量（如物价）。 教与学的目标 （一）理解并能识别“盈不足”问题中的等量关系 1) 能够仔细阅读并理解“盈不足”问题的描述，识别出其中的关键信息，如人数、物价、每人出的钱数、盈数和不足数等； 2) 能够运用逻辑思维，分析这些信息之间的数学关系，特别是理解“盈”和“不足”是如何通过每人出钱数的变化而产生的。 3) 能够将这些数学关系抽象化，用数学语言（如一元一次方程）来表示，从而建立起解决实际问题的数学模型。 （二）熟练解决“盈不足”问题，掌握一元一次方程的解法 4) 能够熟练掌握一元一次方程的基本解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等步骤，并能够正确地进行数学运算。 5) 能够运用这些解法，解出“盈不足”问题中的一元一次方程，得出未知数的值，如人数或物价等。 6) 能够验证解的正确性，通过代入原方程进行检验，确保解满足题目的所有条件。 （三）培养数学应用意识，提升问题解决能力 7) 能够认识到数学在解决实际问题中的重要性，特别是在解决“盈不足”这类问题时，能够主动运用数学知识进行思考和探索。 8) 能够灵活运用各种数学策略和方法，如列表法、图示法等，以辅助解决“盈不足”问题，提高解题的效率和准确性。 9) 能够总结归纳解决“盈不足”问题的经验和教训，提炼出有效的解题步骤和方法，形成自己的问题解决策略，以便在遇到类似问题时能够迅速找到解决方案。 教与学重难点 重点：列一元一次方程解应用题，尤其是“盈不足”问题。 难点：准确分析各种问题中的等量关系，将实际问题转化为数学模型。 学生学情分析 （一）知识掌握情况 1) 现有知识水平：学生在前面的学习中已经掌握了一元一次方程的基本概念、性质及解法，能够解决一些简单的实际问题。对于“盈不足”问题，学生可能已经在日常生活中有所接触，但尚未将其与一元一次方程联系起来。 2) 知识漏洞与盲点：部分学生可能对一元一次方程的应用场景理解不够深入，尤其是如何将实际问题转化为数学模型。在“盈不足”问题中，学生可能难以准确识别问题中的关键信息，如盈的数量、亏的数量以及分配标准等。 （二）基础情况 1) 数学基础：学生已经具备了一定的代数基础，包括负数、分数、整式等代数知识。学生在解决简单的数学问题时，已经能够运用逻辑思维和推理能力。 2) 学习基础：学生在之前的学习中，已经习惯了用算术方法解决实际问题，对于用方程模型解决问题的思维方式可能还不太适应。 （三）能力情况 1) 逻辑思维能力：学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够理解和分析简单的数学问题。在解决“盈不足”问题时，学生需要运用逻辑思维，将问题中的信息转化为数学模型。 2) 问题解决能力：学生已经具备了一定的问题解决能力，但在将实际问题转化为数学模型方面可能存在一定的困难。学生需要学会如何从问题中提取关键信息，并运用一元一次方程进行求解。 （四）学习风格 1) 学习兴趣：学生对与日常生活相关的数学问题通常比较感兴趣，尤其是能够解决实际问题的数学题目。“盈不足”问题与学生生活紧密相关，容易引起学生的兴趣和好奇心。 2) 学习方式：学生喜欢通过具体的案例和实际问题来学习数学知识，这样更容易理解和记忆。在学习过程中，学生需要教师的引导和启发，通过小组讨论、实践操作等方式来加深对知识的理解和掌握。 3) 学习挑战：学生在将实际问题转化为数学模型方面可能存在一定的挑战，需要教师的耐心指导和帮助。学生需要学会如何从复杂的问题中提取关键信息，并准确运用一元一次方程进行求解。 教与学方法 （1） 采用问题驱动的教学方法：通过提出“盈不足”等实际问题，激发学生的思考兴趣，引导学生主动探索一元一次方程在实际问题中的应用； （2） 利用多媒体教学手段：通过多媒体课件和教学视频，生动展示“盈不足”等实际问题的情境，帮助学生形象理解一元一次方程的应用； （3） 开展小组合作学习：组织学生进行小组讨论和实践，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和沟通表达能力； （4） 注重数学思维的训练：通过解决“盈不足”等实际问题，培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力和问题解决能力。 （5） 鼓励自主学习和独立思考：通过预习、复习和拓展作业等方式，鼓励学生自主学习和独立思考，提高数学学习的主动性和有效性。 教学环节 教学活动 学生活动 目的 一、复习回顾 提问： 回顾方程、一元一次方程、解方程、方程的解基本概念 简介：《九章算术》和《盈不足》问题 思考并回答 回顾问题 调动学生快速激活《一元一次方程》基础知识； 用《九章算术》等开始数学文化浸润 二、新知探究 例1：《九章算术》“盈不足”章第一题；（师生探究） （1） 寻找问题已知量、未知量、等量关系；尝试看看学生是否能够独立建立方程，若有困难则再提供表格工具 （2） 表格表示数量关系； （3） 建立方程； （4） 解方程、解决实际问题； （5） 换未知数多角度思考 例2：《九章算术》“盈不足”章第五题:（小组合作） （1） 寻找问题已知量、未知量、等量关系； （2） 残缺表格表示数量关系； （3） 建立方程； （4） 解方程、解决实际问题； 独立思考 （5） 不提供表格多角度思考 例1：师生探究 （1） 列出已知量、未知量、等量关系； （2） 表格表示数量关系； （3） 建立方程； （4） 解方程、解决实际问题； （5） 换未知数，重新开始（2）--（4） 例2：小组合作 （1） 寻找问题已知量、未知量、等量关系； （2） 残缺表格表示数量关系； （3） 建立方程； （4） 解方程、解决实际问题； 独立思考 （5） 换未知数，不提供表格重新开始（2）--（4） （1） 寻找已知量未知量，数量关系文字表述； （2） 设立未知数，表示各个数量； （3） 建立填写表格，意识到同一数量的两种不同表示方式； （4） 建立一元一次方程； （5） 求解方程，解决问题，感受一次完整的数学建模过程； （6） 换一个未知数重复（1）-（4）过程再次建立方程模型，多角度强化模型思想； （1） 小组合作解决类似问题，培养小组合作能力和数学语言表达能力； （2） 选择残缺的表格，逐步减少“脚手架”支持作用，促进学生建立自己的知识框架； （3） 独立思考，不用表格建立方程，形成自己的思考框架 三、建立方程模型 （一）从上面的解题过程可知，利用方程解决实际问题时要从以哪些方面入手： (1)认真读题审题，弄清问题中已知量和未知量，找到等量关系 (2)设未知数，用含有未知数的代数式表示题中相关的量 (3)根据等量关系，列出方程 （二）思考“盈不足”问题的解决步骤 学生独立思考30秒， 然后进行小组讨论。思考“盈不足”问题的解题策略； 小组代表进行分享思考一元一次方程实际应用问题策略。 通过互动修改自己的模型，最终建立方程模型。 强化“审题”、；“设未知数”；“列方程”；“解方程”；“检验”；“作答”的完整的方程建模过程。 通过实例分析，使学生掌握将实际问题抽象为数学模型的方法，理解“盈不足”问题的数学表示。 | 独立思考产生自己的初步想法； 小组讨论，迭代自己步骤； 小组表达形成强健的方程模型 四、巩固强化 相似问题练习 问题1：列一元一次方程； 问题2：解一元一次方程； 问题3：列方程、解方程、作答 学生独立思考问题1-3 问题1：列出一元一次方程即可； 问题2：需要求出实际的解 问题3：经历完整的方程模型过程 发展数学眼光、数学思维、数学语言 强化练习，体验模型思想 五、素养发展 系统回顾本节课知识、本章节知识带来的学生素养发展 回顾课堂内容，总结个人学习心得，包括解题技巧、思维方法等方面的提升； 接受课外拓展任务，准备实践探索，将所学知识应用于解决实际问题中。 通过总结反思，促进学生对知识的内化和迁移，培养自主学习和持续探索的习惯，提升数学素养和解决实际问题的能力。 | 板书： 学科网（北京）股份有限公司 $$