精品解析： 浙江省杭州市淳安县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写学校、姓名、考场号、座位号，并填涂准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 明天太阳从西方升起 B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意； B、从装有6个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心是随机事件，符合题意； D、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键． 5. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故A选项不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意． C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故C选项符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 6. 如图，在绕点O逆时针旋转80°得到，若，则的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转性质，求出对应角度数，根据三角形内角和定理求出，再结合旋转角求得. 【详解】∵绕点O逆时针旋转80°得到， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，本题属于基础题型． 7. 在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题．根据一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，得到a的正负与，即可判断二次函数的图象． 【详解】解：∵一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 8. 如图，在正六边形中，，是的中点，连结，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和公式，勾股定理，三线合一，先得出，再求出，结合勾股定理列式计算，，即可作答． 【详解】解：如图，连接，过点F作， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在正六边形中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， 故选：C． 9. 设二次函数（，m，k是实数），则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的最值问题，解题的关键是求得对称轴方程． 先将函数解析式整理为：， 因，故开口向上，故有最小值，对称轴为，分与两种情况,分别计算最小值为与，故只有B选项正确． 【详解】 ∵， ∴二次函数开口向上，且有最小值，且在对称轴上取得最小值． ①对于选项A与选项B： 当时，对称轴是，代入原函数得：，故选项A错误，选项B正确； ②对于选项C与选项D： 当时，对称轴，代入原函数得：，故选项C、D均错误； 故选：B． 10. 如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知的面积为，若，则点与圆的位置关系是______． 【答案】点在内 【解析】 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，求出圆的半径，与的长比较大小，即可得出结论． 【详解】解：由题意，的半径为：， ∵， ∴点在内； 故答案为：点在内． 12. 已知扇形的半径为，圆心角为，则它的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算方法，掌握其计算公式是解题的关键． 根据扇形面积的计算公式求解． 【详解】解：已知扇形的半径为，圆心角为， ∴该扇形的面积为， 故答案为：． 13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知概率求数量、以及解分式方程．根据概率公式列出分式方程求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：2． 14. 如图，已知一次函数，二次函数（b，c为常数），两函数图象交于点，，当时，x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出n的值，根据图像，当时，的图像在图像的上方，即在交点之间，利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， ∴一次函数，二次函数（b，c为常数），两函数图象交于点，， 由图象可知，当时， 故答案为： 15. 如图，是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是___． 【答案】． 【解析】 【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=PM，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过O作于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值， ∵，，⊙O的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴则点P到AC距离的最大值是， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 16. 设二次函数（，、是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： … 0 … … 1 1 … 有以下结论：①函数图象的对称轴是直线；②若、都是正数，则的取值范围是且；③当时，恒有，则的取值范围是．其中正确的结论是______．（只填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称的两点可判断①，根据，在抛物线上，可得抛物线为，再结合、都是正数，，在抛物线上，再建立不等式组可判断②，当时，当时，恒有，可得当时，函数最小值，当时，当时，恒有，可判断③，从而可得答案． 【详解】解：∵，在抛物线上， ∴函数图象的对称轴是直线，故①不符合题意； ∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∵、都是正数，，在抛物线上， ∴， 解得：， ∵， ∴且，故②符合题意； 当时，当时，恒有， ∴当时，函数最小值， 解得：， ∴的取值范围是， 当时， 如图， 当时，恒有， 综上：当时，恒有，则的取值范围是且，故③不符合题意． 故答案为：② 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标； （2）当时，求的值． 【答案】（1），顶点坐标 （2），． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，求自变量的值： （1）直接利用两点式，写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（、为常数）的图象经过点，， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 当时，， 解得：，． 18. 旅客在网购高铁车票时，系统是随机分配座位的．小王和小李打算购买从杭州到北京的高铁车票（如图所示，同一排的座位编号为A，B，C，D，F），假设系统已将两人分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． 窗 A B C 过道 D F 窗 （1）求系统将王某安排到靠窗座位的概率； （2）求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知编号为A和F的为靠窗，再根据概率公式直接计算即可； （2）根据题意列出表格，表示出所有等可能的情况．再找出王某和李某相邻座位的情况，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 根据题意可知座位编号为A和F的为靠窗， ∴将王某安排到靠窗座位的概率为； 【小问2详解】 根据题意可列表格如下： A B C D F A A，B A，C A，D A，F B B，A B，C B，D B，F C C，A C，B C，D C，F D D，A D，B D，C D，F F F，A F，B F，C F，D 根据表格可知共有20种等可能的情况，其中王某和李某相邻的情况有6种， ∴王某和李某是相邻座位的概率为． 【点睛】本题考查简单的概率计算，利用列表法和画树状图法求概率．熟练掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． 19. （1）如图①，是的外接圆，，，求的半径． （2）如图②，是的外接圆，，是上一点．请你只用无刻度的直尺，画出图②中的平分线．（保留作图痕迹） 【答案】（1）的半径为；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等等： （1）过点A作于D，连接，先证明三点共线，再利用勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）连接并延长交于Q，连接，则射线即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于D，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴三点共线， 在中，由勾股定理得， 设的半径为r，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为； （2）如图所示，连接并延长交于Q，连接，则射线即为所求． 同（1）可证明平分，再由，，即可得到平分． 20. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求关于的函数表达式； （2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）降价15元时，该书店可获得最大利润1250元 【解析】 【分析】（1）设每套书降价元时，所获利润为元，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式； （2）运用配方法求出二次函数最值． 此题考查了二次函数的应用问题，解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． 【小问1详解】 解：设每套书降价元时，所获利润为元， 则每天可出售套； 由题意得：； 【小问2详解】 解：∵， 则当时，取得最大值1250； 即当降价15元时，该书店可获得最大利润1250元． 21. 如图中，，为的直径，，分别交于，，连接，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，是解题的关键： （1）连接，易得，三线合一，得到，进而得到，等角对等边即可得证； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22. 综合与实践 素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表） 飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 … 飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 … 素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系． 任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离； 任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 【答案】任务1：，航模的最远飞行距离为；任务2：发射平台相对于安全线的最低高度为 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用： 任务1：根据题意可得顶点为．故可设抛物线为，再把代入解答，即可求解； 任务1：设发射平台相对于安全线的高度为，可得飞机相对于安全线的飞行高度为：，再由当时，，即可求解． 【详解】任务一：解：由题意，根据所给表格数据，可得抛物线的对称轴是直线， ∴顶点为． 故可设抛物线为， 又抛物线过， ∴， ∴， ∴所求抛物线为， 又令， ∴， ∴（舍去）或， 故航模的最远飞行距离为； 任务2：设发射平台相对于安全线的高度为， 飞机相对于安全线的飞行高度为：， 当时，， ∴，解得， ∴发射平台相对于安全线的最低高度为． 23. 已知二次函数（，是实数，）． （1）求证：该函数图象与轴一定有两个不同的交点； （2）若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围． （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴该函数图象与轴一定要有两个不同的交点； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点情况，二次函数的图象和性质， （1）由，，即可得证； （2），分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则且，，即可求解； （3）当时，总有随的增大而减小，则，，继而得出，再根据二次函数的最值即可得解； 掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点、分别位于抛物线对称轴的两侧，且， ∴且，， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 ∵图象过点， ∴，即， ∵当时，总有随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值是：， ∴的最小值是． 24. 如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． （1）若的半径为2，，求劣弧的长； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接．求出即可解决问题． （2）如图1中，连接．首先证明，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． （3）如图3中，连接．证明即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长； 【小问2详解】 证明：如图1中，连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：如图3中，连接． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧长公式，全等三角形的判定和性质三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写学校、姓名、考场号、座位号，并填涂准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 明天太阳从西方升起 B. 从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C. 奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 6. 如图，在绕点O逆时针旋转80°得到，若，则的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正六边形中，，是的中点，连结，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 9. 设二次函数（，m，k是实数），则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为 C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为 10. 如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知的面积为，若，则点与圆的位置关系是______． 12. 已知扇形的半径为，圆心角为，则它的面积是_____． 13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_____． 14. 如图，已知一次函数，二次函数（b，c为常数），两函数图象交于点，，当时，x的取值范围为_______． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是___． 16. 设二次函数（，、是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： … 0 … … 1 1 … 有以下结论：①函数图象的对称轴是直线；②若、都是正数，则的取值范围是且；③当时，恒有，则的取值范围是．其中正确的结论是______．（只填序号） 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标； （2）当时，求的值． 18. 旅客在网购高铁车票时，系统是随机分配座位的．小王和小李打算购买从杭州到北京的高铁车票（如图所示，同一排的座位编号为A，B，C，D，F），假设系统已将两人分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． 窗 A B C 过道 D F 窗 （1）求系统将王某安排到靠窗座位的概率； （2）求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 19. （1）如图①，是的外接圆，，，求的半径． （2）如图②，是的外接圆，，是上一点．请你只用无刻度的直尺，画出图②中的平分线．（保留作图痕迹） 20. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求关于的函数表达式； （2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？ 21. 如图中，，为的直径，，分别交于，，连接，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 22. 综合与实践 素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表） 飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 … 飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 … 素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系． 任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离； 任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 23. 已知二次函数（，是实数，）． （1）求证：该函数图象与轴一定有两个不同的交点； （2）若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围． （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 24. 如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． （1）若的半径为2，，求劣弧的长； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $