精品解析：四川省2024-2025学年高一上学期期中调研测试数学试卷

四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 则该命题的否定为：. 故选：C. 2. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3. 二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，根据函数图象得到不等式解集. 【详解】等价于， 根据函数的图象可得的解集为或. 故选：B. 4. 若，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2， 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 可得， 所以. 故选：B. 6. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象对称性、定义域、特殊函数值可利用排除法得出结论. 【详解】观察函数的图象，由图象关于原点对称，可知为奇函数， 图象与轴有两个交点，且，并且函数在处无定义. 函数在单调递减，在单调递增. A项，若，则，不符合图象，故A错误； B项，若，由图象可知函数在处无定义，而此选项中，故B错误； D项，若，，故D项错误； C项，若，由的定义域为，关于原点对称. 且，故为奇函数，图象关于原点对称， 且， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 综上分析，函数的性质与所给图象性质吻合， 所以的解析式可能是. 故选：C. 7. 若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. （ B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对勾函数的单调性求的取值范围，再利用二次函数对称轴和单调区间的关系确定的取值范围. 【详解】设，. 若，则在上递增，不满足条件； 若，则，所以不在上递减，不满足条件； 若，由知在上递减，不满足条件； 若，则由，及对有可知，在上递减. 由可知，在上递增，满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 8. 定义，则称与经过变换生成函数.已知，设与经过变换生成函数，若，则在区间[2，9]上的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得，进一步得到的单调性即可求解. 【详解】由题意可知， 又，解得，所以， 因为在时单调递减且为正值，在时单调递减且为正值， 所以在[2，9]上单调递减， 所以当时函数有最小值. 故选：C. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个命题中错误的是（ ） A. B. C. 集合 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】通过举特例可判断AC；由不等式的基本性质可判断B；由函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时一定有，故B错误； 对于C，当时，,，故C正确； 对于D，对任意，有，故，故D正确. 故选：AB. 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，B，D利用不等式的性质逐个进行判断即可，对于C，构造函数，利用函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，则在上单调递增， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，等价于，成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 在[a，0]上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，由偶函数的定义即可判断；对于B项，由A选项知，当时，则，代入即可；对于C项，由函数的单调性判断；对于D项，由函数的单调性即可求函数值域. 【详解】对于A项，因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，故A正确； 对于B项，当时，， 则，故B错误； 对于C项，因为与都在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D项，因为在[-2，0]上单调递增， 且，，所以当时， ，由偶函数的对称性可知，的值域为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式，利用集合基本运算的概念即可得到结果. 【详解】由题意知， 所以. 故答案为：. 13. 已知若，则__________. 【答案】或3 【解析】 【分析】由分段函数求值即可求解. 【详解】当时，由，得； 当时，由，得或（舍去）， 综上，或. 故答案为：或3 14. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如：，，若函数，则的定义域是__________，值域是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合函数新定义，令可得定义域；然后分两方面证明的值域是即可. 【详解】令，得的定义域是，下面求值域： 一方面，根据高斯函数的定义，有. 故对，由，有，； 对，由，有，. 所以对任意，都有. 另一方面，对任意，有，；对任意，有. 所以的值域一定包含. 综合以上两个方面，可知的值域是. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能理解高斯函数的定义. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值; （2）计算和，猜想的值并加以证明. 【答案】（1） （2）因为， 所以， ， 猜想 证明： 【解析】 【分析】（1）先求，再求即可； （2）先计算和，再猜想的值，并代入计算的值即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 略 16. 设. （1）若，求同时满足条件p，q的实数构成的集合； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，求出，，根据交集概念求出答案； （2）对分类讨论即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由，知，解得，所以. 当时，，解得，所以. 所以同时满足条件p，q的实数构成的集合即为与的交集， 即为. 【小问2详解】 因为，故条件等价于当时必有. 若，则有，但，故条件对不成立； 若，则有，但，故条件对不成立； 若，则对任意，若则，若则，若则，故，条件满足. 综上，实数的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求a，b，c的值 （2） ，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可得，再根据题中函数关系列式求即可； （2）根据得单调性以及恒成立问题可得当时，恒成立，进而列式求解即可. 【小问1详解】 由题意：，即， 可得，解得， 又因为 ， 比较系数可得，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 设， 则， 因为，则， 可得，即， 可知函数在上单调递增. 且，所以函数在上的值域为. 若， 可得当时，恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知是定义在上的函数，且. （1）证明：是偶函数； （2）若，都有. （i）证明:在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 【答案】（1） 令，得，故 令，得，故. 因为是定义在上的函数， 令，故， 所以是偶函数. （2） （i）对任意，由于，故. 所以. 故在上单调递增. （ii） 【解析】 【分析】（1）求得，集合偶函数的定义即可得证； （2）（i）利用单调性的定义证明即可；（ii）利用函数单调性及偶函数性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：因为在上单调递增，且为偶函数， 故在上单调递减， 由于，则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为. 19. 对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质. （1）当，时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由； （2）探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系； （3）探究、的子集的个数. 【答案】（1）不具有姊妹性质，理由如下： 当，时，，，，， 所以不具有姊妹性质 （2） 由题意，则， ， 若要使集合具有姊妹性质，则需满足， 则，所以. （3） 由（2）可知，当时，，集合含有个元素， 此时、分别含有个元素，所以含有个元素， 的子集的个数为，的子集的个数为； 当时，，集合含有个元素， 此时、分别含有个元素，所以含有个元素， 的子集的个数为，的子集的个数为. 综上所述，当时，的子集的个数为，的子集的个数为； 当时，的子集的个数为，的子集的个数为. 【解析】 【分析】（1）当，时，求出集合、，根据题中定义验证即可； （2）求出集合、，根据可得出关于、的不等式； （3）分、两种情况讨论，确定集合、的元素个数，结合子集个数公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”：利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 4. 若，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. （ B. C. D. 8. 定义，则称与经过变换生成函数.已知，设与经过变换生成函数，若，则在区间[2，9]上的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个命题中错误的是（ ） A. B. C. 集合 D. 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 在[a，0]上单调递增 D. 的值域为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合，则___________. 13. 已知若，则__________. 14. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如：，，若函数，则的定义域是__________，值域是__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值; （2）计算和，猜想的值并加以证明. 16. 设. （1）若，求同时满足条件p，q的实数构成的集合； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求a，b，c的值 （2） ，若，求实数的取值范围. 18. 已知是定义在上的函数，且. （1）证明：是偶函数； （2）若，都有. （i）证明:在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 19. 对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质. （1）当，时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由； （2）探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系； （3）探究、的子集的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $