上海市浦东新区建平中学西校2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题 1．（3分）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．4x2＝3y B．x（x+1）＝5x2﹣1 C．﹣3＝5x2﹣ D．+3x﹣1＝0 3．（3分）下列代数式中，+1的一个有理化因式是（　　） A． B． C．+1 D．﹣1 4．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2 5．（3分）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 6．（3分）若x＝b是方程x2﹣ax+b＝0的根（b≠0），则a﹣b的值为（　　） A． B．0 C．1 D．﹣1 二、填空题 7．（3分）函数的定义域是 　 　． 8．（3分）化简：＝　 　． 9．（3分）已知函数f（x）＝，则f（）＝ 　 　． 10．（3分）在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣1＝　 　． 11．（3分）方程2x2＝x的根是 　 　． 12．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0的一个根为3，那么它的另一个根是 　 　． 13．（3分）若函数y＝（k﹣1）x（k≠1），当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 　 　． 14．（3分）等腰三角形两边长分别是和，那么这个等腰三角形的周长是 　 　． 15．（3分）已知方程有两个不等实根，那么k的取值范围是 　 　． 16．（3分）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　 　． 17．（3分）无论x取什么整数，的值都是整数，那么n的值为 　 　． 18．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线（x＞0）上，顶点D在双曲线（x＜0）上，则正方形ABCD的面积为 　 　． 三、简答题 19．计算：． 20．计算：． 21．解方程：x（x﹣3）﹣2（3﹣x）＝0． 22．解方程：x2﹣（1+2）x+3+＝0． 23．若x为实数，求的值． 24．先化简，后求值：，其中a＝，b＝2． 25．已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例．当x＝2时，y＝5；x＝﹣2时，y＝﹣11． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝4时，y的值是多少？ 26．已知△ABC的两边a，b是关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0的两个实数根，第三边c的长度是6，那么k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 27．某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉数量不变．实验发现，每次漂洗用水量m（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足（k为常数）． 已知使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留的洗衣粉量为2克，请回答下列问题： （1）求k的值； （2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，那么至少要漂洗多少次？ 28．面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）化简：． 2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（3分）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判断出答案． 【解答】解：A、＝，＝3，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、与3，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、＝，，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、3，，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 【点评】此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题需要掌握二次根式的化简法则及同类二次根式的被开方数相同． 2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．4x2＝3y B．x（x+1）＝5x2﹣1 C．﹣3＝5x2﹣ D．+3x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：A、4x2＝3y是二元二次方程，故A错误； B、x（x+1）＝5x2﹣1是一元二次方程，故B正确； C、﹣3＝5x2﹣是无理方程，故C错误； D、+3x﹣1＝0是分式方程，故D错误； 故选：B． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3．（3分）下列代数式中，+1的一个有理化因式是（　　） A． B． C．+1 D．﹣1 【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 【解答】解：∵由平方差公式，（）（）＝x﹣1， ∴的有理化因式是， 故选：D． 【点评】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 4．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2 【分析】画出函数图象，利用图象法即可解决问题． 【解答】解：函数图象如图所示： y1＞y2＞y3， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 5．（3分）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：∵有意义， ∴， 解得：3≤x≤5， ∵x是整数， ∴x＝3或4或5， 原式＝0或1， 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．（3分）若x＝b是方程x2﹣ax+b＝0的根（b≠0），则a﹣b的值为（　　） A． B．0 C．1 D．﹣1 【分析】x＝b是方程x2﹣ax+b＝0的根，知b2﹣ab+b＝0，即b（b﹣a+1）＝0，结合b≠0可得b﹣a+1＝0，据此可得答案． 【解答】解：∵x＝b是方程x2﹣ax+b＝0的根， ∴b2﹣ab+b＝0，即b（b﹣a+1）＝0， ∵b≠0， ∴b﹣a+1＝0， 则a﹣b＝1， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 二、填空题 7．（3分）函数的定义域是 　x≥3　． 【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案为x≥3． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 8．（3分）化简：＝　π﹣3　． 【分析】根据二次根式的性质解答． 【解答】解：∵π＞3， ∴π﹣3＞0； ∴＝π﹣3． 【点评】解答此题，要弄清性质：＝|a|，去绝对值的法则． 9．（3分）已知函数f（x）＝，则f（）＝ 　﹣1　． 【分析】把x＝代入函数关系式求值即可． 【解答】解：因为函数f（x）＝， 所以f（）＝＝＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了求函数的值，解题的关键能够正确分母有理化． 10．（3分）在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣1＝　（x﹣2+）（x﹣2﹣）　． 【分析】根据完全平方公式配方，然后再把5写成（）2利用平方差公式继续分解因式． 【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣5 ＝（x﹣2）2﹣5 ＝（x﹣2+）（x﹣2﹣）． 故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）． 【点评】本题考查了实数范围内因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把5写成（）2的形式是解题的关键． 11．（3分）方程2x2＝x的根是 　x1＝0，x2＝　． 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：2x2＝x， 2x2﹣x＝0， x（2x﹣1）＝0， x＝0，2x﹣1＝0， x1＝0，x2＝， 故答案为：x1＝0，x2＝． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中． 12．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0的一个根为3，那么它的另一个根是 　﹣2　． 【分析】设另一个根为m，构建方程求解． 【解答】解：设另一个根为m， 则有3m＝﹣6， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 13．（3分）若函数y＝（k﹣1）x（k≠1），当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 　﹣1　． 【分析】由于自变量取值增加1，函数值就相应减少2，则y﹣2＝（k﹣1）（x+1），然后把y＝（k﹣1）x代入可求出k的值． 【解答】解：根据题意得y﹣2＝（k﹣1）（x+1）， 而y＝（k﹣1）x， 所以k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 14．（3分）等腰三角形两边长分别是和，那么这个等腰三角形的周长是 　8　． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长是和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分情况讨论： ①当三边是4，4，时，符合三角形的三边关系，此时周长为8； ②当三角形的三边是，，4时，不符合三角形的三边关系，构成不了三角形． ∴这个等腰三角形的周长是8； 故答案为：8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 15．（3分）已知方程有两个不等实根，那么k的取值范围是 　﹣2≤k＜2　． 【分析】一元二次方程两个不等实根，即Δ＞0，从而得出关于k的不等式，通过解不等式求得k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程有两个不等实根， ∴（﹣）2﹣4k＞0且2k+4≥0， 解得﹣2≤k＜2． 故答案为：﹣2≤k＜2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 16．（3分）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 　y＝﹣　． 【分析】根据甲同学的说法确定|k|＝2024，再根据乙同学的说法确定k＝﹣2024，继而得到反比例函数的解析式即可． 【解答】解：根据题意，满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式为：y＝﹣， 故答案为：y＝﹣， 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 17．（3分）无论x取什么整数，的值都是整数，那么n的值为 　9或1　． 【分析】根据二次根式的性质与化简得出x2﹣（n﹣3）x+n是完全平方式，设出这个完全平方式得到x2﹣（n﹣3）x+n＝（x+m）2，进而求出m的值，再代入求出n的值即可． 【解答】解：∵无论x取什么整数，的值都是整数， ∴x2﹣（n﹣3）x+n是完全平方式， 设x2﹣（n﹣3）x+n＝（x+m）2， 则x2﹣（n﹣3）x+n＝x2+2mx+m2， ∴2m＝﹣（n﹣3），m2＝n， ∴2m＝﹣n+3， ∴n＝3﹣2m， ∴m2＝3﹣2m， 即m2+2m﹣3＝0， 解得：m＝﹣3或m＝1， 当m＝﹣3时，n＝m2＝（﹣3）2＝9， 当m＝1时，n＝m2＝12＝1， ∴n＝9或1． 故答案为：9或1． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方式，掌握二次根式的性质，完全平方式的结构是解题的关键． 18．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，顶点B在双曲线（x＞0）上，顶点D在双曲线（x＜0）上，则正方形ABCD的面积为 　6　． 【分析】过点B作BE⊥y轴于E，作BM⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N，可得四边形OMBE是矩形，然后求出∠EBM＝90°，再根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠ABM＝∠CBE，利用“角角边”证明△ABM和△CBE全等，根据全等三角形的面积相等可得S△ABM＝S△CBE，同理可得S△ADN＝S△CDF，从而得到正方形ABCD的面积＝S矩形OMBE+S矩形ONDF，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，作BM⊥x轴于M，过点D作DF⊥y轴于F，作DN⊥x轴于N， 则四边形OMBE是矩形， ∴∠EBM＝90°， 在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∠ABM+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠ABM＝∠CBE， 在△ABM和△CBE中，， ∴△ABM≌△CBE（AAS）， ∴S△ABM＝S△CBE， 同理可得S△ADN＝S△CDF， ∴正方形ABCD的面积＝S矩形OMBE+S矩形ONDF， ∵点B在双曲线y＝上，点D在双曲线y＝﹣上， ∴正方形ABCD的面积＝4+2＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，作辅助线构造出全等三角形并把正方形的面积转化为两个矩形的面积的和是解题的关键． 三、简答题 19．计算：． 【分析】先去括号，再把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式＝﹣6﹣4+ ＝﹣﹣﹣ ＝﹣． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 20．计算：． 【分析】先把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的除法法则运算． 【解答】解：原式＝（+）× ＝+ ＝+． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键． 21．解方程：x（x﹣3）﹣2（3﹣x）＝0． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x（x﹣3）﹣2（3﹣x）＝0， x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， 则x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 22．解方程：x2﹣（1+2）x+3+＝0． 【分析】用十字相乘法因式分解求出方程的根． 【解答】解：分解因式得：（x﹣）（x﹣1﹣）＝0， ∴x﹣＝0或x﹣1﹣＝0， 解得：x1＝，x2＝1+． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解本题的关键． 23．若x为实数，求的值． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ＝ ＝0+﹣+0 ＝﹣1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，正确求出x的值是解题的关键． 24．先化简，后求值：，其中a＝，b＝2． 【分析】先分别将分子、分母进行因式分解，再约分、合并同类项得到最简结果，最后将a，b的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝+ ＝． 当a＝，b＝2时，原式＝＝＝． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 25．已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例．当x＝2时，y＝5；x＝﹣2时，y＝﹣11． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝4时，y的值是多少？ 【分析】（1）依题意可设设y1＝k1（x﹣1），y2＝，进而得y＝k1（x﹣1）+，再根据当x＝2时，y＝5；x＝﹣2时，y＝﹣11，，由此解出k1，k2即可得出y关于x的函数解析式； （2）将x＝4代入（1）中所求的y关于x的函数解析式进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵y1与（x﹣1）成正比例， ∴设y1＝k1（x﹣1）， ∵y2与x成反比例， ∴设y2＝， ∵y＝y1+y2， ∴y＝k1（x﹣1）+， ∵当x＝2时，y＝5；x＝﹣2时，y＝﹣11， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数解析式是：y＝3（x﹣1）+， 即； （2）当x＝4时，y＝＝10． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，理解正比例函数和反比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求反比例函数和求一次函数解析式，及求函数值的方法是解决问题的关键． 26．已知△ABC的两边a，b是关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0的两个实数根，第三边c的长度是6，那么k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 【分析】根据等腰三角形的性质以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：当a、b是腰时， ∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝0， 解得k＝1， ∴该方程为x2﹣4x+4＝0， ∴a＝b＝2， ∵2+2＜6， ∴不能组成三角形， 当c为腰时， ∴x＝6是x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0其中一根， 设另外一根为x＝a， ∴a+6＝3k+1，6a＝2k2+2k， ∴k＝3，a＝4或k＝5，a＝10， 6，6，4或6，6，10能组成三角形， 综上所述，k＝3或5． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 27．某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉数量不变．实验发现，每次漂洗用水量m（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足（k为常数）． 已知使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留的洗衣粉量为2克，请回答下列问题： （1）求k的值； （2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，那么至少要漂洗多少次？ 【分析】（1）代入m＝5，x＝1，y＝2，即可求出k的值； （2）由漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）当m＝5，x＝1，y＝2时，2＝， 解得：k＝﹣0.1， ∴k的值为﹣0.1； （2）根据题意得：＜0.8， 即0.8x＞2， 解得：x＞， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为3． 答：至少要漂洗3次． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数，解题的关键是：（1）代入m，x，y的值，求出k值；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 28．面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）化简：． 【分析】依题意，对分子和分母的二次根式进行分组分解，因式分解，进行约分化简即可得解． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝﹣2﹣3+ ＝2﹣5； （3）原式＝ ＝ ＝+ ＝+ ＝． 【点评】本题考查了二次根式的化简，做题的关键是因式分解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$