专题08 立体几何初步（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题08 立体几何初步 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲精练 6 考点一：基本立体图形及直观图 6 考点二：简单几何体的表面积和体积 8 考点三：外接球和内切球问题 9 考点四：线面的位置关系 10 考点五：异面直线问题 11 考点六：空间直线、平面的平行 14 考点七：直线与平面垂直的判定与性质 17 考点八：平面与平面垂直的判定与性质 20 实战能力训练 24 明晰学考要求 1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 2、会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图; 3、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式; 4、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理; 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内; 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面; 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行; 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补; 5、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理; 理解以下判定定理：（1）如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行; （2）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行 （3）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直; （4）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直; 理解以下性质定理：（1）如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行; （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行; （3）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直; 6、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形位置关系的简单命题 基础知识梳理 一、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 二、侧面积、表面积、体积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 三、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 四、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 五、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 六、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 七、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点精讲精练 考点一：基本立体图形及直观图 （1）需熟记各个几何体的结构特征，找到几何体之间的区别与联系； （2）由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45° 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 例2．（2023高二下·北京·学业考试）如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（2023高二下·湖南·学业考试）设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为 . 【即时演练】 1．下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 2．如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 3．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    4．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 考点二：简单几何体的表面积和体积 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 例2．（2024高二上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 例3．（2024高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 例4．（2022高二下·河北·学业考试）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 2．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为 . 3．若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为 . 4．中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为 . 考点三：外接球和内切球问题 长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 【典型例题】 例1．（2023高二下·浙江·学业考试）已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高二上·甘肃·学业考试）棱长为2的正方体内切球的表面积为 ，棱长为3的正方体外接球的体积为 例3．（2022高二下·贵州·学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为 ．（结果用含的式子表示） 例4．（2023高三上·重庆·学业考试）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，高为3，则该正四棱台的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 2．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．边长为1的正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为 . 考点四：线面的位置关系 根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论： ①若，则；    ②若，则； ③若，则.    ④若，则. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 例2．（2024高二下·天津南开·学业考试）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2020高二下·山东·学业考试）在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线 例4．（2023高二下·辽宁·学业考试）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【即时演练】 1．若直线不垂直于平面，那么平面内（    ） A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 2．若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．已知直线l与平面，命题p：l与相交，命题q：l在外，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五：异面直线问题 求异面直线所成的角的步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线；②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角；③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 例2．（2016高三·天津红桥·学业考试）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 例3．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 3．在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（    ）    A． B． C．1 D． 考点六：空间直线、平面的平行 【典型例题】 例1．（2023高二下·宁夏银川·学业考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．求证：平面．    例2．（2023高二下·福建·学业考试）如图，长方体，，. (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面. 例3．（2023高二·山西·学业考试）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．    (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值． 例4．（2023高二下·湖南·学业考试）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 【即时演练】 1．在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 3．如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    考点七：直线与平面垂直的判定与性质 （1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； （2）要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 例2．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ） A．平面 B．平面 C． D． 例3．（2024高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 例4．（2024高二上·新疆·学业考试）如图，在四棱锥中，，，. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【即时演练】 1．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面.求证：平面. 2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，为的中点，．证明：． 3．如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 4．如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 考点八：平面与平面垂直的判定与性质 （1）要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直； （2）性质定理：先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题 【典型例题】 例1．（2023高二·浙江温州·学业考试）在正四面体中，，，分别为，，的中点，则（    ）    A．与平行，平面平面 B．与异面，平面平面 C．与平行，与平面平行 D．与异面，与平面平行 例2．（2022高二下·福建·学业考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．    (1)求三棱锥的体积； (2)若，且为锐角，求证：平面． 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 例4．（2023高三上·广西·学业考试）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【即时演练】 1．在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 2．如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.求证：平面⊥平面ABF 3．三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 4．如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．求证：； 实战能力训练 1．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（   ） A．0 B． C． D． 6．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 7．已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是 ． 8．如图，在空间四面体中，若棱与成60°角，且，则连接、、、四条棱的中点E、F、G、H所得的四边形的面积等于 .    9．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求棱锥的体积 10．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 11．正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 12．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体几何初步 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲精练 6 考点一：基本立体图形及直观图 6 考点二：简单几何体的表面积和体积 10 考点三：外接球和内切球问题 13 考点四：线面的位置关系 16 考点五：异面直线问题 20 考点六：空间直线、平面的平行 25 考点七：直线与平面垂直的判定与性质 33 考点八：平面与平面垂直的判定与性质 38 实战能力训练 45 明晰学考要求 1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 2、会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图; 3、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式; 4、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理; 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内; 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面; 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行; 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补; 5、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理; 理解以下判定定理：（1）如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行; （2）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行 （3）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直; （4）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直; 理解以下性质定理：（1）如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行; （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行; （3）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直; 6、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形位置关系的简单命题 基础知识梳理 一、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 二、侧面积、表面积、体积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 三、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 四、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 五、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 六、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 七、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点精讲精练 考点一：基本立体图形及直观图 （1）需熟记各个几何体的结构特征，找到几何体之间的区别与联系； （2）由于斜二测画法中平行于轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45° 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 例2．（2023高二下·北京·学业考试）如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】在长方体中，， 故选：B 例3．（2023高二下·湖南·学业考试）设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 例4．（2024高二下·浙江杭州·学业考试）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为 . 【答案】12 【详解】如图，可得，，，， 则原的面积为. 故答案为：12. 【即时演练】 1．下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 2．如图，正方体的棱长为2，若，分别是线段，的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】 连接，由为 的中点，可得为 的中点, 又是线段的中点， 所以， 故答案为： 3．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    【答案】2 【详解】如图，在直观图中，则. 故答案为：2 4．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 考点二：简单几何体的表面积和体积 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 【答案】C 【详解】正方体中，棱长为6， 故， 又三棱锥的高为6， 故. 故选：C 例2．（2024高二上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 例3．（2024高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 例4．（2022高二下·河北·学业考试）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为， 又因为球心到该截面的距离为1， 所以球的半径为， 所以球的表面积为. 故选：B. 【即时演练】 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高分别为， 所以， 圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 又因为，代入， 解得：，即 故选：C. 2．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为 . 【答案】/ 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示： 为正四棱台， 连接，得， 过作，过作， 得：，, 在直角三角形中，得， 得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为， 所以体积 故答案为：. 3．若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【详解】设圆柱的高为， 因为圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍， 所以，解得， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 4．中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为 . 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为， 则圆柱的侧面积为，又，代入解得， 故，又，又，解得. 故答案为：. 考点三：外接球和内切球问题 长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 【典型例题】 例1．（2023高二下·浙江·学业考试）已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由侧面展开图的内切圆半径为1可知：， 所以圆柱的体积为， 故选：A 例2．（2023高二上·甘肃·学业考试）棱长为2的正方体内切球的表面积为 ，棱长为3的正方体外接球的体积为 【答案】 【详解】因为正方体内切球的直径（不妨设为）长度为正方体的棱长，则，即， 所以棱长为2的正方体内切球的表面积为； 因为正方体外接球的直径（不妨设为）长度为正方体的体对角线长， 所以，则， 所以棱长为3的正方体外接球的体积为. 故答案为：；. 例3．（2022高二下·贵州·学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为. 故答案为：. 例4．（2023高三上·重庆·学业考试）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，高为3，则该正四棱台的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过正四棱台的对角面作截面，得等腰梯形，该梯形的外接圆是正四棱台外接球的大圆，如图，设球心为，设分别是中点，则是棱台的高，在直线上，设球半径为， 由已知，， 若在线段上，如图1， ，，， ，此方程无实解 若在线段延长线上，如图2， ，即解得， ∴球体积为． 故选：D． 【即时演练】 1．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为， 所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是. 故选：B 2．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 3．边长为1的正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】其外接球直径，所以. 故选：B． 4．有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为 . 【答案】 【详解】因为，所以底面是斜边为5的直角三角形， 设其内切圆半径为，三棱柱的高为， 由等面积法有，，解得， 如果该三棱柱存在内切球，这意味着， 所以该三棱柱的体积为. 故答案为：12. 考点四：线面的位置关系 根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断即可 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论： ①若，则；    ②若，则； ③若，则.    ④若，则. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【详解】①：若，则，故①正确； ②：若，则或与相交或，故②错误； ③：若，则或与相交，故③错误； ④：若，则，故④正确. 故选：D 例2．（2024高二下·天津南开·学业考试）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，是两条不同的直线，是一个平面，， 若，则或，故充分性不成立； 若，则在平面存在直线，使得，又，，所以，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例3．（2020高二下·山东·学业考试）在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线 【答案】D 【详解】由题意作出下图，在正方体中，设所在直线为，平面所在平面为， 对A：由图及正方体性质可知，且平面，此时与共面，故A错误； 对B：由图及正方体性质可知与异面，且平面，故B错误； 对C：由图及正方体性质可知，且平面，故C错误； 对D：由平面，且平面，故D正确. 故选：D. 例4．（2023高二下·辽宁·学业考试）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确； 选项B，若，，则或都有可能， 如图，长方体中（以下同）， 设直线为，直线为，底面为， 满足，，但，与不平行，故B错误；    选项C，若，，则与不一定垂直， 如图，设上底面为，下底面为，平面为， 满足，，但，与不垂直， 故C错误；    选项D，若，，则或或与相交都有可能， 如图，设直线为，直线为，设上底面为， 满足，，但，与不平行，故D错误．    故选：A. 【即时演练】 1．若直线不垂直于平面，那么平面内（    ） A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误. 故选：C 2．若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则，故B正确； C：若，，则，故C正确； D：若，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：D 3．已知直线l与平面，命题p：l与相交，命题q：l在外，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若l与相交，则l在外；若l在外，则l与相交或平行， 所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 4．已知，，是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵α，β，γ是三个不同的平面，且，， ， ∴， 反之，不能推出，也有可能两平面相交， ∴“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A. 考点五：异面直线问题 求异面直线所成的角的步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线；②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角；③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 例2．（2016高三·天津红桥·学业考试）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 例3．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，因为，是的中点，所以， 所以或其补角为异面直线和所成角， 设正四面体的棱长为2，则， 在中由余弦定理得， 所以和所成角的正弦值为， 故选：B    例4．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中，连接，四边形是其对角面， 则四边形是矩形，，于是是异面直线与所成的角， 而，即为正三角形，， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C 【即时演练】 1．如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，， 因为为的中点，， 所以， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 因为为等边三角形，所以， 故， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 2．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角， 故选：D 3．在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中，因为分别是的中点，可得， 又因为分别是的中点，可得， 所以异面直线和所成的角，即为， 在等腰直角中，可得， 所以异面直线和所成的角为. 故选：B.    4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O是AC，BD的中点，连接OE， 由于E是PC的中点，所以， 则∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，OE=PA=2，BO=， 由于PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，而平面, 所以，则. 故选：D    考点六：空间直线、平面的平行 【典型例题】 例1．（2023高二下·宁夏银川·学业考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【详解】连接交于点，接， ∵底面是菱形， 为中点， 又∵是的中点， ， 面，平面， 平面    例2．（2023高二下·福建·学业考试）如图，长方体，，. (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：在长方体中，平面，且， 因为，，则，， 因此，三棱锥的体积为. （2）证明：在长方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. 例3．（2023高二·山西·学业考试）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．    (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)与所成角的余弦值为. 【详解】（1）取的中点，连接，    ∵分别为的中点，∴，， 由，且， ∴，且 ， ∴四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， ∴平面； （2）因为， 所以为直线与所成角， 中，， 直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，    则，，，， ，所以为等腰三角形，则， 中，， 所以， 中，， 所以 所以与所成角的余弦值为. 例4．（2023高二下·湖南·学业考试）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以, 由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC （2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点， 所以,又，所以, 因此底面圆的半径为, 故圆锥PO的体积为， 【即时演练】 1．在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【详解】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 3．如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：如图所示，连接交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD． ∵D为BC的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面， ∴平面平面． 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．    【答案】证明见解析 【详解】方法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．    由题意知EF为的中位线， ∴，且． 又∵，， ∴，且， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴． 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，    ∵，，， ∴， 即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． 方法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，    ∵E为PC的中点， ∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又由题意知且， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD， 又，BH，平面BHE， ∴平面平面PAD， 又平面BHE，∴平面PAD． 考点七：直线与平面垂直的判定与性质 （1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； （2）要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 例2．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ） A．平面 B．平面 C． D． 【答案】A 【详解】在长方体中，∥，平面，平面，平面，故A正确，B不正确； 平面，平面，，故C不正确； ∥，∥，∥，故D不正确. 故选：A. 例3．（2024高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为， 而正方形的面积为，故. （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得，因平面， 故平面. 例4．（2024高二上·新疆·学业考试）如图，在四棱锥中，，，. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 又平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）因为平面，所以是三棱锥的高， 又，， 所以， 所以. 【即时演练】 1．如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面，所以平面. 2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，为的中点，．证明：． 【答案】证明见解析 【详解】在平行四边形中， 由已知可得，，， 由余弦定理，得， 则，即．     又，平面PDM，平面．     而平面，．     ，． 3．如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】由底面ABCD，得， 由，知为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故． 由题意知，又AB是PB在平面ABCD内的射影，故， 是平面内两条相交直线，从而平面，故． 因为，，是平面内两条相交直线, 所以平面． 4．如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析； (2)19 【详解】（1）由，，，， 得，，又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 所以，，又，平面， 所以平面，又平面，故； （2），，， ，即平面，所以，， 且，所以，由（1）， 而是平面内的两条相交直线， 由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则， 考点八：平面与平面垂直的判定与性质 （1）要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直； （2）性质定理：先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题 【典型例题】 例1．（2023高二·浙江温州·学业考试）在正四面体中，，，分别为，，的中点，则（    ）    A．与平行，平面平面 B．与异面，平面平面 C．与平行，与平面平行 D．与异面，与平面平行 【答案】B 【详解】与： 平面，平面，， 所以与异面，A选项错误. 与： 由于分别是的中点，所以， 由于，所以与是异面直线，C选项错误. 连接，由于是等边三角形， 所以，由于平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，所以B选项正确. 设是的中点，连接， 由于是的中点，所以， 所以，所以平面也即平面， 平面，所以D选项错误. 故选：B    例2．（2022高二下·福建·学业考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．    (1)求三棱锥的体积； (2)若，且为锐角，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）面面，，面面，面， 所以面，又的面积为6， 所以三棱锥的体积. （2）由题设，即，又为锐角， 所以， 由，故， 所以， 由（1）知面，面，故， ，面，故平面. 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 例4．（2023高三上·广西·学业考试）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面； 【即时演练】 1．在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【详解】因为是的中点，所以. 又是的中点，所以. 因为，所以. 又，平面. 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 2．如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.求证：平面⊥平面ABF 【答案】证明见解析 【详解】因为，，，AF、AB平面ABF， 所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD， 所以平面⊥平面ABF. 3．三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图，连结， 因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，且，平面 所以平面平面    （2）因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面， 因为是等边三角形，且点是的中点， 所以，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 4．如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】由是正方形，得， 而平面平面，平面平面， 平面，则平面， 又平面，于是， 又， 所以. 实战能力训练 1．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知该圆柱底面直径为， 所以底面半径为 所以圆柱体积为 故选：C 2．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 【答案】D 【详解】如下图所示，在正四棱锥中，易知， 为的中点，所以可得，易知并利用勾股定理可得， 所以的面积为，可得该正四棱锥的侧面积为； 又可知，所以正四棱锥的高， 因此其体积为. 故选：D 3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，，可知. 对于B，若，，则或； 对于C，当，时，和位置关系不一定可以是也可以是； 对于D，若，，，和位置关系不一定垂直，也可以平行. 故选：A. 5．已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以是异面直线直线与所成的角， 又易得是等边三角形，所以， 所以，所以直线与所成角的正弦值为. 故选：D. 6．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 7．已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是 ． 【答案】/ 【详解】设正方体的棱长为，由正方体的表面积为24，得，解得， 因此与正方体的各个面均相切的球半径， 所以该球的体积是. 故答案为： 8．如图，在空间四面体中，若棱与成60°角，且，则连接、、、四条棱的中点E、F、G、H所得的四边形的面积等于 .    【答案】 【详解】由题意，连接，记，如下图：    由题意可知，，，， 所以四边形为菱形，则， 由棱与成，则结合图形可得， 在中，，， 菱形的面积. 故答案为：. 9．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面与直线相交于点， ∴平面平面． ∵四边形是菱形，∴， ∵平面，平面， ∴平面， ∵平面，平面平面， ∴，故． （2）∵底面为菱形，，∴，为正三角形， 又，∴， ∵为的中点，∴到平面的距离与到平面的距离相等， 又平面，即平面，， ∴棱锥的体积为 ． 10．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）因为，、分别是、的中点，则∥， 又因为∥，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为底面，底面，则， 又因为为矩形，则， 且，平面，所以平面. 11．正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为几何体为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形时正方形，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）连接，如图所示， 因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 又因为， 所以是等边三角形，所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 12．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$