专题06 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题06 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 1．已知直线 ，直线分别交 于A，B两点，直线分别交于C，D 两点，点 P 在直线上（点 P 和C，D 不重合）． (1)如图，当点 P 在线段上时，试找出 之间的关系并说出理由； (2)当点 P 不在线段上时，试探究 之间的关系．（只写出结论，不说明理由） 2．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 3．问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：． 类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为              °． 拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系． 4．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 5．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 6．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 7．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 8．综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】 【例3】①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 10．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    11．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 12．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】 【例4】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 13．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 14．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 15．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 16．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 17．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作， (1)求证：． (2)在图2中，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角之间的数量关系为______．（直接填空） ②如图4，，分别平分，．则与之间的数量关系为______．（直接填空） 18．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 19．已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 1．已知：如图，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，则 °； (2)若已知直线，求的度数． 2．已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 3．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 4．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 5．探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点C作， ∴（ ）． 又∵，， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴， 即 ； 应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数； 拓展：如图③，，于点C，，，则 ． 6．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 7．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 8．如图（1），． (1)求证：； (2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数； (3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数． 9．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 10．据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 11．如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 12．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 13．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 14．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 15．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）． (1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数． (2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数： (3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答案】C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 【详解】解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴∠α+∠β-∠γ=180°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 1．已知直线 ，直线分别交 于A，B两点，直线分别交于C，D 两点，点 P 在直线上（点 P 和C，D 不重合）． (1)如图，当点 P 在线段上时，试找出 之间的关系并说出理由； (2)当点 P 不在线段上时，试探究 之间的关系．（只写出结论，不说明理由） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点 P 在线段的延长线上时，；当点 P 在线段的延长线上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质： （1）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，可得； （2）分当点 P 在线段的延长线上时，当点 P 在线段的延长线上时，两种情况根据（1）的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，再由角的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ∴； （2）解：当点 P 在线段的延长线上时，如图所示，过点P作，   ， ， ， ， ， ， 当点 P 在线段的延长线上时，如图所示，过点作，   ， ， ， ， ， 即； 综上，当点 P 在线段的延长线上时，；当点 P 在线段的延长线上时， 2．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据∠1、及∠3的和为180°可求出∠3，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图（1）． ，， ． ， ． （2）解：如图（2），过点作， 在中，，， ． ，， ， ，． ． ． ． （3）解：． 理由如下：如图（3），过点作， ． 平分，， ，． ， ，． ． ， ． ． ． 3．问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：． 类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为              °． 拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系． 【答案】问题背景：见解析；类比探究：125；拓展延伸： 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线段，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题背景：过点P作，根据平行于同一直线的两直线平行，得到，再根据两直线平行，内错角相等，得到，，进而得到，据此进行填空即可得到答案； 类比探究：过点F作，根据平行线的性质得到，，进而得到，，结合图形即可得到答案； 拓展延伸：由（2）同理得：，根据角平分线的定义，得到，过点F作，根据平行线的性质，得到，，进而得到，即可得到答案． 【详解】问题背景：解：过点P作， ， ， ，， ． ∴； 类比探究：解：如图，过点F作， ，， ，， ，， ， 故答案为：； 拓展延伸：解：由（2）同理得：， ，分别是，的平分线， ，， ， 如图，过点F作， 则， ， ， ， ， ． 4．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：． 【详解】解：过点作，    ， ， ，， 又， ， ． 故选：B． 【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系． 5．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，则， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，设交于点， ， ， ∵ ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得：， ， ． 7．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 8．综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）110°；（2），理由见解析 【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． （2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【详解】解：（1）过P作， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）， 如图3，过P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】 【例3】①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 9．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 10．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 11．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 12．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】 【例4】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 13．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可； （2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可； （3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理． 14．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 15．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 16．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 17．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作， (1)求证：． (2)在图2中，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角之间的数量关系为______．（直接填空） ②如图4，，分别平分，．则与之间的数量关系为______．（直接填空） 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)①② 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）通过平行线可得，，再根据角的和差即可得证； （2）过点作，交于点，通过平行线可得同旁内角互补，进而可以得出答案； （3）①过点作，通过平行线可得，，进而可以得出答案； ②过点作，过点作，由角平分线得，，由平行线得出，，，，再由角的和差和等量代换即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ． （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， ， ， ，， ， ． （3）①过点作， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． ②如图，过点作，过点作， ，分别平分，， ，， ， ， ，，，， ， ． 故答案为：． 18．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 19．已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2) (3)①；② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解； （2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论； （3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解． 【详解】（1）解：①分别过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ； ②同理①得：， ，， ； ③同理①得：， ，，， ； （2）解：，理由如下： 如图，作射线，分别过点作， 则， ， ， ， ， 即原图中：， （3）解： 由（2）可得：，， 平分，平分， ， ， 即， ， ； ②，， ，， ， 同理①的：， ，即， ． 1．已知：如图，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，则 °； (2)若已知直线，求的度数． 【答案】(1)50 (2) 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，有关角平分线求角度； （1）由邻补角的定义得，由角平分线定义即可求解； （2）由平分线的性质得，由角平分线定义得，，代入即可求解； 掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 故答案：； （2）解：， ， 的平分线与的平分线相交于点P， ，， ， ， ． 2．已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②；③ 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）对顶角得到，，则，进而可得结果； （2）①根据解题过程进行作答即可；②如图3，过点P作，求解过程同①；③如图4，过点P作，求解过程同①． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：平行； （2）①解：如图2、过点P作， 则（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），（作图）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． ∴． ∴（等式的性质）． 即； 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质； ②解：； 如图3，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴； ③解：， 如图4，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 3．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 4．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 5．探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点C作， ∴（ ）． 又∵，， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴， 即 ； 应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数； 拓展：如图③，，于点C，，，则 ． 【答案】探究：两直线平行，内错角相等；；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；  应用：  拓展： 【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键． 探究：过点C作，可以得到，然后得到，即可解题； 应用：根据垂直的定义得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用探究结论解题； 拓展：过点作，过点作，得到，，，然后根据角的和差解题即可． 【详解】探究：解：如图①，过点C作， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵，， ∴（同平行于一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即； 应用：∵， ∴， 又∵， ∴， 根据探究结论可得：； 拓展：如图，过点作，过点作， 又∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 7．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先由平行线的性质，得出，再进行角的等量代换，得，即可作答． （2）过点F作直线，得，结合角平分线的定义，得，，再通过角的差运算，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图：过点F作直线， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图（1），． (1)求证：； (2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数； (3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，余角、补角的定义以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先过点作，由平行线的性质可得，又由，即可证得，则，继而证得结论； （2）过点作，可得，由（1）得，根据平行公理可以得到，根据平行线的性质可以得到，由，，、分别平分、可以得出，，由可以得出答案； （3）首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， 由（1）得 ， ， ， ， 、分别平分、， ，， ，， ，， ； （3）解：设，， ，与的平分线交于点， ，，，， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，， 的余角等于的补角， ， 解得：， ． 9．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义： （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴,， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵射线分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下： ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 10．据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，然后根据两直线平行内错角相等的性质解此类题． （1）过E作，利用两直线平行，同旁内角互补和平行线的判定解答即可； （2）过G作，利用两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）证明：过E作， ， ， ， ， ； （2） 解：过G作， ， ， ， ， ， ， ， 即， 11．如图，已知直线，M，N分别是直线，上的点． (1)在图1中，判断，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在图2中，请你直接写出，和之间的数量关系（不需要证明）； (3)在图3中，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，利用平行线的性质即可解决问题． （2）过点E作直线利用平行线的性质即可解决问题． （3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中，过点E作直线． ， ， 又， ． ． （2）解：结论：． 理由：如图2中，过点E作直线． ， ， 又， , , ． （3）解：平分， ， 平分， 设， 由（1），得， 由（2），得， 又， ， ， 即． ． 12．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 【答案】【问题发现】：见解析；【拓展探究】：；【解决问题】： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键； 问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可； 拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论； 解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】问题发现： 证明：过点作． ，， （平行公理推论）． （两直线平行，内错角相等）． （辅助线作法）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即． 拓展探究： 解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 解决问题： 解：过作． ， ． ，． ． ， ． 13．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系； （3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：如图3所示： 由（2）的结论得：， ∵， ∴①， ∵， ∴， 由（2）的结论得：， ∴②， 得：． 14．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3) (4) 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答． （1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可； （2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作直线， ， 两直线平行，内错角相等， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； （2）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （3）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （4）当时，的值最小， ，， ， ， ， ． 15．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）． (1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数． (2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数： (3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定、角平分线的相关计算． （1）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数； （2）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数； （3）过点E作，根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数． 【详解】（1）解： ∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作， ∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$