第二章：平面解析几何章末重点题型复习（22题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

第二章：平面解析几何章末重点题型复习 题型一 直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·重庆·月考）经过两点，的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过两点，，所以直线的斜率为，故选：A. 2．（24-25高二上·北京·期中）直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为，则， 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线， 则直线的倾斜角为， 因此，直线的斜率为，故选：D. 3．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是， 综上，倾斜角范围是．故选：B． 4．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由图像可知，则，故选：AD. 题型二 直线的方向向量与法向量 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以直线的斜率为， 又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为， 所以直线的一个方向向量为，故选：C. 2．（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，直线l的斜率为，所以直线的方向向量可以取为.故选：A 3．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有， 所以，是直线的法向量，故D正确.故选：D. 4．（23-24高二上·辽宁·期末）直线,若直线的一个法向量为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的一个法向量为,直线的斜率 直线,解得故选:B. 题型三 直线与线段有公共点问题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记为点，则直线的斜率，直线的斜率， 因为直线过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是.故选：D. 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【答案】D 【解析】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象， 可得直线的斜率的取值范围是[1,4].故选：D． 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是.故选：B. 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是．故选：C． 题型四 直线的五种方程形式 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）（多选）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】当直线经过原点时，可得直线方程为：，即． 当直线不经过原点时，可设的直线方程为：， 把点代入可得：，可得． 综上可得：直线的方程为：或．故选：BC． 2．（24-25高二上·广西·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，且直线不经过第二象限，则， B．方程（）表示的直线都经过点 C．，直线不可能与轴垂直 D．直线的横、纵截距相等 【答案】BD 【解析】对于A，因为，所以可化为， 若直线不经过第二象限，则即，，故A错误； 对于B，直线方程可整理为， 由得 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误； 对于D，直线的横、纵截距均为，故正确．故选：BD． 3．（24-25高二上·广东佛山·期中）在中，已知， (1)求边的高线的方程; (2)求边的中线的方程; (3)求的平分线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； （2）边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； （3） 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或；(2)， 【解析】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 题型五 两条直线平行与垂直 1．（24-25高二上·重庆·月考）已知两条直线：，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，则，解之可得或（舍）.故选：D 2．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知直线，，若，则m的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即，解得.故选：B. 3．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线，即， 设与平行的直线为， 将代入可得，解得， 所以直线方程为.故选：A 4．（24-25高二上·北京·期中）已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的方程为，则， 根据两直线垂直知所求直线的斜率为， 又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即.故选：B. 题型六 三种距离公式及应用 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【解析】点和点之间的距离为.故选：D. 2．（24-25高二上·四川·期中）直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线和平行， 由两条平行直线间的距离公式可得．故选：D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 【答案】C 【解析】由题意知，， 得，解得或， 即实数的值为或.故选：C 4．（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【解析】将直线l的方程变形为， 由，得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.故选：D. 题型七 圆的标准方程与一般方程 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆可化为， 所以圆心坐标为.故选：A. 2．（24-25高二上·北京·期中）已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程表示一个圆，则，解得或， 所以实数a的取值范围为.故选：D 3．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为.故选：D. 4．（24-25高二上·福建·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是，故答案为：. 题型八 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【解析】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切.故选：C 2．（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【解析】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.故选：C 3．（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A．] B． C． D． 【答案】A 【解析】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A. 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或．故选：C． 题型九 圆的切线方程与切线长 1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即.故选：C. 2．（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 易知过点的切线斜率存在，设的方程为， 即，则，解得或．故选：A． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形， 设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时.故选：B. 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，显然， 由于切圆于点，则， 四边形的面积， 当且仅当直线垂直于直线时取等号， 所以四边形面积的最小值为.故选：B 题型十 直线与圆相交弦长问题 1．（24-25高二上·北京·期中）圆被直线截得的弦长为 ． 【答案】8 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：8 2．（24-25高二上·重庆·月考）直线被圆截得的弦长为，则 . 【答案】0或10 【解析】由题意圆心到直线的距离为，圆半径为， 弦长为，则，解得或， 故答案为：0或10. 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】圆C：的圆心，半径， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或， 所以直线的方程为或.故选：A 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，解得， 即，整理可得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 题型十一 圆与圆的位置关系判断 1．（24-25高二上·重庆·月考）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】由题意圆标准方程为， 所以，半径分别为，， ，因此两圆外切，故选：C． 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【解析】由题意知，， 所以，则，所以两圆内切.故选：D 3．（24-25高二上·湖北·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】到原点的距离为2的点的轨迹为圆， 因此问题转化为圆与圆有两个交点， 易知，，，，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为.故选：A. 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），即圆心为，半径的圆， 且圆：的圆心为，半径， 由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即，且，解得， 所以实数的取值范围是，故选：B. 题型十二 两圆的公共弦方程及弦长 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线，分别切圆于，两点， 所以， 所以点在以为直径的圆上． 因为， 所以以为直径的圆的圆心为， 半径为， 故以为直径的圆的方程，即， 又圆，即， 两圆方程相减得， 所以直线的方程为：．故选：A． 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】联立方程，消去二次项整理得， 所以直线的方程为. 故答案： 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)，. 【解析】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径， 圆：，得，圆心为，半径， 圆心距， ， 圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离，故公共弦的弦长为. 4．（24-25高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C过和，且圆心在直线上； (1)求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长. 【答案】(1)；(2)，. 【解析】（1）因为圆心在直线，设圆心， 则，解得， 故圆心为，半径为，则圆的标准方程为； （2）由题意，，，则四点共圆且为直径， 因为，所以的中点为，， 以线段为直径的圆为，整理得， 因为也在圆上，所以由两圆的方程作差，得，即， 故直线的方程为. 因为到直线的距离， 所以 题型十三 两圆的公切线问题 1．（24-25高二上·四川·期中）圆与圆的公切线条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则，由于，即， 故圆与圆相交，其公切线条数为．故选 ：C． 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆与圆有3条公切线，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】圆，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距. 根据两点间距离公式，圆心与的距离. 又因为，即. 移项可得. 两边平方可得，解得.故选：A. 3．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为：故选：D 4．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【解析】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 题型十四 与圆有关的最值问题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆， 的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时， 也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6.故选：C 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】圆，则圆心， 圆，则圆心， 两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以， ， 当且仅当三点共线时等号成立； 即的最小值为．故选：D. 3．（24-25高二上·重庆·期中）点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点， 取，则，∴， ∴， ∴.故选：B 4．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【解析】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误.故选：BC 题型十五 圆锥曲线的定义及应用 1．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为.故选：B 2．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即.故选：B. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：在双曲线中，且焦点在轴上， 椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为， 故椭圆中，故， ，， ，， ， 由余弦定理可得．故选：C 4．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得.故选：C. 5．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为故选：C. 题型十六 根据圆锥曲线方程求参数 1．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得.故选：C 2．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程表示双曲线， 则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A. 3．（24-25高二上·山东·期中）（多选）已知曲线，下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆 C．若，则是双曲线 D．若，则是两条平行于轴的直线 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误； 对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确； 对于D，若，则可化为， 此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．故选：BCD 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若，则曲线C为双曲线 C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【解析】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确.故选：BCD. 题型十七 圆锥曲线的离心率问题 1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 所以，解得， 因为，即， 整理得，所以.故选：A. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为.故选：D. 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【解析】由题意得，设， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 由双曲线定义知，，故， ， 其中， 解得，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ，解得， 故双曲线C的离心率为.故选：A 4．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，，且， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以双曲线的离心率为.故选：C. 题型十八 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（24-25高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【解析】直线和均过， 结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个.故选：C. 2．（24-25高二上·天津·期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 当曲线为椭圆时，则，只需点落在椭圆内，即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程： 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，只需，解得：. 所以实数的取值范围是故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.故选：D. 4．（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【解析】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为，即， ，整理得到，， ，解得，直线方程为. 综上所述：满足条件的直线有2条.故选：C 题型十九 圆锥曲线的弦长及面积问题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则.故选：D. 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 . 【答案】 【解析】设点、，联立，可得，， 由韦达定理可得，， 所以， 椭圆的上顶点为，点到直线的距离为， 所以，. 故答案为：. 3．（23-24高二上·福建三明·月考）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（    ）    A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】如图，过点作垂直于准线，由抛物线定义得. 因为是的中点，所以， 所以，焦点， 则直线的方程为，联立 消去得.设， 所以，得，故选：D. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，，， 由化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 题型二十 圆锥曲线的中点弦问题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为.故选：C. 2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解析】设，则，两式相减得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以.故选：A. 3．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， 所以，所以， 代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部，所以，解得 ， 即的取值范围是．故选：B． 4．（24-25高二上·江苏·期中）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线对应，， 设，则， 两式相减并化简得， 由于，所以， 而B选项中，点，对应，所以B选项错误. C选项中，点，对应，所以C选项错误. A选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得，， 所以方程组无解，所以A选项错误. D选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得， ，所以D选项正确.故选：D 题型二十一 圆锥曲线的“三定”问题 1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是定值， 【解析】（1） 设，由过点作轴的垂线段，为垂足可得， 设线段的中点， 由中点坐标公式可得，， 又点在圆上，所以，即， 所以的方程为. （2） 是定值， 设， 则， 所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以， 2．（23-24高二上·四川眉山·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析；. 【解析】（1）由题意知，，且， 结合，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）直线的斜率存在且不为零，设为，，，，， 联立直线方程和椭圆方程,化简得， ， 所以． ， 因为以为直径的圆过，所以． 即， 整理得， 所以， 即：， 整理可得：，解得或， 当时，直线过，舍去， 所以直线的方程为，过定点． 3．（23-24高二下·河南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若线段的中点为，求； (2)若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）由题意知，解得， 所以的方程为． 由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，显然过点， 所以． （2）由题可知的倾斜角不为0，设直线， 由消去，得 则， 解得或． 当时，在轴的同一侧，不符合条件． 当时，直线经过定点． 4．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在双曲线上． (1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）将代入双曲线中，，解得，故双曲线方程为， 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 故直线斜率存在，设直线方程，与联立得 ，则， 因为恒成立，所以，故， 解得:，设，， 则，， 设点的坐标为，则由得，， 变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 则， 故点恒在一条定直线上． 题型二十二 圆锥曲线的最值范围问题 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且椭圆过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知平行四边形的四个顶点均在上，求平行四边形的面积的最大值． 【答案】(1)；(2)6 【解析】（1）因为椭圆过点， 所以，解得， 因为椭圆长轴长是短轴长的3倍，所以， 则椭圆的方程为； （2）当直线斜率存在， 不妨设的方程为，，， 因为，不妨设方程为， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， ， 同理得， 因为，所以， 因为，所以， 此时平行四边形的面积 ， 当且仅当时，平行四边形取得最大值，最大值为6； 当直线的斜率不存在时， 此时平行四边形为矩形， 不妨设，易知，因为点在椭圆上，所以， 又，所以，当且仅当时，等号成立． 综上，平行四边形的面积的最大值为6． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. (1)求的方程； (2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题得，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由题意可知直线AB斜率存在且， 设，设的中点为， 由，消去并整理得，， 则，即， ，， ， 于是点为，， 由中垂线性质知，所以，解得：， 由，在双曲线的右支上可得： ，， 则，，则， 又，即，整理得， 解得或，故，即. 综上可得，． 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2；(2) 【解析】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点. (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）由题意知，，所以，， 又因为，得，故双曲线E的方程为. （2）①当直线的斜率不存在时，不妨取， 此时A，B两点的坐标分别为，， , 则，所以，即， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设 因为直线与圆O相切，所以，即 将代入，得， ，， 故 ， 又因为，所以，所以，即， 综合上述，可知. （3）设,因为的渐近线方程可写为， 将代入，得， 所以,, 所以， 由（2）可得 又因为，即，所以 所以， 因为直线l与坐标轴不垂直，所以， 因此，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：平面解析几何章末重点题型复习 题型一 直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·重庆·月考）经过两点，的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 直线的方向向量与法向量 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁·期末）直线,若直线的一个法向量为,则（    ） A． B． C． D． 题型三 直线与线段有公共点问题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 题型四 直线的五种方程形式 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）（多选）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，且直线不经过第二象限，则， B．方程（）表示的直线都经过点 C．，直线不可能与轴垂直 D．直线的横、纵截距相等 3．（24-25高二上·广东佛山·期中）在中，已知， (1)求边的高线的方程; (2)求边的中线的方程; (3)求的平分线的方程. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 题型五 两条直线平行与垂直 1．（24-25高二上·重庆·月考）已知两条直线：，则（    ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知直线，，若，则m的值为（    ） A． B．6 C． D． 3．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型六 三种距离公式及应用 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·四川·期中）直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（    ） A． B． C．2或 D．2或 4．（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 题型七 圆的标准方程与一般方程 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期中）已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 题型八 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 2．（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A．] B． C． D． 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九 圆的切线方程与切线长 1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十 直线与圆相交弦长问题 1．（24-25高二上·北京·期中）圆被直线截得的弦长为 ． 2．（24-25高二上·重庆·月考）直线被圆截得的弦长为，则 . 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一 圆与圆的位置关系判断 1．（24-25高二上·重庆·月考）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．（24-25高二上·湖北·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二 两圆的公共弦方程及弦长 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为 . 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 4．（24-25高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C过和，且圆心在直线上； (1)求圆C的标准方程； (2)在（1）的条件下，过点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长. 题型十三 两圆的公切线问题 1．（24-25高二上·四川·期中）圆与圆的公切线条数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆与圆有3条公切线，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 4．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 题型十四 与圆有关的最值问题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二上·重庆·期中）点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 题型十五 圆锥曲线的定义及应用 1．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（    ） A． B．2 C． D．4 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型十六 根据圆锥曲线方程求参数 1．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·山东·期中）（多选）已知曲线，下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆 C．若，则是双曲线 D．若，则是两条平行于轴的直线 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若，则曲线C为双曲线 C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 题型十七 圆锥曲线的离心率问题 1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D．5 4．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十八 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（24-25高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．（24-25高二上·天津·期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 题型十九 圆锥曲线的弦长及面积问题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 . 3．（23-24高二上·福建三明·月考）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（    ） A．2 B． C．5 D． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 题型二十 圆锥曲线的中点弦问题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 3．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏·期中）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 题型二十一 圆锥曲线的“三定”问题 1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 2．（23-24高二上·四川眉山·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 3．（23-24高二下·河南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若线段的中点为，求； (2)若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点. 4．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在双曲线上． (1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 题型二十二 圆锥曲线的最值范围问题 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且椭圆过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知平行四边形的四个顶点均在上，求平行四边形的面积的最大值． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. (1)求的方程； (2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点. (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$