精品解析：甘肃省张掖市甘州区2024—2025学年上学期第一次学情检测九年级数学试卷

2024－2025学年度第一学期第一次学情检测 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意； B．，符合题意； C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意； D．，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键． 3. 据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将万写成，保留1位整数，写成的形式即可，n为正整数． 【详解】解：万，保留1位整数为，小数点向左移动7位， 因此， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握中a的取值范围和n的取值方法是解题的关键． 4. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 5. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出． 【详解】是菱形，E为AD的中点， ，． 是直角三角形，． ，， ，． ，即， ，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质． 7. 方程的解是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 故选D． 8. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案. 【详解】解： ∴ 则， 故选：B 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A. -1 B. ±1 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得， 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且． 10. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( ) A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50 C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于__． 【答案】2 【解析】 【分析】由非负性求出ab的值，再根据菱形的面积公式求解. 【详解】由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0， 解得a=1，b=4， ∵菱形的两条对角线的长为a和b， ∴菱形的面积=×1×4=2． 故答案为2． 考点：1、非负数的性质；2、菱形的面积 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求解即可，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm． 【答案】 【解析】 【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解。 【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，，四边形ABCD是矩形， ∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA， ∵AF=2EF， ∴AF=6cm， ∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=DF，， ∴∠ADE=∠DEC=∠DEF， ∴AD=AE=9cm， ∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2 ∴62+DF2=92， ∴DF= (cm)， AB=DF= (cm)， 故答案为∶． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 15. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可） 【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可） 【解析】 【分析】由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OA=OC，理由如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 也可以添加的条件是OB=OD，理由如下： ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可） 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键． 16. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___． 【答案】﹣1或4 【解析】 【详解】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键． 18. 用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2） （公式法）． 【答案】（1）＝2＋，＝2－ （2）＝－1，＝－2 【解析】 【分析】（1）先把2移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． （2）先求出∆的值，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴＝2＋，＝2－． 【小问2详解】 ∵ ∴a=1，b=3，c=2， ∴∆=9-8=1， ∴， ∴＝－1，＝－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 19. 已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入中可求出a的值，然后把a的值代入方程得到，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根． 【详解】解：∵方程的一个根为6， ∴， 解得：， ∴原方程为，即， 解得或， ∴方程的另一个根为-2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 20. 先化简：，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： = = = 由原式可知，a不能取1，0，-1， ∴a=2时，原式=． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，； （2） 解：如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接，，得到的，进而根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了图形平移和旋转的坐标变换，熟悉平移和旋转性质是解题的关键． 22. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据事件发生的概率计算公式：，（k为包含事件的结果数，n为该事件所有等可能出现的结果数），抽到牌面数字是3的结果有两种，共有4种结果，可得出答案； （2）注意题目中是不放回的抽取，可用列表法或树状图法得出符合条件的结果和总的结果数（如下图），牌面数字相同的有两种，共有12种结果，故可得出答案． 【详解】（1）四张牌为：2,3,3,6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种， ∴； （2）解：列表如下： 第二次 第一次 2 3 3 6 2 3 3 6 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种， ∴． 【点睛】题目主要考查简单事件的概率问题，找准题意中满足条件的等可能性结果及总的等可能结果是解题关键（特别注意题目中是抽取后不放回）． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为， 故答案为：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 24. 如图，在四边形中，，平分，，垂足为点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ，， ， 在与中，， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，菱形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD． （1）求证：DF=CF； （2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD； （2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在△DCF和△DCO中， ， ∴△DCF≌△DCO（ASA）， ∴DF=DO，CF=CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴DF=CF=OC=OD； 【小问2详解】 解：∵△DCF≌△DCO， ∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6， 又∵OD=OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD=OD=6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 26. 如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 证明：由（1）知，， ∴，AC=DE， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由可得，证明，则，，进而结论得证； （2）由，可知，，则，证明，进而结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定． 27. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． （2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】（1） 证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， 在△EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形． （2） 证明：①以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB， ∵EG为正方形的对角线， ∴∠BEA=∠BGE=45°， ∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°， ∴∠EBA=∠GBC， 在△EBA和△GBC中， ， ∴△EBA≌△GBC（SAS）， ∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°， ∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°， ∴△AGC为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②S四边形ABCD= 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②连结BD， ∵△AGC为直角三角形，， 由（2）可知，AE=CG， ∴AC=， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD=， ∴S四边形ABCD=． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期第一次学情检测 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 方程的解是 A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A. -1 B. ±1 C. 1 D. 0 10. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( ) A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50 C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：________． 12. 如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于__． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm． 15. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可） 16. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2） （公式法）． 19. 已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根． 20. 先化简：，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 22. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 24. 如图，在四边形中，，平分，，垂足为点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD． （1）求证：DF=CF； （2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 26. 如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：． 27. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． （2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $