11.2 与三角形有关的角-【数学一起课件】初中数学八年级上册同步PPT课件（人教版）

三角形 与三角形有关的角 八年级上 数学 人教版 第 11.2 章 授课人：一起课件 学习目标 理解三角形的内角、外角等概念，学会盘点复杂图形中三角形的外角 01 理解并掌握三角形内角和定理的推导过程，并熟练掌握其在角度问题中的作用 02 理解三角形的外角性质的推导，掌握外角性质与内角和定理的综合运用 03 新课导入 问题一：三角形的三个内角之和是多少度？你是怎么得出的呢？ 三角形的三个内角之和是180°，可以使用度量法等。 有什么方法可以 证明这个结论吗？ 新课探究 问题二：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 新课探究 问题三：现有两种不同的方法，你用了哪个图中的方法？ 由平行线的性质可知，三角形的其中两个内角代换到另两个角上， 三个角正好组成一个平角，即三角形内角和为180° 新课探究 已知： ABC（如图）. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC. ∵l∥BC， ∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）. 同理∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）. ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理： 三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于180°. 例题讲解 例1.如图，在ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是ABC的角平分线。 求∠ADB的度数 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD=1/2∠BAC=20°. 在ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 例题讲解 例2.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD∥BE，得 ∠BAD+∠ABE=180°. 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， 分析：A,B,C三岛的连线构成ABC，所求的∠ACB是ABC的一个内角。如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 例题讲解 例2.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 跟踪训练 如图、一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°。求∠C的度数。 解：在ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB=180°. 在ACD中，∠D+∠DAC+∠ACD=180°, 则∠B+∠BAC+∠ACB+∠D+∠DAC+∠ACD=360°. ∵∠BAC+∠DAC=150°，∠B+∠D=40°， ∴150°+40°+40°+∠ACB+∠ACD=360°， ∴∠ACB+∠ACD=130°， 即∠C的度数为130°. 跟踪训练 如图、从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°。从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：由题意可知，∠ADC=90°. 在RtADC中，∵∠CAD=30°， ∴∠ACD=90°-30°=60°. 在RtBCD中，∵∠CBD=45°， ∴∠BCD=90°-45°=45°. ∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°. 答：从C处观测A，B两处的视角∠ACB是15°. 新课探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形内角和定理，得 ∠A+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°. 也就是说，直角三角形的两个锐角互余 直角三角形可以用符号“Rt”表示， 直角三角形ABC可以写成RtABC. 例题精讲 例3.如图,∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E。∠CAE和∠DBE有什么关系？为什么? 解：在RtACE中， ∠CAE=90°-∠AEC. 在RtBDE中， ∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED， ∴∠CAE=∠DBE. 由三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 例题精讲 例4.如图，在RtACB=90°，∠BAC=40°，直线a∥b。若BC在直线b上，则∠1的度数为_____。 【解析】∵∠ACB=90°，∠BAC=40°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=50°， ∵a∥b， ∴∠1=∠ABC=50°. 50° 例题精讲 例5.如图，在ABC中，∠BDC=110°，点D是∠ABC和∠ACB平分线的交点，则∠A=______。 【解析】∵∠BDC=110°， ∴∠DBC+∠DCB=180°-110°=70°. ∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点， ∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB， ∴∠ABC+∠ACB=2×（∠DBC+2∠DCB）=140°, 所以∠A=180°-140°=40°. 40° 跟踪训练 解：∠ACD=∠B. ∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°. ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 跟踪训练 解：ADE是直角三角形. ∵∠C=90°， ∴∠A+∠2=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠A+∠1=90°， ∴∠ADE=180°-（∠A+∠1）=180°-90°=90° ∴ ADE是直角三角形. 如图，∠C=90°，∠1=∠2，ADE是直角三角形吗？为什么？ 跟踪训练 【解析】∵∠BDC=80°，∠C=70°， ∴∠DBC=180°-80°-70°=30°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°. ∵∠1=60°， ∴∠A=180°-60°-30°=90°. ∴ABD为直角三角形. 如图，BD平分∠ABC，∠1=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，ABD是______三角形。 直角 新课探究 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题四：如图，在ABC中，∠A=70°，∠B=60°。∠ACD是ABC的一个外角。能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 推论是由定理直接推出的结论。 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据。 新知探究 三角形的外角 定义：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 一个三角形有六个外角，每个内角的两个外角相等，所以一般说一个三角形有三个不同的外角。 三角形的外角和：三角形外角和是360°。 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角； （3）三角形的一个外角与与之相邻的内角互补。 例题精讲 例6.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 得∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）. 由∠1+∠2+∠3=180°， 得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 例题精讲 例6.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：∵∠1+∠BAE=180°，∠2+∠DBF=180°，∠3+∠ACD=180°， ∴∠1+∠BAE+∠2+∠DBF+∠3+∠ACD=3×180°=540°. ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠DBF+∠ACD=540°-180°=360°. 还有其他解法吗？ 例题精讲 例7.如图，AD是ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=32°，则∠C的度数是（ ） A. 64° B.32° C. 30° D.40° 答案B 例题精讲 例7.如图，AD是ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=32°，则∠C的度数是（ ） 【解析】∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B=32°， ∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线， ∴∠EAC=2∠EAD=64°， ∵∠EAC是△ABC的外角， ∴∠C=∠EAC-∠B=64°-32°=32°. 跟踪训练 说出下列图形中∠1和∠2的度数： （2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°； （3）∠1=180°-40°-90°=50°，∠2=∠1+90°=140°； 解： （1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=60°+80°=140°； （2） （3） （1） 跟踪训练 说出下列图形中∠1和∠2的度数： （5）∠1=20°+60°=80°，∠2=180°-∠1-60°=40°； （4）∠1=1/2(40°+70°)=55°，∠2=180°-40°-70°=70°； 解： （6）∠1=90°-30°=60°，∠2=90°-∠1=30°. （5） （4） （6） 课堂小结 与三角形有关的角 三角形的内角和 三角形的外角 三角形的外角和为360° 三角形的任意一个外角等于其不相邻的两个内角的和；从不等关系来说：三角形的任意一个外角都大于其不相邻的任一外角 三角形的内角和为180°，三角形的内角和定理可用于根据三角形的两内角，确定第三个内角的值，或结合所学几何知识，求解其他角度的问题； 【解析】因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而这个外角小于它相邻的内角，所以与它相邻的这个内角是一个大于90°的角，即为钝角，则这个三角形就是一个钝角三角形。 随堂练习 B 1.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 【解析】由三角形外角性质，得x-5+x=x+65，解得x=70. 随堂练习 2.在ABC中，∠B的外角与∠A，∠C的度数如图所示，则x的值是（ ） A. 80 B. 70 C. 65 D. 60 B 证明：如图，过点A作EF∥BC. ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°. 随堂练习 E F 1、已知：如图，ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180° 解：∵∠CBD是ABC的外角， ∴∠CBD=∠CAD+∠ACB， ∴∠ACB=∠CBD-∠ACB=60°-45°=15°. 随堂练习 2、如图，∠D=90°，从A处观测C处时观测角∠CAD=45°，从B处观测C处时观测角∠CBD=60°，那么从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少？ 解：由题意，得∠DBC=78°，∠EAB=56°，∠CAE=17°， ∴∠DBA=56°， ∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=78°-56°=22°， ∠BAC=∠BAE+∠CAE=56°+17°=73°， ∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-22°-73°=85°. 答：∠C的度数为85°. 随堂练习 如图，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°方向，C处在B处的北偏东78°方向，求∠C的度数。 解：如图，延长CD交AB于点E. ∵量得∠BDC=148°， ∴∠BDE=180°-∠BDC=180°-148°=32°, 又∵∠B=21°， ∴∠AEC=32°+21°=53°. ∵∠C=32°， ∴∠A=180°-32°-53°=95°≠90°， ∴这个零件不合格 随堂练习 4、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°.检验工人量得∠BDC=148°.就断定这个零件不合格，这是为什么？ 【解析】∵BP是ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线。∠ABP=20°，∠ACP=50°， ∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°， ∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°， ∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°. ∵∠PBC=20°， ∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°. 随堂练习 5、如图，BP是ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=______ 90° $$