专题复习《平面解析几何》检测卷-2025年高考数学一轮复习阶段检测卷

高考数学专题复习《平面解析几何》检测卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、圆的一般方程与标准方程之间的互化、切线长 【分析】利用圆的几何性质，将化为，再求得两点间距离的最小值，进而求得的最小值. 【详解】圆的圆心，半径 四边形中，， 则，整理得， 又， 最小值即为圆心到直线的距离， 则 故选：D 2．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 3．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据直线方程确定直线的斜率，由三角恒等变换即可得斜率取值范围，从而可得倾斜角的取值范围. 【详解】由直线方程可得， 由于倾斜角为，则直线的斜率， 故. 故选：B． 4．已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线过定点以及两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】易知直线过定点，如下图所示：    易知当直线与线段相交时，直线需处在直线与直线之间； 且，， 又易知可化为，其斜率为， 因此可得，解得. 即的取值范围是. 故选：C 5．圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心 ，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 6．圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】分析可知，结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 若圆上有且仅有两点到直线的距离为， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 7．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，两点，过点A分别作轴、AB的垂线，分别交椭圆C于点P，Q，连接交于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，根据已知条件得、、的坐标，、B，M，Q三点共线，以及 ，由A，在椭圆上有，联立所得方程即可求离心率. 【详解】设，，则，，， 由，则，即①， 由B，M，Q三点共线，则，即②， 又因为，，即，③， 将①②代入③得，则. 故选：D. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，都在椭圆上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得. 由代入坐标可得：，即得 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*） 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题主要考查椭圆离心率范围的求解.属于难题. 求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A．点A在圆外 B．点是的定点 C．已知，过点B作圆的最短弦长为 D．过点作圆:的切线，则的方程为 【答案】ABC 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，根据点到圆心的距离判断A,再根据直线求出定点判断B,应用几何法求过点B的最短弦长判断C,根据点在圆外有两条切线判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，，得出点A在圆外，A正确； B选项，直线，过定点，B正确； C选项，当弦垂直于时，弦长最短，，最短弦长为，C正确； 对于D，点在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点，且与圆相切，D错误.    故选：ABC. 10．已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】对于A：证明为矩形即可判断； 对于B：利用渐近线的性质结合离心率的公式即可判断； 对于C：计算出，将转化成再结合渐近线的性质即可判断； 对于D：根据双曲线的定义即三角形边的关系即可判断. 【详解】设双曲线的右焦点为，因为直线过原点，所以为平行四边形， 对于A：因为，所以为矩形，所以，故A正确； 对于B：若，由渐近线的性质可知：，所以，故B正确； 对于C：，由渐近线的性质可知，在中，，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 【答案】AC 【知识点】抛物线的焦半径公式、判断直线与抛物线的位置关系、求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.    故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】利用两直线平行求参数，根据两平行线间的距离公式可得结果. 【详解】由与平行，得，解得， 故两直线方程分别为，所以直线与之间的距离为. 故答案为：. 13．已知直线与圆交于，两点，若面积为2，则值是 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设圆心到直线的距离为，由已知可得，可得，进而得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 由面积为2，可得，解得， 圆心到直线的距离为，解得. 故答案为：. 14．在平面直角坐标系xOy中，给定两点，点P在x轴的正半轴上，当最大时，点P横坐标为 . 【答案】3 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】分析得到为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大，设出圆心坐标为，当圆和轴相切时，取得最大值，设出圆的方程，将点代入圆的方程，求出，得到答案. 【详解】过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上， 其中，的中点坐标为， 故的中垂线方程为，即， 其中为弦所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，最大， 设圆心坐标为， 又点在轴正半轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值， 设切点为，圆的半径为， 所以圆的方程为， 将点代入圆的方程，得， 解得或-5（舍去）， 所以P横坐标为3. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：当过点三点的圆与轴相切时，取得最大值，且圆心在线段的中垂线上，设出圆心和半径，表达出圆的方程，待定系数法进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据点点距离求解半径，即可得圆的方程， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式，即可求解， （3）根据点关于直线的对称，可得圆心坐标，即可求解圆的方程. 【详解】（1）设圆的圆的半径为， 因为圆经过点，故    所以圆的方程为． （2）依题意，圆的圆心到直线的距离为 当直线无斜率时，方程为，圆心到直线的距离为2，不符合题意， 设直线方程为，即， 则，解得，， ∴直线的方程为或 （3）由题意得圆和圆的圆心和圆心关于直线对称，且半径相同 ， 直线的斜率为                            设圆心，则,的中点坐标为，， 则,解得 所以圆的标准方程为， 16．（15分）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)直线恒过轴上的一个定点 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求双曲线的焦点坐标、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 17．（15分）已知双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【详解】（1）将分别代入双曲线C得:, 解得,所以. （2）,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时, 此时,, , 以为直径的圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立,消去并整理得, 其中,即, , 以为直径的圆经过坐标原点, ,即， ， ,整理得,解得， 所以即.    18．（17分）已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 19．（17分）已知动点到轴的距离为为坐标原点，且，其中均为常数，动点的轨迹称为（）曲线． (1)判断 曲线为何种圆锥曲线． (2)当应满足什么条件时，（）曲线为双曲线？ (3)设曲线为曲线，斜率为的直线过曲线的右焦点，且与交于两个不同的点．若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点． 【答案】(1)椭圆 (2)且 (3)证明见详解 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线中的直线过定点问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）先根据为曲线可得曲线的方程，设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且，曲线为双曲线. （3）由，，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立，得. 设，则， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学专题复习《平面解析几何》检测卷（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 3．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，两点，过点A分别作轴、AB的垂线，分别交椭圆C于点P，Q，连接交于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，都在椭圆上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A．点A在圆外 B．点是的定点 C．已知，过点B作圆的最短弦长为 D．过点作圆:的切线，则的方程为 10．已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于、两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 13．已知直线与圆交于，两点，若面积为2，则值是 . 14． 在平面直角坐标系xOy中，给定两点，点P在x轴的正半轴上，当最大时，点P横坐标为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 16．（15分）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 17．（15分）已知双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 18．（17分）已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 19．（17分）已知动点到轴的距离为为坐标原点，且，其中均为常数，动点的轨迹称为（）曲线． (1)判断 曲线为何种圆锥曲线． (2)当应满足什么条件时，（）曲线为双曲线？ (3)设曲线为曲线，斜率为的直线过曲线的右焦点，且与交于两个不同的点．若点关于轴的对称点为，试证明直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$