精品解析：海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学等学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（一） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：必修第一册第一章、第二章． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B. 方程的解构成的集合与相等 C. D. 方程的实数解构成的集合为 2. 命题：，使是素数，则命题的否定为（ ） A. ，使不是素数 B. ，是素数 C. ，不是素数 D. ，使不是素数 3. 下列命题中真命题的序号为（ ） ①若，则，； ②若，则； ③存在不全等的三角形，使它们的面积相等； ④面积相等的两个三角形一定是全等三角形． A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④ 4. 不等式的解集为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（ ） A. 若，则对于加法“＋”封闭 B. 若，则对于减法“－”封闭 C. 若，则对于乘法“×”封闭 D. 若，则对于除法“÷”封闭 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A. 有2个子集 B. 中任意两个元素差的最小值为 C. D. 或 11. 已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为_________． 13. 若，则的最大值为_________． 14. 若集合，，且，则实数_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）求证：； （2）求证：. 16. 在中，． （1）若，求面积的最大值； （2）若，求周长的最小值． 17. 已知二次函数，，不等式的解集为或． （1）求的解析式； （2）设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 18. 已知二次函数，方程有且仅有一个实数根． （1）求，，的关系； （2）若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交．证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为． 19. 已知集合，． （1）若，且，求实数，的值； （2）若集合，均为非空集合，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（一） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：必修第一册第一章、第二章． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合 B. 方程的解构成的集合与相等 C. D. 方程的实数解构成的集合为 【答案】B 【解析】 【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意的情况. 【详解】A：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，错； B：由，可得解为或，对应集合为，对； C：显然表示不同的点，故集合不相等，错； D：若时，集合为，不能写成，错. 故选：B 2. 命题：，使是素数，则命题的否定为（ ） A. ，使不是素数 B. ，是素数 C. ，不是素数 D. ，使不是素数 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，不是素数. 故选：C 3. 下列命题中真命题的序号为（ ） ①若，则，； ②若，则； ③存在不全等的三角形，使它们的面积相等； ④面积相等的两个三角形一定是全等三角形． A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由，等式成立，即可判断；②利用不等式的传递性判断；③④示例：两个直角三角形，直角边分别为和，即可判断. 【详解】①由，时，也成立，假命题； ②若，必有，而，故，真命题； ③两个直角三角形，直角边分别为和，则它们的面积相等，但三角形不全等， 所以存在不全等的三角形，使它们的面积相等，真命题； ④同③示例，知面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，假命题. 故选：A 4. 不等式的解集为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将或3代入不等式左侧判断与0的大小关系，即可确定元素与集合的关系. 【详解】由，故， 由，故. 故选：C 5. 定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（ ） A. 若，则对于加法“＋”封闭 B. 若，则对于减法“－”封闭 C. 若，则对于乘法“×”封闭 D. 若，则对于除法“÷”封闭 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误. 【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对； B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对； C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对； D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错. 故选：D 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据集合的包含关系及交集的定义即可得解. 【详解】由，得，解得， 故，， 所以是的真子集，， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】举出反例即可判断AB；根据不等式的性质即可判断CD. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若，则， 所以，故C正确； 对于D，若，则，则，故D正确. 故选：CD. 10. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A. 有2个子集 B. 中任意两个元素差的最小值为 C. D. 或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，所以有2个子集，故A正确； 对于B，， 则中任意两个元素差的最小值为，故B正确； 对于C，或，所以，故C错误； 对于D，且， 所以或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设可得，则在上有两个不等的实数解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案. 【详解】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为，即可求解集. 【详解】由题设，即，解集为. 故答案为： 13. 若，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 若集合，，且，则实数_________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】根据题设有，结合包含关系及，讨论参数求对应参数值，并判断是否同时属于集合，即可得答案. 【详解】由题设，又，且， 由于，讨论如下： 当，即时，，满足； 当，即时，，满足； 而或或时，，不满足. 所以0或1. 故答案为：0或1 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1） 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2） 由，而， 所以，即，得证. 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在中，． （1）若，求面积的最大值； （2）若，求周长的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，结合基本不等式有求最大值，再由求面积最大值，注意取值条件； （2）根据题设有，结合求得，，注意等号成立条件，即得周长最小值. 【小问1详解】 由题设，，且，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最大值为. 【小问2详解】 由，即， 由， 即，当且仅当时取等号， 故，，它们取等号的条件均为， 所以周长，即周长的最小值为. 17. 已知二次函数，，不等式的解集为或． （1）求的解析式； （2）设，不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式； （2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 即的解集为或， 所以，可得，故； 【小问2详解】 由的解集为， 所以，可得. 18. 已知二次函数，方程有且仅有一个实数根． （1）求，，的关系； （2）若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交．证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为． 【答案】（1）； （2） 由题设，结合（1）有， 若的两个不同实根分别为， 所以，即， 由两根之和大于2，即，故，则， 所以， 综上，， 所以方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为. 【解析】 【分析】（1）由题设有且仅有一个实数根，有求参数关系； （2）由题设及（1）得，对于有且，进而有，即可证结论. 【小问1详解】 由题设有且仅有一个实数根， 则，所以. 【小问2详解】 略 19. 已知集合，． （1）若，且，求实数，的值； （2）若集合，均为非空集合，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设有、，结合补集确定参数值，注意验证； （2）根据题设有，再由，即可求范围. 【小问1详解】 由题设，则，又，即， 此时，，满足题设， 所以. 【小问2详解】 由且均非空，则，即， 所以，且，即， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $