精品解析：山西省阳泉市平定县第一中学等三校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

阳泉市2024-2025学年高二上学期三校联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 5. 两平行直线之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知A，B是椭圆E：上的两点，点是线段AB的中点，则直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为，则（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 存在，使得表示圆 C. 当或时，曲线表示双曲线 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 10. 已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 11. 已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的方程为 C. 若，则 D. 若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________. 13. 写出过点且与圆相切的直线方程______. 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的一般式方程． 16. 已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 17. 已知椭圆C：过，． （1）求椭圆C的方程； （2）倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程． 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市2024-2025学年高二上学期三校联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以， 故选：A 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求得，从而确定正确答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上， ， 所以焦点坐标为. 故选：A 4. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：D. 5. 两平行直线之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为直线，直线， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 6. 已知A，B是椭圆E：上的两点，点是线段AB的中点，则直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法及点斜式计算即可. 【详解】设，，则AB的中点坐标为， 所以，， 将A，B的坐标代入椭圆的方程作差可得， 所以， 所以直线AB的方程为，即． 故选:A． 7. 实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合的方法，结合直线与圆的位置关系及两点斜率计算即可. 【详解】 易知， 如图所示，则可表示以为圆心，1为半径的圆上一点与定点的连线斜率， 不妨设过点圆的切线方程为， 则到切线的距离为或， 由图可知. 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为，则（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 存在，使得表示圆 C. 当或时，曲线表示双曲线 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程分别判断各选项. 【详解】A、B选项：当时，，，当时，， 此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确； C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线， 当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确； D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则， 则椭圆的焦距，D选项错误； 故选：BC. 10. 已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ） A. 若，则点在棱上 B. 若，则点在线段上 C. 若，为棱的中点 D. 若，则点在线段上 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的方程为 C. 若，则 D. 若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用点差法确定，关系，结合，有求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆上存在，两点并设其中点坐标利用点差法确定，验证，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称. 【详解】设，，则，即， 因为，在椭圆上，所以，，两式相减， 得，即， 又，所以，即，又， 所以，离心率，故A正确； 因为椭圆过点，所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为，故B错误； 若，则直线的方程为，由得，所以，，，故C正确； 若，则直线的方程为.假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，设，，的中点为，所以，.因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即.又，在椭圆上，所以，.两式相减.得，即，所以，即，联立解得即.又，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误. 故选：AC 【点睛】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，直线在x上轴截距为-3，再利用截距式可直接求得直线方程 【详解】∵直线过（0，5）， ∴直线在y轴上的截距为5， 又直线在两坐标轴上的截距之和为2， ∴直线在x轴上的截距为2-5=-3 ∴直线方程为,即5x-3y+15=0 【点睛】直线方程有五种基本形式，在只知道横纵截距的情况下，截距式是最快捷的一种方式 13. 写出过点且与圆相切的直线方程______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知圆的圆心，半径， 易知该切线斜率存在，不妨设切线方程为， 则圆心到切线的距离为或， 则切线方程为：或. 故答案为：或. 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程． （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其一般式方程． 【小问1详解】 如图， 由于分别是的中点， 所以，所以， 直线的方程为，即． 【小问2详解】 因为， 所以边的垂直平分线的斜率为2，又， 所以的垂直平分线的方程为， 所以边的垂直平分线的一般式方程为． 16. 已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心为C的圆经过点和点两点，可知圆心过线段的垂直平分线，将其与直线联立可求得圆心C，再求半径，即可得到圆的标准方程； （2）设线段MN的中点，由G为线段MN的中点可得，代入圆C的方程，即可得到G的轨迹方程. 【小问1详解】 因为圆C经过点和点两点， 所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上， 联立可解得，即， 所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； 【小问2详解】 设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点， 所以， 又N在圆C上运动， 可得， 化简可得， 所以，线段MN的中点G的轨迹方程. 17. 已知椭圆C：过，． （1）求椭圆C的方程； （2）倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过，，得到求解； （2）设直线方程为：，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆C：过，， 所以， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 设直线方程为：， 由，消去y得， ，即， 由韦达定理得， 所以， ， 解得，符合题意， 所以直线方程为： 即或. 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 【答案】（1） （2）由（1）知，设， 直线的斜率为，直线的方程为， 直线的斜率为，直线的方程为， 所以． 由，得， 椭圆的“伴随椭圆”的方程为． 联立，可得， 设，则， ， 同理， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，结合面积可得，联立即可求解； （2）根据已知解设出，直线和的斜率，表示出直线方程，然后与伴随椭圆联立方程，结合韦达定理表示出和，即可得证. 【小问1详解】 由，可得， 因为的面积为，所以， 解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆与直线相交的综合性题目，属于中档题，常用方法有：（1）数形结合思想；（2）韦达定理的使用；（3）待定系数法求方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $