第二十八章 锐角三角函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广东省专用,人教版）

第二十八章 锐角三角函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为锐角，且， ∴， ∴由特殊角的三角函数值可知，， 故选：B． 2．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴，故B正确． 故选：B． 3．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 4．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，， ∵， ∴cm． 故选：D． 5．若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，； 故选A． 6．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取格点D，连接， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故选：A． 8．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，画出图形，如下： 由题意可得，， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得， 即，他升高了， 故选：C． 9．两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 10．下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②；③在中，，若，则，，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由锐角三角函数的定义可得：所有锐角三角函数值都是正数，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； 如图，∵， ∴， ∴，不一定成立，故③不符合题意； ∴真命题有①； 故选A 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11． （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 12．如图，在△中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，作于， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 13．在中，，是斜边上的中线，，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， 则． ； 14．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 【答案】 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 15．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为 ．（参考数据：， ，） 【答案】480 【详解】解：作于M，于N， 则四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 答：点O到的距离为． 故答案为：480． 16．在△中，，垂足为点，将沿直线翻折，点落在边延长线上的点处，已知，，，那么的余弦值等于 ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质得， ∴； ∵， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算： 【答案】 【详解】解： ． 18．（4分）如图，在中，，，，求的值． 【答案】 【详解】解：，，， ， ． 19．（6分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度为 【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则， ， ， 如图2，作，垂足为，则， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆的长度为． 20．（6分）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 21．（8分）某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上． (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 【答案】(1)米 (2)该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由见解析 【详解】（1）解：过点A作的垂线，交的延长线于点D， 由题意可知，，，米， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴米，米， 在中，米， ∴米； （2）解：该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由如下： 设从接到通知后到救护车接到伤员共用时x分钟， 由题意可得 解得 ∴该伤员能在黄金救援时间内接受救治． 22．（10分）在△中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 23．（10分）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； （2）解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 24．（12分）如图，已知是△的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵是△的中线，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 25．（12分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)点到旗杆的距离约为 (2)旗杆的高度约为 【详解】（1）解：如图， 过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴，． ∵斜坡的坡度是， 即：， 设，， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴点到旗杆的距离约为． （2） 根据平行线的性质得：， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴旗杆的高度约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 5．若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 6．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（    ） A． B． C． D． 9．两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②；③在中，，若，则，，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11． （选填“”或“”或“”）． 12．如图，在△中，，，，则的长为 ． 13．在中，，是斜边上的中线，，，则的值是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 15．某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为 ．（参考数据：， ，） 16．在△中，，垂足为点，将沿直线翻折，点落在边延长线上的点处，已知，，，那么的余弦值等于 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算： 18．（4分）如图，在中，，，，求的值． 19．（6分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 20．（6分）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号） 21．（8分）某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上． (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 22．（10分）在△中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 23．（10分）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 24．（12分）如图，已知是△的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 25．（12分）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$