精品解析：海南省澄迈中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

澄迈中学2024—2025学年第一学期高一年级数学期中考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ③④ D. ①②⑤⑥ 2. 命题“，”否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则的最小值是 A. B. C. D. 4. 下列各组函数表示同一函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数在区间上的最大值为，则实数（ ） A. B. C. D. 或 二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于幂函数描述正确的有（ ） A. 幂函数的图象必定过定点和 B. 幂函数的图象不可能过第四象限 C. 当幂指数时，幂函数是奇函数 D. 当幂指数时，幂函数是增函数 11. 已知，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 三､填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 已知幂函数是偶函数，则________. 13. 若函数且，则________. 14. 若，则最小值为__________. 四､解答题（本大题共6小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 17. 已知函数是定义在R上偶函数，且当时，． 现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间； 写出函数的解析式和值域． 18. 珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. （1）写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； （2）当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 19. 已知函数，且. （1）的解析式，并写出其定义域； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 澄迈中学2024—2025学年第一学期高一年级数学期中考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ③④ D. ①②⑤⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式可得正确答案. 【详解】命题“，”否定就是把任意改为存在且大于零改为小于等于零， 故其否定为：，， 故选：A. 3. 已知，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案． 【详解】因为 ， 又，所以， 当且仅当时取，故选B． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用． 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可． 【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数； 对于B，，定义域不同，故不为同一函数； 对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数： 对于D，，定义域不同，故不为同函数． 故选：C． 5. 已知函数则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果. 【详解】， 故选：C 6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和可得． 详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求． 【详解】因为是定义域为的奇函数，且当时，． 当时，，则， 所以当时，，此时 当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍， 当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，时，函数取得最小值，解得， 综上，． 故选：D． 8. 若函数在区间上最大值为，则实数（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】函数化为，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值． 【详解】函数，即，， 当时，不成立； 当，即时，在递减，可得为最大值， 即，解得成立； 当，即时，在递增，可得为最大值， 即，解得不成立； 综上可得． 故选：． 二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断BD选项；利用基本不等式可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为，则，， ，故，B对； 对于C选项，因为，则，由基本不等式可得，C对； 对于D选项，因为，则，，， ， 所以，，D对. 故选：BCD. 10. 下列关于幂函数描述正确的有（ ） A. 幂函数的图象必定过定点和 B. 幂函数的图象不可能过第四象限 C. 当幂指数时，幂函数是奇函数 D. 当幂指数时，幂函数是增函数 【答案】BD 【解析】 【分析】依据幂函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误； 选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确； 选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误； 选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确； 故选：BD 11. 已知，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】将平方可以得到，可得的值. 【详解】令 故选：AB 三､填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 已知幂函数是偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，进而求解得或，进而根据偶函数的定义验证即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，的定义域为，不符合题意； 当时，的定义域为， 且，则为偶函数，符合题意. 综上所述，. 故答案为：. 13. 若函数且，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，即可逐步代入求解. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：0 14. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， ， 当且仅当时，即，等号成立， 所以最小值为， 故答案为：. 四､解答题（本大题共6小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，把代入，利用并集的定义求解作答. （2）选①，利用列式求解作答；选②，转化为列式求解作答；选③，利用给定的交集结果列式求解作答. 【小问1详解】 依题意，，当时，， 所以. 【小问2详解】 选①，，由（1）知，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选②，因“”是“”的必要不充分条件，则，由（1）知，， 因此或，解得或，即有， 所以实数的取值范围是. 选③，，由（1）知，， 因此或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 16. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 【答案】（1） （2），最小面积为48平方米 【解析】 【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围. （2）令，将式子化成对勾函数后求最值. 【小问1详解】 解：设的长为米（） 是矩形 由，得 ，解得或 即的取值范围为 【小问2详解】 令，（），则 当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米 17. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间； 写出函数的解析式和值域． 【答案】（1）递增区间是，，图像见解析 （2） 【解析】 【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间; 直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到. 【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示: 由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,, 故的解析式为, 由图像可得值域为. 【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题. 18. 珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. （1）写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； （2）当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【答案】（1） （2）万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值. 【小问1详解】 由题意，列出函数关系式可得， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为 ； 【小问2详解】 当时，化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元； 当时，为减函数，所以当时，有最大值为； 因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元. 19. 已知函数，且. （1）的解析式，并写出其定义域； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）已知代入解方程组可得； （2）根据单调性的定义证明； （3）不等式转化为，利用（2）的结论求得的最小值即可得参数范围． 【小问1详解】 由已知可得，解得，， ∴． 【小问2详解】 任取，，且，则， ∵，，且， ∴，，， ∴，即， ∴在上单调递减． 【小问3详解】 由，不等式可化为， 因为对任意，不等式恒成立，即， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$