第二十八章 锐角三角函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（安徽专用,人教版）

第二十八章 锐角三角函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ， 故选：D． 2．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 3．在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 【答案】D 【详解】解：A、在中，每边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、若，则，故本选项错误； C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误； D、根据设两直角边为，根据勾股定理得斜边为，所以，故本选项正确． 故选：D． 5．如图，在的正方形网格中，的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意如图所示： 故选：B 6．如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站与发射点之间的距离为，三火箭到达点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 7．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 8．如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 10．如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算 ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】262 【详解】解：作于，如图所示： 由题意得：， ∴四边形为矩形， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， 则该建筑的高度为， 故答案为：262． 14．如图，，是的切线，切点分别是点，点，是的直径．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】如图所示，连接． ∵，是的切线， ∴，． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为： 15．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 16．“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么 ． 【答案】/ 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， ， 在中，，则， ， ． 故答案为：． 17．如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 18．如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 【答案】 【详解】过点P作于点K， 由题意得， 设， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴， 设， ∵正方形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 由 得， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）计算：． 【答案】6 【详解】解：原式． 20．（5分）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 21．（6分）在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． (1)，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)，， 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 22．（6分）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 23．（6分）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 24．（6分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题： (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 【答案】(1)千米，平方千米 (2) 【详解】（1）解：千米，， ∴， ∴由勾股定理可得 千米． 又∵， ∴（千米） ∴周长为：（千米） 面积为：（平方千米） 故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米． （2）在中，千米，千米， ∴． 故的余弦值为． 25．（7分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 26．（7分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 27．（8分）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【答案】(1)楼梯的长度为； (2)选择路线①能赶在表演前到达点C处 【详解】（1）解：如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形， ， 设， ， ，， ， 解得：， ，， ， 答：楼梯的长度为； （2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：， 选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：， 选择路线①能赶在表演前到达点处． 28．（10分）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在中， ∵，为边上的高， ∴， 作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， ∴，， ∴， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 3．在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 5．如图，在的正方形网格中，的值为（     ） A． B．2 C． D． 6．如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站与发射点之间的距离为，三火箭到达点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 8．如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．计算 ． 12．若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为 ． 13．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，） 14．如图，，是的切线，切点分别是点，点，是的直径．若，，则的长为 ． 15．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 16．“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么 ． 17．如图，点，点C是一点，若，则 ． 18．如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）计算：． 20．（5分）如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 21．（6分）在中，，、、的对边分别是a、b、c，根据下列条件解直角三角形． (1)，； (2)，． 22．（6分）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 23．（6分）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 24．（6分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题： (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 25．（7分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 26．（7分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 27．（8分）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 28．（10分）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$