19.4 线段的垂直平分线(4大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.4 线段的垂直平分线 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 1.线段垂直平分线的定义 经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2.性质定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 3.符号语言 4.应用 证明线段相等 注意： (1) 联结线段垂直平分线上的点和线段两个端点,构造等腰三角形是常用的解题方法 (2) 由于线段垂直平分线上的点可能在线段上也可能在线段外,故证明定理时必须对点 P的位置分情况讨论 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 1.逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.符号语言 3.应用 确定点在线段的垂直平分线上 注意： (1)组成线段的垂直平分线的所有点和线段两端点的距离都相等;(2)和线段两端点距离相等的所有点组成该线段的垂直平分线 知识点三 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 注意： ①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 题型一、线段垂直平分线的性质 解题技巧提炼 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 1．下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 2．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度． 4．已知：如图，在梯形中，，M是AB的中点，，，，长为 ． 5．如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 6．如图，垂直平分垂直平分，若∠，则 度． 7．如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 8．已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 题型二、线段垂直平分线的判定 解题技巧提炼 1.逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.符号语言 10．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 11．下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 12．如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 13．下列命题的逆命题错误的是（      ） A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； B．全等三角形的三条边对应相等； C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等； D．等边三角形每个内角都等于60°． 14．以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 15．经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 16．以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 ． 17．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 题型三、作已知线段的垂直平分线 解题技巧提炼 注意： ①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 18．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 21．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ）    A．三边中线的交点 B．三边上高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 22．如图△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB=CD，∠C等于20度，那么∠A 度． 23．已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 24．如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型四、作垂直平分线（尺规作图） 解题技巧提炼 步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点． 25．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 27．如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 28．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，则的周长为 ． 29．已知：如图，，点在上． (1)求作线段的垂直平分线，交于点； (2)连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 30．作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P． 31．如图，已知ABC，分别画出AB，AC边上的高，以及它们所在直线的交点D． 32．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ； 故选：B． 3．如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度． 【答案】54 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由等腰三角形中，，可求得的度数，又由线段的垂直平分线交于点D，交于点E，可求得，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵等腰三角形中，， ∴， ∴． 故答案为：54． 4．已知：如图，在梯形中，，M是AB的中点，，，，长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．延长交延长线于点，证明，得，，又由，得垂直平分，得，即可求解． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵， ∴，， 又∵点是的中点，即， ∴， ∴，， ∵，，即垂直平分， ∴， 故答案为：6． 5．如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 【答案】40 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】解：∵垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，垂直平分垂直平分，若∠，则 度． 【答案】40 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：40． 7．如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵边的垂直平分线分别交边于点E、F， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” ．利用圆的性质可以得到圆上所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到、两点的距离相等，从而得出结论． 【详解】解：圆上的所有点到圆心的距离相等， 无论圆心在哪里，所有圆心到、两点的距离相等， 到、两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 题型二、线段垂直平分线的判定 解题技巧提炼 1.逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.符号语言 10．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】A、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； C、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； D、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 11．下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的角平分线定义、线段垂直平分线的判定、三角形的外角性质、全等三角形的判定，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和这个顶点确定的线段是三角形的角平分线，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； B、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故此选项结论正确，是真命题，符合题意； C、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 12．如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 13．下列命题的逆命题错误的是（      ） A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； B．全等三角形的三条边对应相等； C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等； D．等边三角形每个内角都等于60°． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题为“平面上任意一点到一条线段两个端点的距离都相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”，为真命题，故不符合题意； B、“全等三角形的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边都相等，那么这两个三角形全等”，为真命题，故不符合题意； C、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角都是直角”为假命题，有可能这两个角为对顶角，故符合题意； D、“等边三角形每个内角都等于60°”的逆命题为“如果一个三角形的每个内角都为60°，那么这个三角形是等边三角形”为真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查逆命题、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质，熟练掌握逆命题、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质是解题的关键． 14．以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线（底边中点除外） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，线段垂直平分线的逆定理．根据三角形的三条中线交于一个，和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵，分别是的中点，点是的交点， 连接并延长交于点， ∴是底边的中线，也是的垂线， ∴点在底边的垂直平分线上（底边中点除外）， 故答案为：线段的垂直平分线（底边中点除外）． 15．经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点的圆的圆心的轨迹是直线． 【详解】解：∵一个圆经过定点， ∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等， ∴该圆圆心在线段的垂直平分线上， ∴经过定点的圆的圆心的轨迹是直线， 故答案为：直线． 16．以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 ． 【答案】线段AB的垂直平分线（AB中点除外） 【分析】根据等边对等角，得到两个底角相等，两个底角的一半也是相等的，利用等角对等边，交点到A，B的距离相等，得到结论． 【详解】如图，∵CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA， ∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线， ∴∠CAB=∠CBA， ∴∠DAB=∠DBA， ∴D在AB的垂直平分线上， 故答案为：线段AB的垂直平分线（AB中点除外）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的逆定理， 熟练等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 17．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可； （2）根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）∵分别是上的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， ∵BC=CB， ∴△EBC≌△DCB， ∴∠ECB=∠DBC， ∴OB=OC； （2）设AO与DE的交点为F， ∵△EBC≌△DCB， ∴EC=DB， ∵OB=OC； ∴OD=OE， ∴点O在线段DE的垂直平分线上， ∵AE=AD， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴直线AO是线段DE的垂直平分线， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 题型三、作已知线段的垂直平分线 解题技巧提炼 注意： ①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 18．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 19．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答． 【详解】解：由作图可得：，， ∴， ∵周长为周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 20．如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】∵小学到三个村庄的距离相等， ∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点， 故选：A． 21．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ）    A．三边中线的交点 B．三边上高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等．根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：D． 22．如图△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB=CD，∠C等于20度，那么∠A 度． 【答案】 【分析】连接BD,证明△ABD和△BDC是等腰三角形,在利用外角性质证明∠ADB=∠DBC+∠C及即可解题. 【详解】解：连接BD, 由题可知：BD=CD=AB, ∴△ABD和△BDC是等腰三角形, ∴∠C=∠DBC,∠A=∠ADB, 又∠ADB=∠DBC+∠C,∠C=20°, ∴∠A=∠ADB=20°+20°=40°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,外角性质,属于简单题,作辅助线,熟用外角性质是解题关键. 23．已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 【答案】（1）见解析；（2）9 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB； （2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2AD，从而得到结论． 【详解】（1）如图，DE为所作； （2）连接AD，如图， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵BD=3， ∴AD=3， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠CAD=120°−30°=90°， ∴CD=2AD=6， ∴BC=BD+CD=3+6=9. 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 24．如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 题型四、作垂直平分线（尺规作图） 解题技巧提炼 步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点． 25．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴，即， ∴； 故选：B． 26．如图，已知线段，小蒲利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C，D两点；②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是6， 故选：A． 27．如图，已知线段．按下列步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．观察图形，请写出图中线段之间的一个等量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，根据作图的方法得垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， 故答案为：． 28．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴的周长为； 故答案为：10． 29．已知：如图，，点在上． (1)求作线段的垂直平分线，交于点； (2)连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）根据作已知线段垂直平分线的作法，即可求解； （2）根据作已知角的平分线的作法，即可求解． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的直线， （2）解：如图，就是所求作的射线， 30．作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P． 【答案】作图见解析 【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解. 【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线； 以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点； 还有一点是三边的垂直平分线的交点， ∴一共有10个点； 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 31．如图，已知ABC，分别画出AB，AC边上的高，以及它们所在直线的交点D． 【答案】作图见解析 【分析】按照三角形高的尺规作图方法正确的作出图形即可. 【详解】解：以B点为圆心，以AB的长为半径，画弧，与CA延长线交于P，分别以AP为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于B、M两点，连接BM交AP于H，线段BH即为AC边上的高； 同理线段CE即为AB边上的高，直线CE与BH的交点D即为所求. 【点睛】本题主要考查了尺规作图—三角形边上的高，解题的关键在于能够熟练掌握三角形高的作法. 32．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图−线段垂直平分线，以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C，即可求解． 【详解】解：如图，点C即为所求，理由如下： 以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$