19.7 直角三角形全等的判定(8大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.7 直角三角形全等的判定 知识点一 直角三角形 我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC 知识点二 直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 2. 灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 知识点三 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角 形 两边(SS) SSS或SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等 一边及其邻角 (SA) SAS或ASA或AAS 已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 另一角对应相等 两角(AA) ASA或AAS 两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等 直角 三角 形 一锐角(A) ASA或AAS 直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 一直角边(L) HL或ASA或AAS或SAS 斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等 知识点四 常见全等三角形的基本图形 1. 平移型全等 2. 翻折型全等 3. 旋转型全等 题型一、直角三角形的判定方法 解题技巧提炼 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(   ) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 2．下列结论中错误有（    ） ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ③两个锐角对应相等的两直角三角形全等 ④有两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等 ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 3．下列判定直角三角形全等的方法中，不正确的是（   ） A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．斜边和一锐角对应相等 4．下列不能使两个直角三角形全等的条件是（    ） A．三边对应相等 B．两个锐角相等 C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 5．如图，，，则直接证明的方法（　　） A．有1种 B．有2种 C．有3种 D．有4种 6．如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 7．如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（  ） A．对 B．对 C．对 D．对 题型二、添加条件证明直角三角形全等 解题技巧提炼 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 8．如图，，要根据“HL”证明Rt，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 10．如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等，以下给出的条件适合的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 题型三、尺规作图 解题技巧提炼 尺规作图作为三角全等的判定的一种题型，我们需要掌握一般三角形全等、直角三角形全等的判定方法,并结合尺规作图构造的全等模型解决问题. 12．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（　　） A．； B．； C．； D．； 13．在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 14．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，在“三等分角”整个充满艰辛的探索道路上，许多人获得了意外的发现，如：用其他辅助工具三等分角和尺规作图三等分和角．任务： (1)如图①，在中，，，在图中作出的三等分线，； （要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)由（1）知，我们可以用尺规作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分，为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图②是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆O相接的带的长度与半圆的半径相等；带的长度任意，它的一边与直线形成一个直角，且与半圆相切于点B；假设需要将三等分，如图③，首先将角的顶点S置于上，角的一边经过点A，另一边与半圆相切，连接，则，为的三等分线，请你证明． 题型四、K字模型 解题技巧提炼 k字模型运用是要结合互余关系进行等量代换，这是解题突破口. 15．如图， RtABC 中，BAC 90° ， AB AC ，分别过点 B、C 作过点 A 的直线的垂线BD、CE ，垂足分别为 D、E ，若 BD 4， CE2，则 DE= ( ) 16．如图，中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，垂足为D，E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，，，分别过点B，点C作过点A的直线的垂线，，垂足为点D，E，试说明：      (1)； (2)． 18．在中，，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． 【特例体验】（1）如图1，若直线，，则线段的长为______． 【探究应用】 （2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时，线段、和的数量关系是________； （3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时与线段相交，探究线段、和的数量关系并说明理由 （4）若，（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 题型五、HL和SAS证明三角形全等 解题技巧提炼 HL和SAS证明三角形全等,往往作为“二次全等”题型的方法，一般HL（或SAS）的全等作为后续SAS（或HL）的条件. 19．如图，在和中，，，AD与分别为，边上的中线，且，求证： 20．在中，，以点A为中心，分别将线段逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F．连接，求的度数． 21．如图，在中，，分别以为斜边作和，使，，连接相交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)求证：G为的中点． 22．如图，已知于点，于点，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并予以说明． 题型六、HL和ASA（AAS）证明三角形全等 解题技巧提炼 HL和ASA（AAS）证明三角形全等,往往作为“二次全等”题型的方法，一般HL（或ASA（AAS））的全等作为后续ASA（AAS）（或HL）的条件. 23．如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是 ． （2）若，且，则，其根据是 ． （3）若，且，则，其根据是 ．    24．如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= °． 26．如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 27．学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 28．在学习角平分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹） 平分， ∴____①____ 又 ∴____②____( ， ∵点E是的中点， ， 在与中 ， ___③_____    题型七、HL与角平分线的综合运用 解题技巧提炼 HL与角平分线的综合运用，一般会结合等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练运用角平分线的性质是解题的关键． 29．已知，如图，平分，，，，，，则的面积为： ， ． 30．填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明． 证明：∵平分， _____（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中， ∵， （_____）， ， （_____）． 31．如图，在中，是边上的中线，，， 交的延长线于点． (1)若，，求的长； (2)求证：为等腰三角形． 32．如图，在中，已知平分交于点于点，点在上，且．    (1)求证：； (2)请判断与之间的数量关系，并说明理由． 题型八、HL和线段的垂直平分线的综合运用 解题技巧提炼 HL和线段的垂直平分线的综合运用，一般会结合等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练运用角平分线的性质是解题的关键． 33．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 34．如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接、，，平分，则线段、、之间的等量关系是 ． 35．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，，G，H为垂足． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.7 直角三角形全等的判定 知识点一 直角三角形 我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC 知识点二 直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 2. 灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 知识点三 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角 形 两边(SS) SSS或SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等 一边及其邻角 (SA) SAS或ASA或AAS 已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 另一角对应相等 两角(AA) ASA或AAS 两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等 直角 三角 形 一锐角(A) ASA或AAS 直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 一直角边(L) HL或ASA或AAS或SAS 斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等 知识点四 常见全等三角形的基本图形 1. 平移型全等 2. 翻折型全等 3. 旋转型全等 题型一、直角三角形的判定方法 解题技巧提炼 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(   ) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意； C、斜边和一条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意； D、两个锐角对应相等，，没有边长对应相等，不能判定两个直角三角形全等，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判断方法，是解题的关键． 2．下列结论中错误有（    ） ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ③两个锐角对应相等的两直角三角形全等 ④有两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等 ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可． 【详解】解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确； ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等，故②正确； ③两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故③错误； ④有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，因为该角不一定是两边的夹角，故④错误； ⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据判定它们全等．故⑤正确； ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形，可以根据判定它们全等．故⑥正确； 综上所述，错误的说法有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 3．下列判定直角三角形全等的方法中，不正确的是（   ） A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．斜边和一锐角对应相等 【答案】B 【解析】略 4．下列不能使两个直角三角形全等的条件是（    ） A．三边对应相等 B．两个锐角相等 C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【答案】B 【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而是不能判定三角形全等的，所以符合题意的答案只有选项B了． 【详解】解：A、三边对应相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由不能判定它们全等，故本选项符合题意； C、一条直角边和斜边对应相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．如图，，，则直接证明的方法（　　） A．有1种 B．有2种 C．有3种 D．有4种 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法可利用“”或“”或“”直接判断． 【详解】方法一：∵，，， ∴；     方法二：∵，，， ∴； 方法三：∵， 而，， ∴； 方法四：∵， 而，， ∴． 故选：D． 6．如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的一般方法有：，全等的三角形有、、，利用全等三角形的判定可证明，结合已知条件与全等三角形的判定方法验证即可． 【详解】解：∵为腰上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵为腰上的高线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 综上所述，全等的直角三角形有3对， 故选：B． 7．如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（  ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，证明，，，，，，进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于找出三角形全等的条件． 题型二、添加条件证明直角三角形全等 解题技巧提炼 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 8．如图，，要根据“HL”证明Rt，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 9．如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形全等的判定．根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ∴， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A． 10．如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等，以下给出的条件适合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握是解题的关键． 根据直角三角形全等的判定方法即可确定答案． 【详解】解：添加， 理由如下：， 在和中， ， ， 故选D． 11．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 题型三、尺规作图 解题技巧提炼 尺规作图作为三角全等的判定的一种题型，我们需要掌握一般三角形全等、直角三角形全等的判定方法,并结合尺规作图构造的全等模型解决问题. 12．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：，，，故王师傅的依据为：；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：，，且，故学生小顾的依据为：；即可得到结果 【详解】∵王师傅用角尺平分一个角，在两边上分别取，使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为； ∴，，， ∴， 故王师傅的依据为：； ∵学生小顾用三角尺平分一个角，在两边上分别取，分别过，作，的垂线，交点为， ∴，，且， ∴， 故学生小顾的依据为：； 故答案为：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键 13．在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 14．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，在“三等分角”整个充满艰辛的探索道路上，许多人获得了意外的发现，如：用其他辅助工具三等分角和尺规作图三等分和角．任务： (1)如图①，在中，，，在图中作出的三等分线，； （要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)由（1）知，我们可以用尺规作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分，为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图②是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆O相接的带的长度与半圆的半径相等；带的长度任意，它的一边与直线形成一个直角，且与半圆相切于点B；假设需要将三等分，如图③，首先将角的顶点S置于上，角的一边经过点A，另一边与半圆相切，连接，则，为的三等分线，请你证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以点B为圆心，以为半径画弧，构造等边三角形，再作角的平分线即可． （2）先证明，再证明即可得证． 本题考查了角的平分线的作图，切线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握作图，切线的性质是解题的关键． 【详解】（1）以点B为圆心，以为半径画弧，构造等边三角形，再作的平分线，画图如下： ． 则即为所求． （2）连接，设与半圆O相切于N，则， ∵，与半圆相切于点B， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴，为的三等分线． 题型四、K字模型 解题技巧提炼 k字模型运用是要结合互余关系进行等量代换，这是解题突破口. 15．如图， RtABC 中，BAC 90° ， AB AC ，分别过点 B、C 作过点 A 的直线的垂线BD、CE ，垂足分别为 D、E ，若 BD 4， CE2，则 DE= ( ) 【答案】6 【分析】首先证明∠DBA=∠CAE，然后再根据AAS定理证明△BDA≌△AEC，根据全等三角形的性质可得DA=CE，AE=DB，进而得到答案． 【详解】解：∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵BD⊥DE， ∴∠BDA=90°， ∴∠BAD+∠DBA=90°， ∴∠DBA=∠CAE， ∵CE⊥DE， ∴∠E=90°， 在△BDA和△AEC中， ， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴DA=CE=2，AE=DB=4， ∴ED=6． 故答案为6 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理． 16．如图，中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，垂足为D，E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理． （1）首先证明，然后再根据定理证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】（1）证明 ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ，， ． 17．如图，在中，，，分别过点B，点C作过点A的直线的垂线，，垂足为点D，E，试说明：      (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，得出，推出，进而求证； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等是判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等． 18．在中，，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． 【特例体验】（1）如图1，若直线，，则线段的长为______． 【探究应用】 （2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时，线段、和的数量关系是________； （3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时与线段相交，探究线段、和的数量关系并说明理由 （4）若，（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3），理由见解析；（4）以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出，和的长即可； （2）先证，由即可得出，进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】解：（1）在中，，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ． （3）．理由如下： 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ． （4）由（2）可得，当时，四边形的面积； 由（3）可得，当时四边形的面积． 当时，如下图所示，四边形的面积 ； 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键． 题型五、HL和SAS证明三角形全等 解题技巧提炼 HL和SAS证明三角形全等,往往作为“二次全等”题型的方法，一般HL（或SAS）的全等作为后续SAS（或HL）的条件. 19．如图，在和中，，，AD与分别为，边上的中线，且，求证： 【答案】见解析 【分析】先根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求得，由全等三角形的性质得出，进而可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴ ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握和的判定条件是解题关键． 20．在中，，以点A为中心，分别将线段逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F．连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．先结合题意可知，再证明，得到，再利用直角三角形全等的判定得到，得到 【详解】∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 21．如图，在中，，分别以为斜边作和，使，，连接相交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)求证：G为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用即可证明； （2）利用得到，，结合题意可证，进而证明，从而得到，利用全等三角形的性质可知，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， G为的中点． 22．如图，已知于点，于点，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并予以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． （1）先说明，再运用即可证得结论； （2）根据证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， 在和， ， ∴． （2）证明：， ， ， 在与中， ，     ， ， ． 题型六、HL和ASA（AAS）证明三角形全等 解题技巧提炼 HL和ASA（AAS）证明三角形全等,往往作为“二次全等”题型的方法，一般HL（或ASA（AAS））的全等作为后续ASA（AAS）（或HL）的条件. 23．如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是 ． （2）若，且，则，其根据是 ． （3）若，且，则，其根据是 ．    【答案】 【分析】（1）先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （2）先根据垂直的定义得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （3）先根据垂直的定义得到，然后根据直角三角形全等的判定方法可判断． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 24．如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， 即， 又∵，， ， ∴当时，在和中， ， ∴； 当时，在和中， ， ∴； 当时，在和中， ， ∴． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= °． 【答案】45 【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°． 【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， 又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF=∠DBF， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD=AD， ∵∠ADB=90°． ∴∠ABC=∠BAD=45°． 故答案为：45． 【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 26．如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 27．学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 【答案】(1)（斜边直角边），理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）“”定理只能用来证明两个直角三角形全等； （2）通过证明可得到中的一组直角边相等，再证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：（斜边直角边），推理过程如下： ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过A作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，   ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ． 28．在学习角平分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹） 平分， ∴____①____ 又 ∴____②____( ， ∵点E是的中点， ， 在与中 ， ___③_____    【答案】作图见解析，①②③ 【分析】根据要求作出图形，证明． 推出，再证明，可得结论． 【详解】图形如图所示：    平分， ∴， ， ， ， ， 又， ∴(， ，， ∵点E是的中点， ， ， 在与中， ，， ， ， ． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，所以是中考常考题型． 题型七、HL与角平分线的综合运用 解题技巧提炼 HL与角平分线的综合运用，一般会结合等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练运用角平分线的性质是解题的关键． 29．已知，如图，平分，，，，，，则的面积为： ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理． 过点作于点，根据角平分线的性质可知，再利用三角形的面积公式计算即可； 首先根据判定，利用全等三角形的性质可得，根据四边形内角和定理可得． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 平分， ， 又， ； ，， ， 在和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 故答案为：；． 30．填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明． 证明：∵平分， _____（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中， ∵， （_____）， ， （_____）． 【答案】；；；；C；等角对等边 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角的平分线的性质定理等知识，证明是解题的关键． 由平分，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可证明． 【详解】证明：∵平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中， ∵， ， ， （等角对等边）． 故答案为：；；；；C；等角对等边． 31．如图，在中，是边上的中线，，， 交的延长线于点． (1)若，，求的长； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据， ，可得出，进而得到等边，求出结果； （2）过点作，，垂足为点；通过证明得到，进而得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：过点作，，垂足为点； ∵平分， ∴． 又∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质是解题的关键． 32．如图，在中，已知平分交于点于点，点在上，且．    (1)求证：； (2)请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得到，进而根据直角三角形全等判定定理证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ． 题型八、HL和线段的垂直平分线的综合运用 解题技巧提炼 HL和线段的垂直平分线的综合运用，一般会结合等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练运用角平分线的性质是解题的关键． 33．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 34．如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接、，，平分，则线段、、之间的等量关系是 ． 【答案】 【分析】连接，过点作交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据角平分线的概念和性质得出，，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，结合三角形的外角性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点，如图： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的概念，三角形的外角性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 35．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点P在的垂直平分线上， ， 是的平分线，于D，于E， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵平分，于D，于 ∴， 在和中， ， ， ， ，，且， ， 即， 解得 36．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，，G，H为垂足． 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$