19.7 直角三角形全等的判定（讲+练，13大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

19.7 直角三角形全等的判定 1. 掌握“HL”这一判定两个直角三角形全等的特殊方法. 2. 会运用“HL”判定两个直角三角形全等. 知识点一 直角三角形 我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC 知识点二 直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 2. 灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 即学即练1下列条件中，不能保证两个直角三角形一定全等的是（    ） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一条直角边分别相等 C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等 D．两个锐角分别相等 即学即练2 如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 知识点三 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角 形 两边(SS) SSS或SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等 一边及其邻角 (SA) SAS或ASA或AAS 已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 另一角对应相等 两角(AA) ASA或AAS 两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等 直角 三角 形 一锐角(A) ASA或AAS 直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 一直角边(L) HL或ASA或AAS或SAS 斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等 知识点四 常见全等三角形的基本图形 1. 平移型全等 2. 翻折型全等 3. 旋转型全等 题型1 直角三角形全等判定辨析 例1下列命题中，是假命题的是（    ） A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等； B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． C．每个命题都有逆命题； D．每个定理都有逆定理． 举一反三1已知下列说法，其中结论正确的个数是（  ） ①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 举一反三2下列语句中，正确的有（　　）个． ①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等； ②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③三角形的三个内角中至少有两个锐角； ④三角形的外角大于任何一个内角． A．1 B．2 C．3 D．4． 题型2 利用直角三角形的全等判定求线段关系 例2已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，求证：． 举一反三1如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． (1)求证：CE=CDBE； (2)如果CE=3BE，求的值． 举一反三2如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 举一反三3如图，于点E，于点F，若，，    (1)求证：平分； (2)写出与之间的等量关系，并说明理由． 举一反三4如图，于点E，于点F，若，．    (1)求证：AD平分； (2)求证：． 题型3 直角三角形的判定证明角平分线或垂直平分线 例3如图，在中，D是的中点，，垂足分别是点E、F，．求证：平分．    举一反三1如图，是的角平分线，于点E，于点F，求证：是的垂直平分线．    举一反三2如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 举一反三3如图，在四边形中，，是的中点，平分．    (1)求证：平分； (2)线段与有怎样的位置关系？并说明理由； (3)求证：． 题型4 直角三角形的判定在几何证明中的应用 例4 如图，AB、ED分别垂直于BD，