江苏省南通市启秀中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

( 学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号 ………………………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 要 ………… 答 ………… 题 ………………………… ) 2024-2025学年江苏省南通市启秀中学九上数学期中测试卷 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 批阅人 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1、（4分）分式有意义的条件是( ) A． B． C． D． 2、（4分）如图， □ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°则∠DAE等于 （ ） A．40° B．60° C．80° D．100° 3、（4分）使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 4、（4分）放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离和放学后的时间之间的关系如图所示，给出下列结论：①小刚家离学校的距离是；②小刚跑步阶段的速度为；③小刚回到家时已放学10分钟；④小刚从学校回到家的平均速度是．其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5、（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．18° B．36° C．72° D．108° 6、（4分）电影院里的座位按“×排×号”编排，小明的座位简记为(12，6)，小菲的座位简记为(12，12)，则小明与小菲坐的位置为( ) A．同一排 B．前后同一条直线上 C．中间隔六个人 D．前后隔六排 7、（4分）在反比例函数y图象上有三个点，若x1<0<x2<x3，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 8、（4分）温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表： 零件个数（个） 5 6 7 8 人数（人） 3 15 22 10 表中表示零件个数的数据中，众数是（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9、（4分）已知y与2x成正比例，且当x＝1时y＝4，则y关于x的函数解析式是__________． 10、（4分）如图，在中，，，点D在边上，若以、为边，以为对角线，作，则对角线的最小值为_______． 11、（4分）如图，等腰直角三角形ABC的底边长为6，AB⊥BC；等腰直角三角形CDE的腰长为2，CD⊥ED；连接AE，F为AE中点，连接FB，G为FB上一动点，则GA的最小值为____. 12、（4分）数据，，，，,的方差_________________ 13、（4分）已知边长为4cm的正方形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路线运动，则当PQcm时，点C到PQ的距离为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14、（12分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm （1）用含有x的式子表示AD，并写出x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为192m2平方米，求AB的长度． 15、（8分）如图、，在平行四边形中，、的角平分线、分别与线段两侧的延长线（或线段）相交与、，与相交于点. （1）在图中，求证：，. （2）在图中，仍有（1）中的，成立，请解答下面问题： ①若，，，求和的长； ②是否能给平行四边形的边和角各添加一个条件，使得点恰好落在边上且为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由. 16、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点． （1）求证：DE＝BF． （2）求证：四边形BFDE是平行四边形． 17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点、，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点． （1）求线段的长度； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若点在线段上，在线段上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18、（10分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE，求证：∠DAE＝∠ECD． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19、（4分）一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为______． 20、（4分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是_________ 21、（4分）在平面直角坐标系中，点P（a-1，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是__________。 22、（4分）我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺． 23、（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24、（8分）某校2500名学生参加“读好书、讲礼仪”活动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书，从中抽取该校八年级（1）班全体同学捐献图书的数量，绘制如下统计图： 请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）八（1）班全体同学所捐图书的中位数和众数分别是多少？ （3）估计该校2500名学生共捐书多少册？ 25、（10分）如图，某一时刻垂直于地面的大楼的影子一部分在地上，另一部分在斜坡上．已知坡角，米，米，且同一时刻竖直于地面长1米的标杆的影长恰好也为1米，求大楼的高度． 26、（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC．上的点(点E不与端点A，C重合)，且连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使，连接DE，DF，GE，GF (1)求证:四边形EDFG是正方形; (2)直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少? 参考答案与详细解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1、B 【解析】 根据分式的定义即可判断. 【详解】 依题意得0，解得，故选B. 此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的性质. 2、A 【解析】 分析：由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠DAB=180°-100°=80°，由角平分线的定义得出∠DAE=∠DAB=40°即可． 详解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠B=180°， ∴∠DAB=180°−100°=80°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠DAB=40°； 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，关键在于理解平行四边形的对边互相平行. 3、D 【解析】 直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】 解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4 即x的取值范围是：x＜4 故选D． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 4、A 【解析】 由t=0时s=1000的实际意义可判断①； 由8≤t≤10所对应的图象表示小刚跑步阶段，根据速度=路程÷时间可判断②； 根据t=10时s=0可判断③； 总路程除以所用总时间即可判断④． 【详解】 解：①当t=0时，s=1000，即小刚家离学校的距离是1000m，故①正确； ②小刚跑步阶段的速度是=300（m/min），故②正确； ③当s=0时，t=10，即小刚回到家时已放学10min，故③正确； ④小刚从学校回到家的平均速度是=100（m/min），故④正确； 故选：A． 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键. 5、B 【解析】 由AB=AC，知道顶∠A的度数，就可以知道底∠C的度数，还知道BC=BD，就可以知道∠CDB的度数，在利用三角形的外角∠A+∠ABD=∠CDB，就可以求出ABD的度数 【详解】 解，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠C=72°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠C=72°， 又∵∠A+∠ABD=∠BDC ∴∠ABD=∠BDC-∠A=72°-36°=36° 本题主要考查等腰三角形的性质，结合角度的关系进行求解 6、A 【解析】 ∵（12，6）表示12排6号，(12,12) 表示12排12号， ∴小明（12，6）与小菲（12，12）应坐的位置在同一排，中间隔5人． 故选A． 考查学生利用类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力． 7、B 【解析】 根据反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征解得即可. 【详解】 ∵k=-2019<0， ∴反比例函数y的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数y图象上，x1<0<x2<x3， ∴y1>0，y2<0，y3<0， ∴y2<y3<y1， 故选B. 本题考查了反比例函数y=的性质，k>0时，图象在一、三象限，在各象限内，y随x的增大而减小；k<0时，图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 8、C 【解析】 解：数字7出现了22次，为出现次数最多的数，故众数为7个， 故选C． 本题考查众数． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9、y＝4x 【解析】 根据y与1x成正比例，当x=1时，y=4，用待定系数法可求出函数关系式． 【详解】 解：设所求的函数解析式为：y=k•1x， 将x=1，y=4代入，得：4=k•1， 所以：k=1． 则y关于x的函数解析式是：y=4x． 故答案为：y=4x． 本题考查待定系数法求解析式，解题关键是根据已知条件，用待定系数法求得函数解析式k的值，写出y关于x的函数解析式． 10、1 【解析】 由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD，即可得出DE的最小值． 【详解】 解：∵，， 根据勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ， ∴当取最小值时，线段最短，即时最短， 是的中位线， ， ， 故答案为：1． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 11、3. 【解析】 运用等腰直角过三角形角的性质，逐步推导出AC⊥EC,当AG⊥BF时AG最小，最后运用平行线等分线段定理，即可求解. 【详解】 解：∵等腰直角三角形ABC，等腰直角三角形CDE ∴∠ECD=45°，∠ACB=45° 即AC⊥EC,且CE∥BF 当AG⊥BF，时AG最小， 所以由∵AF=AE ∴AG=CG=AC=3 故答案为3 本题考查了等腰直角三角形三角形的性质和平行线等分线段定理，其中灵活应用三角形中位线定理是解答本题的关键. 12、； 【解析】 首先计算平均数，再利用方差的公式计算即可. 【详解】 根据题意可得平均数 所以 故答案为1 本题主要考查方差的计算公式，应当熟练掌握，这是数据统计里一个比较重要的概念. 13、或． 【解析】 如图1，当P在AB上，Q在AD上时，根据题意得到，连接AC，根据正方形的性质得到，，求得，推出是等腰直角三角形，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论，如图2，当P在BC上，Q在DC上时，则，同理，． 【详解】 ∵点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路线运动， ∴如图1，当P在AB上，Q在AD上时，则AQ=AP，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°，AC⊥BD， ∴ACAB=4． ∵AQ=AP，∴△APQ是等腰直角三角形， ∴∠AQP=∠QAM=45°，∴AM⊥AC， ∵PQcm，∴AMPQ，∴CM=AC=AM； 如图2，当P在BC上，Q在DC上时，则CQ=CP，同理，CM， 综上所述：点C到PQ的距离为或， 故答案为：或． 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14、（1）AD=40-2x．11≤x＜1．（2）若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米． 【解析】 (1)由矩形的周长公式求得AD的长度；由AD长度意义求得x的取值范围； (2)根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由(1)中x的取值范围即可确定x的值． 【详解】 (1)AD=40-2x， ∵0＜40-2x≤18， ∴x的取值范围为：11≤x＜1； (2)根据题意得：x(40-2x)=192， 整理，得x2-1x+96=0， 解得：x1=8，x2=12， ∵11≤x＜1， 当x=8时，40-2x=40-16=24＞18， ∴不合题意，舍去； ∴x=12，即AB的长度为12， 答：若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米． 本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据篱笆长度得出用含有x的式子表示BC的式子；(2)利用矩形的面积公式，找出关于x的一元二次方程． 15、（1）见解析；（2）①，，②，，见解析. 【解析】 （1）由平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论； （2）①由（1）题的思路可求得FG的长，再证明△BCG是等边三角形，从而得，过点作交延长线于点，在Rt△AFH中用勾股定理即可求出AF的长； ②若使点恰好落在边上且为等腰三角形，易得F、G两点重合于点E，再结合（1）（2）的结论进行分析即可得到结论. 【详解】 解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，. ∴， 又∵、是与的角平分线， ∴，即∠AEB=90°， ∴， ∵，∴， 又∵是的角平分线、 ∴， ∴. 同理可得. ∴； （2）解：①由已知可得，、仍是与的角平分线且， ，，， . 如图，过点作交延长线于点. ∵，，. . ∵，，， ，，， . ②，（类似答案均可）. 若使点恰好落在边上，则易得F、G两点重合于点E，又由（1）（2）的结论知，，所以平行四边形的边应满足； 若使点恰好落在边上且为等腰三角形，则EA=EB，所以∠EAB=∠EBA， 又因为、仍是与的角平分线，所以∠CBA=∠BAD=90°，所以∠C=90°. 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的概念、平行线的性质、垂直的定义、等腰三角形和等边三角形的判定和性质、勾股定理和30°角的直角三角形的性质，考查的知识点多，综合性强，解题的关键是熟练掌握上述知识，弄清题意，理清思路，注重知识的前后联系. 16、（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 （1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论． 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD，AO＝OC， 又∵E，F分别为AO，OC的中点， ∴EO＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴DE＝BF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD，AO＝OC， 又∵E，F分别为AO，OC的中点， ∴EO＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 17、（1）15；（2）；（3） 【解析】 （1）根据勾股定理即可解决问题； （2）设AD=x，则OD=OA=AD=12-x，根据轴对称的性质，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根据OE2+DE2=OD2，构建方程即可解决问题； （3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，想办法求出最小PE的解析式即可解决问题. 【详解】 解：（1）由题知：. （2）设，则， 根据轴对称的性质，，， 又， ∴， 在中，， 即， 解得 ， ∴， ∴点， 设直线所对应的函数表达式为：， 则， 解得 ， ∴直线所对应的函数表达式为：， （3）存在，过点作EP∥DB交于点，过点作PQ∥ED交于点，则四边形是平行四边形．再过点作于点， 由， 得，即点的纵坐标为， 又点在直线：上， ∴， 解得 ， ∴ 由于EP∥DB，所以可设直线：， ∵在直线上 ∴， 解得 ， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴. 本题考查一次函数综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题. 18、见解析, 【解析】 要证∠DAE=∠ECD．需先证△ADF≌△CEF，由折叠得BC=EC，∠B=∠AEC，由矩形得BC=AD，∠B=∠ADC=90°，再根据等量代换和对顶角相等可以证出，得出结论． 【详解】 证明：由折叠得：BC=EC，∠B=∠AEC， ∵矩形ABCD， ∴BC=AD，∠B=∠ADC=90°， ∴EC=DA，∠AEC=∠ADC=90°， 又∵∠AFD=∠CFE， ∴△ADF≌△CEF （AAS） ∴∠DAE=∠ECD． 本题考查折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，借助于三角形全等证明线段相等和角相等是常用的方法． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19、x≥﹣1 【解析】 由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式ax+b≥kx解集． 【详解】 两个条直线的交点坐标为(−1, 2),且当x≥−1时,直线y=kx在y=ax+b直线的下方，故不等式ax+b≥kx的解集为x≥−1. 故答案为x≥−1. 本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识点，解题的关键是根据图象可知一次函数与一元一次不等式的增减性. 20、-3<a≤-1 【解析】 先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围． 【详解】 由， 解得：a≤x<3， ∵不等式组的整数解共有5个， 则其整数解为：-1，-1，0，1，1， ∴-3<a≤-1． 故答案为-3<a≤-1． 本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围． 21、0<a<1 【解析】 已知点P（a-1，a）是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解． 【详解】 ∵点P（a-1，a）是第二象限内的点， ∴a-1＜0且a＞0， 解得：0＜a＜1． 故答案为：0＜a＜1． 本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（-，+）． 22、4.1 【解析】 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】 解：1丈=10尺， 设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2 解得：x=4.1． 答：折断处离地面的高度为4.1尺． 故答案为：4.1． 此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 23、24 【解析】 根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OA，再根据菱形的对角线互相平分求出AC，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解． 【详解】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得：, ∴AC＝2OA＝8， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24. 故答案为：24. 此题考查菱形的性质，勾股定理求线段，菱形的面积有两种求法：①底乘以高；②对角线乘积的一半，解题中根据题中的已知条件选择合适的方法. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24、（1）见解析；（2）中位数是3本，众数是2本；（3）7850册 【解析】 （1）根据捐2本的人数是15人，占30%，即可求出该班学生人数，根据条形统计图求出捐4本的人数为，再画出图形即可； （2）根据中位数的定义求出第25、26个数的平均数即可，根据众数的定义求出出现的次数最多的数即可， （3）先求出八（1）班所捐图书的平均数，再乘以全校总人数2500即可． 【详解】 解：（1）∵被调查的总人数为15÷30%＝50人， ∴捐4册的有50﹣（10+15+7+5）＝13人， 补全图形如下： （2）∵共有50个数， ∴八（1）班所捐图书的中位数是（2+4）÷2＝3（本）， ∵2本出现了15次，出现的次数最多， ∴众数是2本； （3）∵八（1）班所捐图书的平均数是；（1×10+2×15+4×13+5×7+6×5）÷50＝， ∴全校2500名学生共捐2500×＝7850（本）， 答：全校2500名学生共捐7850册书． 本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，用到的知识点是众数、中位数、平均数． 25、24米 【解析】 过点D作DH⊥CE，DG⊥AC，在两个直角三角形中分别求得DH=2，BH=2，然后根据同一时刻竖直于地面长1米的标杆的影长恰好也为1米，求得AG=GD=BC+BH=22米，最后求得大楼的高度即可． 【详解】 解：过点作． ∵， ∴. ∵同一时刻1米的标杆影长为1米， ∴． ∴楼高（米）． 本题考查了解直角三角形的应用，正确的构造两个直角三角形是解题的关键． 26、（1）详见解析；（2）当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4 【解析】 （1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形； （2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值． 【详解】 (1)证明:连接CD，如图1所示. ∵为等腰直角三角形，， D是AB的中点， ∴ 在和中， ∴ ， ∴, ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形. ∵O为EF的中点，， ∴，且， ∴四边形EDFG是正方形; (2)解:过点D作于E′，如图2所示. ∵为等腰直角三角形，， ∴，点E′为AC的中点， ∴ (点E与点E′重合时取等号). ∴ ∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4 本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出4≤S四边形EDFG＜1． 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$