山东省济南市商河县四校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济南市商河县四校联考八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）9的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．﹣ 2．（4分）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．π﹣3.14 D． 3．（4分）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站“、“雪野湖“所在区域分别是（　　） A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6 4．（4分）在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　） A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2） 5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（4分）下列函数图象中，能表示函数图象的是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2﹣＝1 B．+＝ C．÷＝2 D．×＝4 8．（4分）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A．9米 B．12米 C．15米 D．24米 9．（4分）直线y1＝mx+n和y2＝nmx﹣n在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm．把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则重叠部分△ACF的面积为（　　） A．5cm2 B．10cm2 C．15cm2 D．20cm2 二．填空题（每小题4分，共20分） 11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为 　 　． 12．（4分）若+（y﹣1）2＝0，则（y﹣x）2023＝ 　 　． 13．（4分）如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C爬到点A，则蚂蚁爬行的最短路线为　 　cm． 14．（4分）已知是x的正比例函数，则m＝ 　 　． 15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，⋯，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为 　 　． 三.解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）把下列各数分别填入相应的集合里：﹣|﹣3|，1.525 525 552…，0，，3.14，﹣（﹣6）， （1）负数集合：{　 　…}； （2）非负整数集合：{　 　…}； （3）无理数集合：{　 　…}． 17．（7分）解方程： （1）2（x﹣4）2﹣32＝0； （2）（x+1）3＝﹣64． 18．（9分）计算： （1）﹣+； （2）（2+）2﹣（2+）（2﹣）； （3）﹣×． 19．（7分）已知△ABC的周长为，其中AB＝4，． （1）求AC的长度． （2）判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由． 20．（8分）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是 　 　，因变量是 　 　； （2）小明家到学校的路程是 　 　米． （3）小明在书店停留了 　 　分钟． （4）本次上学途中，小明一共行驶了 　 　米，一共用了 　 　分钟． （5）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 21．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的边AB的位置如图所示． （1）点A坐标为 　 　；点B坐标为 　 　； （2）若点C的坐标为（﹣1，4），请在图中画出△ABC； （3）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （4）直接写出点C1的坐标为 　 　． 22．（10分）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于OA，在L上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 23．（10分）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）295.84的算术平方根是 　 　，316.84的平方根是 　 　； （2） 　 　；（保留一位小数） （3）＝　 　，＝　 　； （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 24．（12分）阅读理解：在平面直角坐标系中，P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1P2的距离．如图，在Rt△P1P2Q，|P1P2|2＝|P1Q|2+|P2Q|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2，所以|P1P2|＝．因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式为|P1P2|＝．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点P（2，6），Q（﹣3，﹣6），试求P、Q两点间的距离； （2）已知点M（m，5），N（1，2）且MN＝5，求m的值； （3）求代数式的最小值． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）． （1）填空：m＝　 　，b＝　 　； （2）求△ACD的面积； （3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 2024-2025学年山东省济南市商河县四校联考八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）9的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．﹣ 【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可． 【解答】解：9的平方根是： ±＝±3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平方根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2．（4分）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．π﹣3.14 D． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：A.是分数，属于有理数； B.是循环小数，属于有理数； π﹣3.14是无理数； D.，是整数，属于有理数． 故选：C． 【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3．（4分）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站“、“雪野湖“所在区域分别是（　　） A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6 【分析】直接利用已知表格得出“济南西站”、“雪野湖”所在位置． 【解答】解：图中“济南西站”所在的区域分别是D5区”，“雪野湖”所在区域是F6区． 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解位置的意义是解题关键． 4．（4分）在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（　　） A．线段AB＝2 B．直线AB∥x轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为（2，2） 【分析】根据平面直角坐标系中点的特点，逐项进行判断即可． 【解答】解：A．AB＝4﹣（﹣2）＝6，故选项A错误，不符合题意； B．∵点A（4，2），B（﹣2，2），纵坐标相同，横坐标不同， ∴直线AB∥x轴，故选项B正确，符合题意； C．点A关于y轴的对称点坐标为（﹣4，2），故选项C错误，不符合题意； D．线段AB的中点坐标为（1，2），故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的特点． 5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据第三象限的坐标特征进行判断． 【解答】解：点P（﹣1，﹣2），由横纵坐标均为负数，则此点在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 6．（4分）下列函数图象中，能表示函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意y是x的函数依据函数的概念可知对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【解答】解：A、B、C选项中的图象，对一个确定的x的值，有两个y值与之对应，所以不是函数图象； D选项中的图象，对每一个确定的x的值，都有唯一确定的y值与之对应，所以是函数图象， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 7．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2﹣＝1 B．+＝ C．÷＝2 D．×＝4 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断． 【解答】解：2﹣＝，故A错误，不符合题意； 与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意； ÷＝，故C错误，不符合题意； ×＝＝4，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的运算，解题是关键是掌握二次根式相关的运算法则． 8．（4分）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A．9米 B．12米 C．15米 D．24米 【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米． 【解答】解：如图，AB＝9米，AC＝12米， 根据勾股定理得BC＝＝15（米）， 于是折断前树的高度是15+9＝24（米）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 9．（4分）直线y1＝mx+n和y2＝nmx﹣n在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各个图象的位置判断m、n的正负，比较即可． 【解答】解：A、直线y1解析式中，m＞0，n＜0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＞0，即m＞0，n＜0，一致，符合题意； B、直线y1解析式中，m＞0，n＞0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＞0，矛盾，不符合题意； C、直线y1解析式中，m＞0，n＜0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＜0，矛盾，不符合题意； D、直线y1解析式中，m＞0，n＞0，直线y2解析式中，mn＜0，﹣n＜0，矛盾，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的性质与图象，解题的关键是掌握一次函数的性质． 10．（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm．把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则重叠部分△ACF的面积为（　　） A．5cm2 B．10cm2 C．15cm2 D．20cm2 【分析】观察图形，要求折叠后重合部分的面积，即求△CAF的面积，已知CF边上的高DA的长度，故只需求出CF的长度即可；△ABC沿CA折叠得到△AEC，易知△ABC≌△AEC，由全等三角形的性质可知∠CAB＝∠CAE，而CD与AB是平行的，提示至此，相信你可以由勾股定理在△DAF中求出AF（即CF）的长度了． 【解答】解：∵△ABC沿CA折叠得到△ACE， ∴△ABC≌△AEC， ∴∠CAB＝∠CAE． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4， ∴CD∥AB，CD⊥DA，AD＝BC＝4，AB＝CD＝8． ∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB． ∵∠CAB＝∠CAE，∠DCA＝∠CAB， ∴∠CAE＝∠DCA， ∴CF＝AF． 在Rt△DAF中，AD＝4，DF＝CD﹣CF＝8﹣CF，AF＝CF， ∴（8﹣CF）2+42＝CF2， 解得CF＝5． ∵CF＝5，AD＝4，CD⊥DA， ∴S△CAF＝×CF×DA＝10（cm2）． 故选：B． 【点评】此题考查了折叠的性质及全等三角形的判定与性质，关键是证明△EFC≌△DFA，另外要熟练掌握勾股定理在直角三角形的中的应用，难度一般． 二．填空题（每小题4分，共20分） 11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为 　﹣1　． 【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案． 【解答】解：∵点A（3，4）与点B（a，b）关于x轴对称， ∴横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴a＝3，b＝﹣4， 则a+b＝3+（﹣4）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键． 12．（4分）若+（y﹣1）2＝0，则（y﹣x）2023＝ 　﹣1　． 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再根据有理数乘方法则计算即可． 【解答】解：∵+（y﹣1）2＝0， 又∵，（y﹣1）2≥0， ∴x﹣2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝2，y＝1， ∴（y﹣x）2023＝（1﹣2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根、偶次方，有理数的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 13．（4分）如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C爬到点A，则蚂蚁爬行的最短路线为　13　cm． 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则BC＝10×＝5（cm）， ∵AB＝12cm， ∴AC＝＝13（cm）． 故蚂蚁从点C爬到点A的最短路程是13cm． 故答案为：13． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 14．（4分）已知是x的正比例函数，则m＝ 　﹣3　． 【分析】根据正比例函数的定义可得m﹣3≠0且m2﹣8＝1，从而可得答案． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m﹣3≠0且m2﹣8＝1， 则m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，⋯，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为 　　． 【分析】根据勾股定理得出正方形ABCD的对角线是边长的，从而得到正方形ACEF的边长，找到规律即可得出答案． 【解答】解：∵第1个正方形的边长AB＝1， ∴根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC＝， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF＝（）2， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF＝（）3， 根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN＝（）4， … 根据勾股定理得，第n个正方形的边长＝（）n﹣1， ∴第2024个正方形的边长为：（）2024﹣1＝（）2023． 故答案为：． 【点评】本题考查了图形的变化规律，由一般情况探索出规律是解题的关键． 三.解答题（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）把下列各数分别填入相应的集合里：﹣|﹣3|，1.525 525 552…，0，，3.14，﹣（﹣6）， （1）负数集合：{　﹣|﹣3|，﹣　…}； （2）非负整数集合：{　0，﹣（﹣6）　…}； （3）无理数集合：{　1.525525552…，﹣　…}． 【分析】利用实数的分类解答即可． 【解答】解：（1）负数集合：{﹣|﹣3|，﹣…}， 故答案为：﹣|﹣3|，﹣； （2）非负整数集合：{0，﹣（﹣6）…}， 故答案为：0，﹣（﹣6）； （3）无理数集合：{1.525 525 552…，﹣…}， 故答案为：1.525 525 552…，﹣． 【点评】此题主要考查了实数，关键是掌握实数的分类． 17．（7分）解方程： （1）2（x﹣4）2﹣32＝0； （2）（x+1）3＝﹣64． 【分析】（1）把方程化为：（x﹣4）2＝16，再利用平方根的含义解方程即可； （2）由（﹣4）3＝﹣64，再利用立方根的含义解方程即可． 【解答】解：（1）∵2（x﹣4）2﹣32＝0， ∴2（x﹣4）2＝32， ∴（x﹣4）2＝16， ∴x﹣4＝±4， 解得：x1＝8，x2＝0； （2）根据立方根的定义可知， 开立方，x+1＝﹣4， 移项，x＝﹣5． 【点评】本题考查了平方根，立方根，掌握平方根，立方根的含义是关键． 18．（9分）计算： （1）﹣+； （2）（2+）2﹣（2+）（2﹣）； （3）﹣×． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算求解即可； （3）先计算乘除，再计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2+ ＝； （2）原式＝4+4+3﹣4+5 ＝8+4； （3）原式＝1+﹣2 ＝﹣1． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 19．（7分）已知△ABC的周长为，其中AB＝4，． （1）求AC的长度． （2）判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由． 【分析】（1）由三角形周长公式可求解；（2）由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC的周长为4+2，AB＝4，BC＝﹣， ∴AC＝4+2﹣4﹣（﹣）＝+； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2＝16，BC2+AC2＝5﹣2+3+5+2+3＝16， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了二次根式的应用和勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．（8分）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是 　时间　，因变量是 　距离　； （2）小明家到学校的路程是 　1500　米． （3）小明在书店停留了 　4　分钟． （4）本次上学途中，小明一共行驶了 　2700　米，一共用了 　14　分钟． （5）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【分析】（1）根据函数图象可知纵坐标是距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）因为y轴表示距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的距离是1500米； （3）与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可． （4）共行驶的路程＝小明家到学校的距离+折回书店的路程×2． （5）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【解答】解：（1）根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间， 故图中自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； 故答案为时间，距离； （2）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校， ∴小明家到学校的距离是1500米． 故答案为1500； （3）由图象可知：小明在书店停留了12﹣8＝4分钟， 故答案为4． （4）1500+600×2＝2700（米） 即：本次上学途中，小明一共行驶了 2700米．一共用了 14分钟． 故答案为2700，14； （5）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝200米/分， 6～8分钟时，平均速度＝＝300米/分， 12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分， 所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内， “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全． 【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系． 21．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的边AB的位置如图所示． （1）点A坐标为 　（﹣3，1）　；点B坐标为 　（1，3）　； （2）若点C的坐标为（﹣1，4），请在图中画出△ABC； （3）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （4）直接写出点C1的坐标为 　（﹣1，﹣4）　． 【分析】（1）根据A，B的位置写出坐标即可； （2）作出点C，连接AC，BC，AB即可； （3）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （4）根据点C1的位置写出坐标即可． 【解答】解：（1）A（﹣3，1），B（1，3）． 故答案为：（﹣3，1），（1，3）； （2）如图，△ABC即为所求； （3）如图，△A1B1C1即为所求； （4）点C1的坐标（﹣1，﹣4）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 22．（10分）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于OA，在L上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 【分析】（1）勾股定理求出OB的长，进而得到OC的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索AB的长度为x m，在Rt△ADC中，利用AD2+DC2＝AC2，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案为：． （2）设秋千绳索AB的长度为x m， 由题意可得AC＝AB＝x m， 四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m， ∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， 即（x﹣3）2+62＝x2， 解得x＝7.5； 即AC的长度为7.5m； 答：绳索AC的长为7.5m． 【点评】本题考查勾股定理的应用，无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23．（10分）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）295.84的算术平方根是 　17.2　，316.84的平方根是 　±17.8　； （2） 　17.3　；（保留一位小数） （3）＝　171　，＝　1.77　； （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　4　个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 【分析】（1）利用算术平方根和平方根的意义解答即可； （2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （5）由表格中的数据，可估算出18＜，进而确定m的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵（±17.2）2＝295.84，（±17.8）2＝316.84， ∴295.84的算术平方根是17.2；316.84的平方根是±17.8； 故答案为：17.2；±17.8； （2）∵17.32≈299.3， ∴≈17.3； 故答案为：17.3； （3）∵1712＝29241，1.772≈3.1329， ∴＝171；≈1.77； 故答案为：171；1.77； （4）∵＝17.6，＝17.7， 又∵介于17.6与17.7之间， ∴n的可能值为310，311，312，313， ∴满足条件的整数n有4个． 故答案为：4； （5）∵18＜， ∴的整数部分为m＝18， ∴﹣（m﹣16）3 ＝﹣（18﹣16）3 ＝﹣23 ＝7﹣8 ＝﹣1． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根，正确利用平方根和算术平方根的意义计算是解题的关键． 24．（12分）阅读理解：在平面直角坐标系中，P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1P2的距离．如图，在Rt△P1P2Q，|P1P2|2＝|P1Q|2+|P2Q|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2，所以|P1P2|＝．因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式为|P1P2|＝．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点P（2，6），Q（﹣3，﹣6），试求P、Q两点间的距离； （2）已知点M（m，5），N（1，2）且MN＝5，求m的值； （3）求代数式的最小值． 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点（x，y）到两点..和（﹣3，﹣4）的距离之和，求出两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离便是的最小值． 【解答】解：（1）根据两点的距离公式得，； （2）（m﹣1）2+9＝25， ∴m1＝5，m2＝﹣3； （3）∵看成点（x，y）到两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离之和， ∴的最小值为点（x，y）到两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离之和的最小值， ∵当点（x，y）在以两点（3，0）和（﹣3，﹣4）为端点的线段上时，点（x，y）到两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离之和的最小值，其最小值为以两点（3，0）和（﹣3，﹣4）为端点的线段长度， ∴的最小值为． 【点评】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）． （1）填空：m＝　3　，b＝　6　； （2）求△ACD的面积； （3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 【分析】（1）由C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出△ACD的面积； （3）由已知条件可得△ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标； （4）由△ACP是直角三角形、∠CAP是锐角，分∠APC＝90°和∠ACP＝90°两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b的图象的交点， ∴m+2＝5，解得m＝3， ∴﹣×3+b＝5，解得b＝6， 故答案为：3，6； （2）一次函数y1＝x+2中，当y1＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y1＝2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， 一次函数y2＝﹣x+6中，当y2＝0时，x＝18， ∴D（18，0）， ∴AD＝18﹣（﹣2）＝20， ∴S△ACD＝×20×5＝50， ∴△ACD的面积为50； （3）如图： 在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21， ∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21， ∴S△ABM＝S△ACD＝×50＝8， ∴AM•OB＝8，即AM×2＝8， ∴AM＝8， ∵点M在线段AD上， ∴点M的坐标为（6，0）； （4）点P在线段AD上，∠CAP是锐角，若△ACP是直角三角形，则∠APC＝90°或∠ACP＝90°， 设点P（p，0）， ∵A（﹣2，0），C（3，5）， ∴AC2＝（3+2）2+52， AP2＝（p+2）2， PC2＝（p﹣3）2+52， 当∠APC＝90°时，AP2+PC2＝AC2， ∴（p+2）2+（p﹣3）2+52＝（3+2）2+52， 整理得，p2﹣p﹣6＝0， 解得p＝3或﹣2（舍去）， ∴点P坐标为（3，0）； 当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝AP2， ∴（p+2）2＝（3+2）2+52+（p﹣3）2+52， 解得p＝8， ∴点P坐标为（8，0）； 解法二：当∠APC＝90°时，CP⊥x轴． ∴P（3，0）． 当∠ACP＝90°时，△ACP是等腰直角三角形，可得P（8，0）． 综上所述，所有符合条件的点P坐标为（3，0）或（8，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$