四川省成都市郫都区第二中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都市郫都区第二中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（4分）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝4cm，b＝2cm，c＝10cm，则线段d的长为（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（4分）“水中捞月”这个事件发生的概率是（　　） A．0 B． C． D．1 4．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　） A．6 B．9 C．18 D．27 6．（4分）如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么一元二次方程bx2+x﹣k＝0根的存在情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 7．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，DE＝9，则BC的长为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 8．（4分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则x1•x2（x1+x2）＝ 　 　． 10．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则字母已知数k的取值范围为 　 　． 11．（4分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 　 　cm3． 12．（4分）已知：如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是　 　． 13．（4分）如图，△ABD和△DEC均为直角三角形，点C为BD中点，若AD⊥CE，AB＝2，ED＝5，则BC的长为 　 　． 三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）解方程： （1）x2﹣4x+1＝6； （2）． 15．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝10，BC＝5，点C（10，3）． （1）在第一象限中，画出以原点O为位似中心，将△ABC缩小后所得的△A1B1C1，且AB：A1B1＝2：1； （2）求△A1B1C1的面积． 16．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 17．（10分）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 18．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE． （1）求证：△BCD≌△ACE； （2）求证：△ADF∽△BCD； （3）若，AB＝10，求△ADF的面积． 一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（4分）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x﹣3，则p的值是 　 　． 20．（4分）若α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝　 　． 21．（4分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 　 　． 22．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝7，CA＝3．经过点A的直线交边BC于点D，在这个图形中，如果以AD为一边的三角形与△ABC相似，那么BD的长为 　 　． 23．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB的值为 　 　． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 25．（10分）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （2）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ． 26．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BA于点F，作射线DF交AC于点G． （1）求证：DE＝EF； （2）求证：DG2＝GE•GC； （3）若AF＝2，求EG的长． 2024-2025学年四川省成都市郫都区第二中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（4分）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图的特点解答即可． 【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意； B、圆柱的主视图是矩形，故此选项不符合题意； C、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意； D、正方体的主视图为正方形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置． 2．（4分）若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝4cm，b＝2cm，c＝10cm，则线段d的长为（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d． 【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查成比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 3．（4分）“水中捞月”这个事件发生的概率是（　　） A．0 B． C． D．1 【分析】首先判断“水中捞月”是不可能事件，进而得出这个事件发生的概率． 【解答】解：“水中捞月”是不可能事件，所以这个事件发生的概率是0． 故选：A． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】一移，二配，三变形，将方程配方后，求出a，b的值，进而求出ab的值即可． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024， ∴（x﹣1）2＝2025， ∴a＝﹣1，b＝2025， ∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1； 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法是关键． 5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　） A．6 B．9 C．18 D．27 【分析】先由OA：AD＝1：2可得OA：OD＝1：3，再利用位似的性质得到△ABC∽△DEF、AB∥CE，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵OA：AD＝1：2， ∴OA：OD＝1：3， ∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心， ∴△ABC∽△DEF、AB∥DE， ∴， ∵△ABC∽△DEF， ∴， ∴S△DEF＝9S△ABC＝9×2＝18． 故选：C． 【点评】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行（或共线）是解答本题的关键． 6．（4分）如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么一元二次方程bx2+x﹣k＝0根的存在情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【分析】先根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，再根据一元二次方程bx2+x﹣k＝0中，Δ＝4k+1＞0，即可得出答案． 【解答】解：根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，b＜0， ∴bk＞0， ∴一元二次方程bx2+x﹣k＝0中，Δ＝12﹣4b•（﹣k）＝4k+1＞0， ∴一元二次方程bx2+x﹣k＝0中根的存在情况是有两个相等的实数根， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出Δ的符号． 7．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，DE＝9，则BC的长为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 【分析】证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得出，则可求BC的长． 【解答】解：∵AD＝3BD，DE＝9， ∴AB＝4BD， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴BC＝12， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是本题的关键． 8．（4分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可． 【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′． ∴EP+FP＝EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD， ∵AF＝2，AE＝1， ∴DF＝DF′＝AE＝1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′＝AD＝3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． 二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则x1•x2（x1+x2）＝ 　8　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得+x2＝﹣＝﹣2，x1•x2＝＝﹣4，代入计算可得答案． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1•x2＝＝﹣4， ∴x1•x2（x1+x2）＝﹣4×（﹣2）＝8； 故答案为：8． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 10．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则字母已知数k的取值范围为 　k＞3且k≠5　． 【分析】根据题意构建不等式组解决问题即可． 【解答】解：由题意， 解得k＞3且k≠5． 故答案为：k＞3且k≠5． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 11．（4分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 　96　cm3． 【分析】根据三视图的形状判断几何体的形状，再根据三棱柱体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱，底面是两条直角边的分别为6cm，8cm的直角三角形，高是4cm， 所以体积为×6×8×4＝96（cm3）， 故答案为：96． 【点评】本题考查由三视图判断几何体，理解视图的定义，掌握由三视图判断几何体的方法以及三棱柱体积的计算方法是正确解答的关键． 12．（4分）已知：如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是　120°　． 【分析】由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM＝∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论． 【解答】解：∵△BPM∽△PAN，∴∠BPM＝∠A， ∵△PMN是等边三角形，∴∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°＝120°， 故答案为120°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 13．（4分）如图，△ABD和△DEC均为直角三角形，点C为BD中点，若AD⊥CE，AB＝2，ED＝5，则BC的长为 　　． 【分析】根据题意可证△ABD∽△CDE，由相似三角形的性质可得，根据点C为BD中点，设BC＝CD＝x，则BD＝2x，由此列式求解即可． 【解答】解：∵△ABD和△DEC均为直角三角形，AD⊥CE， ∴∠B＝∠CDE＝90°， ∵∠E+∠DCE＝∠DCE+∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADC， ∴△ABD∽△CDE， ∴， ∵点C为BD中点， ∴设BC＝CD＝x，则BD＝2x， ∵AB＝2，ED＝5， ∴，则x2＝5， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）解方程： （1）x2﹣4x+1＝6； （2）． 【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式求出即可； （2）先求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式求出即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝6， x2﹣4x﹣5＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣5）＝16+20＝36＞0， ∴x＝＝2±3， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）2x2﹣2x﹣3＝0， a＝2，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝8+24＝32＞0， ∴x＝＝． ∴x1＝，x2＝﹣． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 15．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝10，BC＝5，点C（10，3）． （1）在第一象限中，画出以原点O为位似中心，将△ABC缩小后所得的△A1B1C1，且AB：A1B1＝2：1； （2）求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1，结合位似的性质作图即可． （2）由题意得，∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，A1B1＝5，B1C1＝，利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A1B1C1，且AB：A1B1＝2：1， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1． 如图，△A1B1C1即为所求． （2）∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1， ∴∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，＝2， 即＝2， ∴A1B1＝5，B1C1＝， ∴△A1B1C1的面积为＝＝． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、三角形的面积，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 16．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金＝前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x， 根据题意得：1280（1+x）2＝1280+1600， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）． 答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%． （2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， 根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000， 解得：a≥1900． 答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于a的一元一次不等式． 17．（10分）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【分析】（1）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （2）分BC为腰和BC为底边两种情况进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6； （2）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11； 综上：周长为11或13． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．（10分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE． （1）求证：△BCD≌△ACE； （2）求证：△ADF∽△BCD； （3）若，AB＝10，求△ADF的面积． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差求出BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，利用SAS证明△ACE≌△BCD即可； （2）根据等边三角形的性质求出∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°，根据平角定义、三角形内角和定理求出∠ADF＝∠BCD，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”可证明△ADF∽△BCD； （3）过点C作CH⊥AB于H，由等边三角形的性质首先求出S△BDC，由（2）知△ADF∽△BCD，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△EDC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CD＝CE， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∵△BCD≌△ACE（SAS）； （2）证明：∵△ABC和△EDC为等边三角形， ∴∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠ADF+∠BDC＝120°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BDC+∠BCD＝120°， ∴∠ADF＝∠BCD， ∴△ADF∽△BCD； （3）解：过点C作CH⊥AB于H， ∵△ABC是等边三角形，＝，AB＝AD+BD＝10， ∴BD＝4，AC＝BC＝AB＝10， ∴AD＝6， 在Rt△BCH中，∠B＝60°， ∴∠BCH＝30°， ∴BH＝BC＝5， ∴CH＝＝5， ∴S△BDC＝BD•CH＝×4×5＝10， 由（2）知△ADF∽△BCD， ∴＝＝＝， 即＝， ∴S△ADF＝． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出合理的辅助线并熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（4分）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x﹣3，则p的值是 　﹣1　． 【分析】由题意知x2+px﹣6＝（x﹣3）（x+2）＝0，再将（x﹣3）（x+2）展开即可得出答案． 【解答】解：由题意知x2+px﹣6＝（x﹣3）（x+2）＝0， ∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6， ∴p＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 20．（4分）若α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝　8　． 【分析】根据α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，可以得到α+β＝﹣3，α2+3α﹣5＝0，然后将所求式子变形，即可求出相应的数值． 【解答】解：∵α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣5＝0， ∴α2+3α＝5， ∴α2+2α﹣β ＝α2+3α﹣α﹣β ＝（α2+3α）﹣（α+β） ＝5﹣（﹣3） ＝5+3 ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 21．（4分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 　　． 【分析】根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可． 【解答】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，共有（x+y）个棋， ∵从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是， ∴可得关系式＝， ∴8x＝3x+3y， 即5x＝3y， ∴＝． 故答案为：． 【点评】此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 22．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝7，CA＝3．经过点A的直线交边BC于点D，在这个图形中，如果以AD为一边的三角形与△ABC相似，那么BD的长为 　或　． 【分析】分两种情况讨论，当∠BAD＝∠C时，△ABD∽△CBA，当∠CAD＝∠B时，△CAD∽△CBA，再分别根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：当∠BAD＝∠C时， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴； 当∠CAD＝∠B时， ∵∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴， ∴， ∴， 综上所述，BD的长为 或， 故答案为： 或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 23．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB的值为 　20　． 【分析】如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a． ∵BE＝BA， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD， ∴∠BAD＝∠E， ∵∠ADB＝∠EDA， ∴△ADB∽△EDA， ∴＝， ∴AD2＝8（8+a）＝64+8a， ∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2， ∴64+8a﹣72＝a2﹣152， 解得a＝20或﹣12（舍弃）． ∴AB＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式Δ＝（2m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）进而即可求解； （2）利用根与系数的关系x1+x2＝﹣2m﹣2，x1x2＝2m﹣1，求解即可． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0， ∵Δ＝（2m+2）2﹣4×1×（2m﹣1） ＝4m2+8m+4﹣8m+4 ＝4m2+8＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得x1+x2＝﹣2m﹣2，x1x2＝2m﹣1， ∵（x1+1）（x2+1）＝a， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝a， ∴2m﹣1+（﹣2m﹣2）+1＝a， 解得：a＝﹣2． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 25．（10分）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （2）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ． 【分析】（1）∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ（含30度角的直角三角形的性质和勾股定理）的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求； （2）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，得出比例式建立方程求解即可． 【解答】解：（1）过Q作QE⊥AB，垂足为E， 在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t， ∴BE＝t， 由AP＝t，得PB＝6﹣t， ∴ ∴； （2）∵QR∥BA， ∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°， ∴△QRC是等边三角形， ∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t， ∵， ∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t， ∴EP∥QR，EP＝QR， ∴四边形EPRQ是平行四边形， ∴， 又∵∠PEQ＝90°， ∴∠APR＝∠PRQ＝90°， ∵△APR∽△PRQ， ∴， ∴， 解得， ∴当时，△APR∽△PRQ． 【点评】本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 26．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线AC上的点，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BA于点F，作射线DF交AC于点G． （1）求证：DE＝EF； （2）求证：DG2＝GE•GC； （3）若AF＝2，求EG的长． 【分析】（1）证明△DCE≌△BCE，得DE＝BE，证出EF＝BE； （2）证出△DGE∽△CGD，由相似三角形的对应边成比例可得出结论DG2＝GE•GC： （3）先求出CE长，将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG，易证△DMG≌△DEG，△AMG是直角三角形，得出EG2＝AG2+CE2，设EG＝x，则列出方程可求出EG． 【解答】（1）证明：如图，连接BE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°， 在△DEC和△BEC中， ， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE， ∴∠ADE＝∠ABE， ∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°， ∴∠ADE+∠AFE＝180°， ∵∠AFE+∠EFB＝180°， ∴∠ADE＝∠EFB， ∴∠ABE＝∠EFB， ∴EF＝BE， ∴DE＝EF； （2）证明：∵∠DEF＝90°，DE＝EF， ∴∠GDE＝45°＝∠DCG， 又∵∠DGE＝∠CGD， ∴△DGE∽△CGD， ∴＝， 即DG2＝GE•CG； （3）解：如图，过点E作EN⊥AB于点N， ∵AF＝2，AB＝4， ∴BF＝2，AC＝＝4， ∵BE＝EF，EN⊥AB， ∴FN＝BN＝1， ∴AN＝3， ∴AE＝＝3， ∴CE＝AC﹣AE＝， 将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG， ∴DM＝DE，AM＝CE，∠MDA＝∠EDC，∠DAM＝∠DCE＝45°， ∴∠MDG＝∠EDG＝45°，∠MAG＝∠DAM+∠DAC＝90°， ∴△AMG是直角三角形， ∵DG＝DG， ∴△DMG≌△DEG（SAS）， ∴MG＝GE， ∴MG2＝EG2＝AM2+AG2＝CE2+AG2， 设EG＝x，则AG＝3﹣x， ∴（）2+（3﹣x）2＝x2， 解得：x＝， 即EG＝． 【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$