第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的值是（    ） A． B． C．1 D． 2．如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，在Rt中，分别为的中点，连接．若，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．如图，是电杆的一根拉线，且米，测得，则电杆的高为(    ) A． B． C． D．以上都不对 6．如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（   ）    A．2 B． C． D．4 7．如图，在矩形中，对角线交于点O，交延长线于点M，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，N为CD的中点，MNꓕCD，CM=2CN，连接BD、MA，MA交BD于点O，则sin∠AOB的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知为锐角，且，则 °． 10． ． 11．如图，这是某地铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度，小宇乘扶梯从扶梯底端A以0.6米/秒的速度，用时50秒到达扶梯顶端B，则小宇上升的垂直高度为 米． 12．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ． 13．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）计算：． 15．（本题5分）计算：． 16．（本题5分）如图，在中，，，，求的值． 17．（本题5分）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（本题5分）如图，在中，于点，，，，求的长．    19．（本题5分）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    20．（本题6分）如图，在中，，D是边的中点，过B作，交的延长线于点E，，，求： (1)线段的长； (2)的值． 21．（本题6分）某校数学社团的同学想测量敬德塔的高度．社团成员利用自制的测角仪在点B处测得塔顶A的仰角为，从点E向正前方行进4米到点F处，再用测角仪在点C处测得塔顶A的仰角为，已知测角仪BE的高度为1.6米，且D、E、F三点在同一条直线上．求敬德塔的高度（参考数据：，，）． 22．（本题7分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图，李乐利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点M处，测得点M距地面上C点，点C处的俯角为，距楼顶A点，点A处的俯角为，其中点A，B，C，M在同一平面内．若每层教学楼的高度为，楼顶加盖，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：，，）    23．（本题7分）晓华和小菲一起合作来测量某建筑物顶部广告牌的高．如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端的影子在处，同时，晓华站在处的影长为，；然后，小菲在处测得楼房的顶端的仰角为，．晓华的身高，点在同一水平线上，点在上，，，根据以上测量方法和数据请求出广告牌的高．（参考数据：，，） 24．（本题7分）如图，在四边形中，，对角线，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 25．（本题8分）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动．如图，某一时刻，古树在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根米高的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处，乙同学测得标杆的影长为2米，丙同学站在距离C点13米远的点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的仰角，已知丙同学的眼睛到地面的距离米，点B、C、D、E在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内． (1)请你在图中画出点D的位置；（不写画法，保留画图痕迹） (2)如果你是王朵同学，请你根据上述甲、乙、丙三位同学的测量数据，计算这棵古树的高度． 【参考数据：，，】 26．（本题10分）（1）如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形． 【初步探究】①与的关系为_______________； 【深入探究】②连接，观察并猜测的度数，并说明理由； 【衍生拓展】（2）如图2，将图1中的正方形改为矩形，，（，为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上．判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变？若的大小不变，请用含，的代数式表示的值；若的大小发生改变，请举例说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．直接根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，求一个角的余弦值，先根据勾股定理求出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ 故选：B． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了解直角三角形．由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：由图可得：， ∴． 故选：D． 4．如图，在Rt中，分别为的中点，连接．若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义， 由三角形中位线定理可得，进而可得，则推出，利用勾股定理可求，再解直角三角形可得结论； 【详解】解：在Rt中，，分别为的中点， ，， ， ， 设， ， ， 故选：A 5．如图，是电杆的一根拉线，且米，测得，则电杆的高为(    ) A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，米，， ∴， 故选：B． 6．如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据特殊角三角函数值求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值． 【详解】解：连结    ，轴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7．如图，在矩形中，对角线交于点O，交延长线于点M，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】先利用矩形的性质和勾股定理求出长，然后推导出，则有，可以求出和长，然后在中秋出余弦值即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．如图，在正方形ABCD中，N为CD的中点，MNꓕCD，CM=2CN，连接BD、MA，MA交BD于点O，则sin∠AOB的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】连接AC交BD于点E，连接EN，根据N为CD的中点，四边形ABCD是正方形，可得，，，设，则，AD=CD=2a，根据勾股定理可求得，根据等腰三角形的性质可证得，EN=CN=DN=a，可求得，，再根据，可证得，可求得，据此即可求得． 【详解】解：如图：连接AC交BD于点E，连接EN， N为CD的中点，四边形ABCD是正方形， ，，， 设，则，AD=CD=2a， ， ，N为CD的中点， ，EN=CN=DN=a， 、N、E三点共线，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质勾股定理，相似三角形的判定及性质，求角的正弦值，作出辅助线是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知为锐角，且，则 °． 【答案】60 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据特殊的三角函数值即可解出． 【详解】解： ∵ ． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值，熟记三角函数值是解题关键． 10． ． 【答案】2 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值，代入计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：2． 11．如图，这是某地铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度，小宇乘扶梯从扶梯底端A以0.6米/秒的速度，用时50秒到达扶梯顶端B，则小宇上升的垂直高度为 米． 【答案】15 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，含有30度角的直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：米，，从而可得，然后根据已知易得：在中，，从而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：（米），， ， 扶梯的坡度， ， 在中，， ， （米， 小宇上升的垂直高度为15米， 故答案为：15． 12．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形、线段中点的定义，根据三角函数求出，从而由线段中点的定义求出，再由三角函数求出即可，掌握三角函数、线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：由题可知：， ∵是的中点， ， 故答案为： 13．如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 【答案】/ 【知识点】矩形与折叠问题、求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．过E作于H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】过E作于H， 由折叠的性质得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、零指数幂、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 15．（本题5分）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的立方根、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了实数的混合计算，熟记特殊三角函数值，掌握平方差公式是解题的关键．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函数值，再计算即可得到答案． 【详解】解：原式． 16．（本题5分）如图，在中，，，，求的值． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得. 则 17．（本题5分）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析（作法不唯一） 【知识点】线段垂直平分线的性质、余弦的概念辨析、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，余弦的定义，等腰三角形的性质，根据题意只需作出的垂直平分线，得到为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得，即． 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； 是的垂直平分线， ， ． 18．（本题5分）如图，在中，于点，，，，求的长．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，通过解直角三角形求出的长，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：于点， ，为直角三角形， 在中， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：． 19．（本题5分）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    【答案】米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案． 【详解】解：过作于，设米，    在中， 即， ， 在中， ， 即， ， 解得分， （米）． 答：河宽大约为72.6米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键． 20．（本题6分）如图，在中，，D是边的中点，过B作，交的延长线于点E，，，求： (1)线段的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先解求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案； （2）先利用勾股定理求出，再证明，推出，解求出，利用勾股定理求出，则． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴； （2）解：在中，，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质与判定等等，熟知解直角三角形的方法是解题的关键． 21．（本题6分）某校数学社团的同学想测量敬德塔的高度．社团成员利用自制的测角仪在点B处测得塔顶A的仰角为，从点E向正前方行进4米到点F处，再用测角仪在点C处测得塔顶A的仰角为，已知测角仪BE的高度为1.6米，且D、E、F三点在同一条直线上．求敬德塔的高度（参考数据：，，）． 【答案】敬德塔的高度约为17.6米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点G，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G， 根据题意，得，米，米， 设米，则米， 在中，， ∴米， 在中， ∵， ∴米， ∴， 解得，即米， ∴（米）， （米）． 答：敬德塔的高度约为17.6米． 22．（本题7分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图，李乐利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点M处，测得点M距地面上C点，点C处的俯角为，距楼顶A点，点A处的俯角为，其中点A，B，C，M在同一平面内．若每层教学楼的高度为，楼顶加盖，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：，，）    【答案】该教学楼的层数为5层 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点M作于点D，过点A作于点E，在和中，分别利用锐角三角函数求出，的长，即可得的长，则可得的长，再根据题意列方程可得答案．本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：过点M作于点D，过点A作于点E，    则，，，，四边形是矩形， ， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ∴， ∴， 设该教学楼的层数为m层， 由题意得，， 解得， 答：该教学楼的层数为5层． 23．（本题7分）晓华和小菲一起合作来测量某建筑物顶部广告牌的高．如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端的影子在处，同时，晓华站在处的影长为，；然后，小菲在处测得楼房的顶端的仰角为，．晓华的身高，点在同一水平线上，点在上，，，根据以上测量方法和数据请求出广告牌的高．（参考数据：，，） 【答案】广告牌的高为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、平行投影 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影的性质，先根据同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等，可求出，再由三角函数可求出，利用线段的和差关系即可求出的高，掌握平行投影的性质及解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等，，， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴广告牌的高为． 24．（本题7分）如图，在四边形中，，对角线，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根余角的性质得，再由，即可得出结论； （2）先根据等角的正切值相等求出，进而求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（本题8分）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动．如图，某一时刻，古树在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根米高的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处，乙同学测得标杆的影长为2米，丙同学站在距离C点13米远的点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的仰角，已知丙同学的眼睛到地面的距离米，点B、C、D、E在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内． (1)请你在图中画出点D的位置；（不写画法，保留画图痕迹） (2)如果你是王朵同学，请你根据上述甲、乙、丙三位同学的测量数据，计算这棵古树的高度． 【参考数据：，，】 【答案】(1)见解析 (2)10米 【知识点】平行投影、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键： （1）根据平行投影即可作图； （2）由平行投影可得出，根据同角的正切值相等可得出，设米，则米，米，米，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：延长交于H，则，米， 由题意，知， ∴， ∴， ∴，即， 设米，则米， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得， ∴米， 即古树的高度为10米． 26．（本题10分）（1）如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形． 【初步探究】①与的关系为_______________； 【深入探究】②连接，观察并猜测的度数，并说明理由； 【衍生拓展】（2）如图2，将图1中的正方形改为矩形，，（，为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上．判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变？若的大小不变，请用含，的代数式表示的值；若的大小发生改变，请举例说明． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）的大小总保持不变， 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、求角的正切值 【分析】（1）①由正方形的性质，即可求解；②作于，证明，再证是等腰直角三角形； （2）结合①②，可证明，，再用相似三角形的性质得到结论． 【详解】（1）①四边形和四边形均为正方形， ， 即， ， 故答案为：； ②解：， 理由是：作于， ， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ； （2）解：当点由向运动时，的大小总保持不变， 理由是：作于， 由已知可得，结合①②得， 又在射线上，， ，， ， ， ； 在中，， 当点由向运动时，的大小总保持不变，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明三角形全等和相似来得到线段相等和线段成比例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$