第三章《问题解决策略：归纳》教学设计2024-2025学年鲁教版（五四制）六年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 六年级 册别 上册 课题 问题解决策略：归纳 教科书 书名：六年级数学(上册) 出版社：山东教育出版社 出版日期：2024年8月 课标分析 数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，本节课在探秘“低多边形风格构图”这一主题活动中，引导同学们通过数学的眼光，发现该客观现象中归纳策略的使用，提出有意义的数学问题；能够理解该现象背后的数学原理，感悟数学的审美价值。 数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。本节课探究活动的设定使学生亲历归纳策略解决问题的全过程，探秘该现实情境所蕴含的数学规律，在归纳的一般操作步骤中初步养成讲道理、有条理的数学思维，逐步形成理性精神。 数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。本节课三处交流展示，力求引导学生能够有意识地运用数表达归纳策略的优势、适用条件、使用经验等，并能解释表达的合理性，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成应用意识与实践能力。 教学目标 1. 完整经历一个数学问题解决的过程。 2. 体会问题解决的策略——归纳。 3. 用类似的策略解决新问题。 教学重难点 教学重点： 经历一个数学问题解决的过程，体会问题解决的策略——归纳。 教学难点： 由特例分析引出普遍结论的过程。 学情及策略分析 学生在小学阶段解决“找规律”问题的过程中已对归纳方法有了初步的认识，学生运用归纳方法解决问题的经验不足。需要通过本节课的体验和学习让归纳的眼光、观念、方法更具象、清晰、明确。六年级学生具有大胆实践的性格特征，分析、思考、推理等思维能力也达到了一定水平，小组合作交流活动也有一定的经验，因此本节课经历归纳解决问题的全过程，通过操作和想象，合作与交流，自主探索和研究。在本章的学习过程中，学生其实已经很多次经历过“归纳’的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。学生已经具备了初步的语言表达能力及符号表示能力。 问题解决过程 现实背景 低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着点数增加，效果更为斑斓绚丽。 【理解问题】 （1） 动手画一画，感受分割得到三角形的过程。 （2） 已知条件是什么？目标是什么？ 设计意图：意在通过问题引领学生弄清题意。这样的引导性问题具有一般性，多指向：条件的认识、结论的明晰、信息的表达等等。 【拟定计划】 （1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？ （2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？ （3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？ 设计意图：意在分析问题的困难，并调用过去的经验或者采用归纳、类比等策略，形成解决问题的方案。 【实施计划】 活动一：创设情境，探索本质 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着点数增加，效果更为斑斓绚丽。 师生活动：学生观察动画、动态图以及静态图形，教师将“低多边形风格”图片的颜色隐藏，学生发现其本质是一些不规则的三角形。对本类图形进行研究。 设计意图：通过展示当下热度较高的数字艺术“低多边形风格”的素材，引导学生找到其本质是对一些不规则的三角形进行不同的涂色从而达到一种光影立体效果。引导学生思考如何将长方形区域分割为三角形。为问题提出做好背景铺垫。 问题: 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 师生活动：学生思考如何解决这个问题，或者解决这个问题时遇到的困难是什么。 设计意图：35个点比较多，即使学生知道点处在长方形内部，怎么去分割情也是千变万化的，引导学生研究相对容易的问题，学生自然知道最简单的情况是1个点的情形，从而顺利进入活动二，从1个点的情形开始研究，将复杂问题简单化的过程最重要的一步。 活动二：归纳策略，找寻规律 问题1：当长方形内有1个点时，可分得多少个三角形？ 任务1: 在长方形纸内取1个点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形所有区域都变成三角形。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后，学生在学习活动单上进行作图，并根据作图思考回答三角形的个数。教师要和学生讲清楚在长方形区域分割三角形的过程。 设计意图：为了更好的理解题意的已知条件和目标增加体验性思考，学生通过动手作图，直观感受分割三角形的过程，交流作图过程的感悟从而更加正确地认识问题、明确目标。 问题2：当长方形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 任务2: 在长方形纸内取2个点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形所有区域都变成三角形。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后，学生在学习活动单上进行作图，并根据作图思考回答三角形的个数。 设计意图：学生通过动手作图，能发现选取点的位置会出现两种情况，一种是点在图形内部，另一种是点在线段上，自然而然的想到要分类讨论，培养学生系统性、全面性思考问题的习惯。 问题3：小组合作完成当长方形内有3个点时，可分得多少个三角形？ 任务3: 在长方形纸内取3个点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形所有区域都变成三角形。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后，学生在学习活动单上进行作图，并根据作图思考回答三角形的个数，并思考有什么发现。 设计意图：学生通过上个问题的解决发现选取点的位置会不同，3个点的情形学生可以独立完成，并且会有一定的发现。 任务4: 在完成学习活动单上的表格，并回答你的发现。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后，学生在学习活动单上进行填写，并根据作图和表格数据思考有什么发现。 设计意图：学生经历了前面问题的解决，通过填表让学生在数量上有了更深层次的理解，通过动手操作所画的图形与所填数字联系起来，发现规律：长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2。。 问题4：你发现的规律正确吗？ 任务4:验证猜想。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后促进学生思考，规律是否正确、能否应用，如何验证规律的正确性。 设计意图：让学生明白对于简单情形得到的规律不一定是正确的，需要多画几种情况再进一步验证一下，把特殊情形迁移到一般情况上去，得到一般规律。 问题解决: 当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 师生活动：教师提出问题后，学生尝试用自己的语言描述规律，应用此规律回答当长方形内有35个点时可分得三角形的个数。 设计意图：让学生会用自己的语言描述规律，应用此规律解决当长方形内有35个点时可分得多少个三角形的问题，能用数学语言表示出n边形时的一般规律。 【回顾反思】 （1） 如果长方形内有100个点呢？一般地，如果长方形内有n个点呢？ 长方形内点的个数 分割成的小三角形个数 100 4+2×（100-1）=202 n 4+2(n-1)=2n+2 （2）你还能提出并解决什么问题？ （3）从简单情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验？ 设计意图：引导学生回顾归纳的经验，强化问题解决的经验，改变已知条件产生新问题，反思不仅仅体现在具体内容上，还要反思策略过程，强化反思经验。 活动三：应用策略，再走“归纳”路 问题1：你能否将长方形变为三角形继续研究？ 追问1：你能否将长方形变为五边形继续研究？ 追问2：你能否将长方形变为六边形继续研究？ 追问3：你能否将长方形变为n边形继续研究？ 任务: 在多边形内取点，连同多边形其余顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到三角形所有区域都变成三角形，探究三角形的个数。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后，学生自己探究并在学习活动单上进行作图，并根据作图思考回答三角形的个数。 设计意图：鼓励学生改变问题条件对问题进行变式，提出可以进一步研究的问题。这里对多边形进行研究，应用归纳策略对一般的n边形继续研究，体会归纳策略的优势，将归纳这种数学方法梳理给学生。 问题2：针对三角形内有2个点的情形进行涂色，要求：相邻两个三角形区域颜色不同色，至少需要几种颜色？ 问题3：针对长方形内有4个点的情形，要求相邻两个三角形区域颜色不同色，至少需要几种颜色？ 任务:在纸上画出三角形和长方形，按要求进行分割得到三角形，进而研究涂色问题。 师生活动：教师提出问题及对应的任务后，学生依据问题解决策略小组合作完成并向全班展示研究成果。 设计意图：鼓励学生改变改变问题条件对问题进行变式，提出可以进一步研究的问题。这里改为涂色问题，考察学生数学分类讨论思想，为高中阶段学习排列组合打好基础。 活动四：应用策略，巩固提升 1.的个位数字是多少？ 3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…组成的三角形数阵如图所示。 ⑴第10行的10个数的和是多少？ ⑵你还能找到其他规律吗？ 师生活动：学生运用所学知识，解答活动单上的3道练习题完成后邀请学生分享做题成果。第3题解答完后，教师顺势追问，针对这个图形，你还能得到哪些结论? 设计意图：检验学生是否学会运用问题解决策略的基本步骤来解决问题，加深归纳这种方法对问题解决的理解，更好地研究问题。 活动五：课堂小结，思维升华 1.为了解决问题，我们是从什么情形入手的？ 2.从简单情形中找出某种规律后，是否就说明找到了一般性规律？还需要注意什么？ 3.要想归纳出一般性结论，我们一般要经过哪些步骤？ 设计意图：引导学生回顾本节课研究问题的过程，体会归纳策略的优势，从简单的情况入手，发现规律，通过更多的图形或数据去验证得出一般性的结论。 活动五：作业布置 1.一定规律排列的单项式：, , , , ,…第个单项式是什么？ 2. 如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段;剪2刀，绳子变为7段， (1)剪12刀，绳子变为多少段? (2)有可能正好剪得101段吗? 3. 某类简单化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子? 设计意图：第1题是一道代数规律的题目，第二题是一道生活问题，第三题是跨学科的科学性问题，看似毫不相干，其实都是应用归纳策略解决的，让学生强化问题解决策略的基本步骤，加深归纳这种方法对问题解决的理解，更好地研究问题。 板书设计 教学反思 本节课借鉴波利亚的“怎样解题表”，采用四步范式“理解问题、拟定计划、实施计划、回顾反思”展现通过归纳的方法解决问题的过程，促使学生固化这样的范式，从而形成解决问题的一般思维习惯。本节课是新课程刚增加的“中粒度”问题解决专题，对于学生而言难度较大，且缺乏解决问题的经验，通过本节课的学习，将常见的解决问题的数学思想方法归纳法梳理给学生，学生经历归纳法解决问题的全过程强化问题解决策略的基本步骤，让学生有了一定的经验和解决问题的策略，为以后更好地研究问题、解决问题打好基础 学科网（北京）股份有限公司 $$