精品解析：河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷

河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定的 5. 已知集合，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 6. 已知，则的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 8. 已知集合A，B满足，则满足条件的集合的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则（ ） A. p是存在量词命题 B. q是全称量词命题 C. p是假命题 D. 是真命题 10. 已知，则使得成立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某商场的铅笔每支0.5元，圆珠笔每支1元，小华在该商场用9元买了铅笔和圆珠笔，总共12支，则小华在该商场买了______支铅笔. 13. 某水果店三天共售出37种水果，第一天售出18种水果，第二天售出20种水果，第三天售出22种水果，前两天都售出的水果有8种，后两天都售出的水果有10种，这三天都售出的水果有4种，则第一天和第三天都售出的水果有___________种. 14. 已知，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知：关于的方程有实根，：存在，使得成立. （1）若是真命题，求的取值范围； （2）若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 17. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 18. （1）若不等式的解集是，求a，b的值； （2）当时，对任意的，都有，求的最大值； （3）若，求关于的一元二次不等式的解集. 19. 已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. （1）判断集合是否具有性质，并说明理由. （2）若集合具有性质，证明：，且. （3）当时，若集合具有性质，且，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结果. 【详解】根据题意，命题“”是存在量词命题， 其否定是. 故选：C. 2. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 3. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义求得，进而求解结论. 【详解】集合， 中元素的个数为5. 故选：B. 4. 若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小. 【详解】，故. 故选：A. 5. 已知集合，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 6. 已知，则的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知不等式结合不等式的性质配凑计算即可； 【详解】因为,所以， 因为，且, 所以,所以.故的最大值为. 故选：D. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式中的乘“1”法求解即可. 【详解】，且， . （当且仅当，即时取等号）. 故选：C. 8. 已知集合A，B满足，则满足条件的集合的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，转化为求集合的子集个数的问题即可求解. 【详解】由题意可知， 所以1，2，和4一定是集合的元素，所以只需考虑剩余元素3，5，6即可， 又集合的子集个数为， 则满足条件的集合的个数是8. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则（ ） A. p是存在量词命题 B. q是全称量词命题 C. p是假命题 D. 是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词、全称量词命题的定义、及相关概念判定真假即可. 【详解】由题意知：p是存在量词命题，q是全称量词命题，A，B正确； 因为等腰三角形是轴对称图形，所以p是真命题，C错误； 因为有些梯形（例如直角梯形）的对角线不相等，所以q是假命题，是真命题，D正确. 故选：ABD 10. 已知，则使得成立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】借助原不等式可得，结合充分条件定义即可得解. 【详解】可化为，即， 由，故，即， 即，故A、B正确；C、D错误. 故选：AB. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数的性质可得A正确，B错误；由韦达定理可得C正确；结合图像和不等式的性质再由一元二次不等式的求解可得D正确； 【详解】对于A、B，由图可知，则，所以，故A正确，B错误； 对于C，由图可知m,n是关于的方程的两个不同实根， 则所以，故C正确； 对于D，由图可得关于的不等式的解集是, 则关于的不等式0，即关于的不等式， 所以，所以或， 即关于的不等式的解集为或，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某商场的铅笔每支0.5元，圆珠笔每支1元，小华在该商场用9元买了铅笔和圆珠笔，总共12支，则小华在该商场买了______支铅笔. 【答案】6 【解析】 【分析】设小华买了支铅笔，则买了支圆珠笔，再根据题意建立方程，即可求解. 【详解】设小华买了支铅笔，则买了支圆珠笔， 依题意，，解得， 所以小华在该商场买了6支铅笔. 故答案为：6 13. 某水果店三天共售出37种水果，第一天售出18种水果，第二天售出20种水果，第三天售出22种水果，前两天都售出的水果有8种，后两天都售出的水果有10种，这三天都售出的水果有4种，则第一天和第三天都售出的水果有___________种. 【答案】9 【解析】 【分析】利用韦恩图可求第一天和第三天都售出的水果的种数. 【详解】设第一天和第三天都售出，且第二天没售出的水果有x种， 用集合A表示第一天售出的水果品种，B表示第二天售出的水果品种， C表示第三天售出的水果品种，画出Venn图， 如图所示，则，解得， 所以第一天和第三天都售出的水果有种. 故答案为：9 14. 已知，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助换元法，令，，则可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】令，，则，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的并集运算求解； （2）由题意可知，分和两种情况讨论，分别求出的取值范围，最后取并集. 【小问1详解】 集合， 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 16. 已知：关于的方程有实根，：存在，使得成立. （1）若是真命题，求的取值范围； （2）若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若是真命题，则，使得恒成立，结合二次函数性质即可求解； （2）先求出p，q为真的范围，然后结合复合命题的真假关系即可求解. 【小问1详解】 因为：存在，使得成立， 若是真命题，则，使得恒成立， 所以， 解得，， 故的范围为； 【小问2详解】 ：关于的方程有实根， 则，即， 由（1）知为真时，或， 当真，假时，，即， 当假，真时，，即， 综上，的范围为. 17. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 【答案】（1）10米，50平方米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，利用基本不等式即可求解. （2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由题意得，都为正数， ∴该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， ∴当该菜地的长为10时，该菜地的面积取得最大值，最大值为50平方米. 【小问2详解】 ∵，都为正数，∴ ∴ ， 当且仅当，又， 即时，等号成立， ∴的最小值为. 18. （1）若不等式的解集是，求a，b的值； （2）当时，对任意的，都有，求的最大值； （3）若，求关于的一元二次不等式的解集. 【答案】（1）； （2）2； （3）时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； ，不等式的解集为R； ，不等式的解集为或； ，不等式的解解集为或. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系，可得a，b的值； （2）分三种情况讨论的范围，进而求出的最大值； （3）因式分解得到，分五种情况讨论，求出不等式的解集. 【详解】（1）若不等式的解集是， 则的根为， 则，解得； （2）当时，对任意的，都有， 当时，则， 因为在上单调递增，所以， 此时， 当时，不等式显然成立， 当时，， 令在单调递增，所以，此时， 综上所述的范围为：， 即的最大值为2； （3）若，关于的一元二次不等式可得， 即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，因为，所以， 当时，不等式， 当，可得，此时不等式，解得， 当，即，可得不等式的解为或， 当，即，可得不等式的解为或， 综上所述：时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； ，不等式的解集为R； ，不等式的解集为或； ，不等式的解解集为或. 19. 已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. （1）判断集合是否具有性质，并说明理由. （2）若集合具有性质，证明：，且. （3）当时，若集合具有性质，且，求集合. 【答案】（1）集合具有性质，理由：因为都是集合的元素， 且时，也是集合A的元素， 所以集合具有性质. （2）证明：令 因为集合具有性质，所以和中至少有一个是集合的元素. 因为，所以，所以不是集合的元素， 所以是集合的元素，即0是集合的元素. 因为. 因为，所以， 所以，显然有，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）集合具有性质的定义判断即可. （2）令，利用集合具有性质，进而可得是集合的元素，进而可得结论. （3）由（2）可得，进而可得，利用定义计算可求得集合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，则， 即， 所以，所以. 因为，所以，且， 则或. 当时，， 故集合； 当时，， 故集合，此时，不符合题意. 综上，集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $