2024年重庆中考数学专题八 特殊平行四边形的综合应用（重庆专用）

专题八 特殊平行四边形的综合应用 1．（2023重庆西附三模）如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，作与交于，得到，从而得到，再通过平行线的性质得到，得到答案． 【解析】解：连接，作与交于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2024重庆一外二诊）如图，是正方形的对角线，过点C作，在上取点E﹐使得，连接，点Р是线段上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过的中点M作交于点N，连接，过点E作，交的延长线于点H，设正方形的边长为a，则，设，由勾股定理得，解得，证明得到，即，求出，勾股定理求出，由，得到，进而推出，由此求出，得到，即可得到答案，熟练掌握各定理是解题的关键． 【解析】过的中点M作交于点N，连接，过点E作，交的延长线于点H，如图， 设正方形的边长为a，则， ∵， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∵， ∴ ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024重庆中考B卷）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4．（2024重庆一中二模）如图正方形的对角线与相交于点，点为边上一动点，连接，作于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出，，利用三角形内角和定理得出，利用即可证明，得出平分，利用三角形外角性质即可得答案． 【解析】解：如图，过点作于，于，设、交于点， ∵正方形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2023重庆南开中学期中）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键． 【解析】解：如图，连接与交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 6．（2023重庆江津中学三模）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交于点G，先根据矩形的性质证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质证明，所以，继而证明，即可得到答案． 【解析】延长，交于点G， 四边形是矩形， ，， ，， 点E为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选C． 7．（2024重庆南开中学一模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则． 【解析】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选；A． 8．（2024重庆三十七中一诊）如图，正方形中，边长为8，E为中点，F为正方形内部一点，连接、，若平分且，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接，交于点O，根据勾股定理求出，证明，推出垂直平分，根据面积法，求出，再证明，即可求解，利用相似三角形，作出正确的辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图，连接交于点O， 正方形中，边长为8，E为中点， ，， 根据勾股定理可得， 平分， ， ， ， ， 垂直平分， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 可得， 故选：D． 9．（2024重庆一中三模）如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且，，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作于点H，由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求解． 【解析】解：过点F作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10．（2024重庆十一中二模）如图，在正方形中，是边上一动点，连接，过点作，垂足为，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点作于， 可证明，根据全等三角形的性质得到，，由，可求出、的长度，最后根据勾股定理即可求解． 【解析】解：如图，过点作于，         ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 11．（2024重庆渝高中学二模）如图，正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【解析】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ∵， ∴， ，，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 12．（2023重庆中考A卷）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【解析】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 13．（2024重庆巴川中学训练）如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出；再根据垂直平分线的性质得出，利用三角形内角和定理可以求得，从而得到的度数，即可求解． 【解析】解：如图，连接， ， ∵四边形是菱形， ， ， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ，即， ， ，则， ， 故选：D． 14．（2024重庆巴蜀中学一模）如图，正方形中，是上一点，是延长线上一点，，连接为中点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，根据，，以及直角三角形，可证≌，从而得到，，可证得为等腰直角三角形，则有，根据三角形的外角定理有，，接着证为等腰直角三角形；设，，则，在中，为中位线，有，，，有，又，故为等腰直角三角形，，则，而，则可得，即可求解． 【解析】解：取中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵分别是和的外角， ∴，， 设，，则， 在中，、分别为、中点， ∴为中位线， ∴，， ， ， ∴P， 又∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：D． 15．（2022重庆中考B卷）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ） A. 50° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数． 【解析】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°， ∵， ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE=∠OAF， ∵OE=OF，∠EOF=90°， ∴∠OEF=∠OFE=45°， ∵， ∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°， ∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°， 故选：C． 16．（2024重庆南开中学三模）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数． 【解析】解：四边形是正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 17．（2024重庆量子巴川三模）如图，正方形中，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，由旋转得，，，则可得．结合正方形的性质以及全等三角形的判定证明，可得，，进而可得，则，再根据，可得答案． 本题考查旋转性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【解析】解：过点作，交的延长线于点， 由旋转得，，， ． 四边形为正方形， ，， ． ，， ， ， ，． ， 即， ， ． ，， ， ． 故选：A． 18．（2024重庆巴蜀中学二模）如图，在正方形中，点 、点 分别是和 边的中点，连接 、 交于点，连接 和，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质及应用,全等三角形判定与性质；延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，． 【解析】解：延长，交于，如图： 四边形是正方形， ，， ，是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ； 故选：A． 19．（2024重庆沙八一模）如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理．过点作，连接，证明，，得出，，设，则，，再利用勾股定理即可解答． 【解析】解：过点作，连接， 为中点， ， 四边形是正方形， ， 是角平分线， ， ， ， 同理可得， ， 设，则，， ， 解得， ． 故选：C． 20．（2023重庆育才中学三模）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答． 【解析】解：∵在正方形中， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选． 21．（2024重庆中考模拟）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可． 【解析】解：设∠BAE=x°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD， ∵AE=AB， ∴AB=AE=AD， ∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=90°-x°，∠DAE=90°-x°， ∠AED=∠ADE=（180°-∠DAE）=[180°-（90°-x°）]=45°+x°， ∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AED =180°-（90°-x°）-（45°+x°）=45°． ∴∠BEF=45°． 故选：A． 22．（2024重庆中考A卷）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【解析】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 23．（2024重庆中考二模）如图，正方形的边长为，点E，F分别在，上，，连接、，与DF相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，可得，进而得到，用勾股定理求得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 24．（2024重庆巴蜀中学定时作业）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交的延长线于点G，根据矩形的性质可得，，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据可得，可表示出的度数，进一步可得的度数，再根据，可得的度数． 【解析】解：延长，交的延长线于点G，如图所示： 在矩形中， ，， ， 为边中点， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 25．（2024重庆渝北六校联盟月考）如图，在正方形中，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，若四边形的面积为10，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点作于点，设交于点，根据四边形的面积，列式即可得到答案． 【解析】解：过点作于点，设交于点， ， 正方形，， 四边形矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 26．（2024重庆南岸监测）如图，在矩形纸片中，，E是边的中点，连接，F是边上一点，连接，将矩形纸片沿着翻折，使得点C落在上（如图中的点G），则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，由勾股定理求出，根据折叠的性质得到，设，则，，由勾股定理，得到，列出方程求解即可． 【解析】解：在矩形纸片中，， ，， E是边的中点， ， 矩形纸片沿着翻折，使得点C落在上（如图中的点G）， ， ， 设，则，， ， ，即， 整理得：， 解得：， ， 故选：D． 27．（2023重庆巴蜀中学三模）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据，可得，可表示出的度数，进一步可得的度数，再根据，可得的度数． 【解析】解：延长，交的延长线于点，如图所示： 在矩形中，，， ， 为边中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 垂直平分， ， ， ∵， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 28．（2022重庆中考A卷）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C 29．（2023重庆中考B卷）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度． 【解析】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与, ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故选：D． 30．（2024重庆八中月考）如图，在正方形中，为对角线的中点，连接，为边上一点，于点，若，，则的长为(　　) A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正切的定义；过点作交于点，证明，进而求得，根据，得出，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作交于点， ∵为正方形对角线的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴, ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 31．（2024重庆一中三模）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作且，连接，点是的中点，连接、．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 连接，然后根据证明，即可得到，，然后根据角的和差解题即可． 【解析】解：连接， ∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 故选C． 32．（2023重庆一外三模）如图，正方形中，点、分别在边，上，连接、交于点，连接，，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据正方形的性质可证明，进而可证，延长交延长线于，可证得，得，即点为的中点，在中，可知，得，可知，即可求解．解题的关键是证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 【解析】解：在正方形中，， ， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 延长交延长线于，则， 又∵，， ∴， ∴，即点为的中点， 则，在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 33．（2024重庆一中二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案． 【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6， ∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°， ∴AD=5， 在 中，由等面积法得： , ∴ 故答案为： ． 34．（2024重庆中考二模）如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考差了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数交点坐标．以交点为原点，建立平面直角坐标系，得出，过点N作y轴的垂线，垂足为点E，推出，通过证明，得出，用待定系数法求出的函数解析式为，的函数解析式为，进而求得，根据两点之间的距离公式得出，，即可解答． 【解析】解：以交点为原点，建立平面直角坐标系， ∵， ∴，． ∴，， ∴， 过点N作y轴的垂线，垂足为点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设的函数解析式为， 把代入， ， 解得：， ∴的函数解析式为， 设的函数解析式为， 把，代入， ， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立，， ， 解得：， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 35．（2024重庆育才中学三诊）如图，点为矩形的边上一点，连接，，连接，交于点，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的综合，结合了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用平行加角平分线得，再利用勾股定理求得，再利用相似即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（2024重庆十一中二模）如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于．首先证明，由，推出，，由，推出，推出，再证明即可解决问题． 【解析】解：如图，延长交于． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 37．（2024重庆巴蜀中学一模）如图，在平行四边形中，于，，于，延长、交于点，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据平行四边形的性质易证，再设，，得出，然后利用勾股定理得出，，，最后根据三角形面积公式即可得出答案． 【解析】解：四边形为平行四边形 ， ， 设， 在中， 即 （负值已舍去） ， 在中， 故答案为：． 38．（2024重庆一外二诊）如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式列式计算即可求解． 【解析】解：连接，作交的延长线于点， ∵平行四边形中，， ∴，， ∴, ∵， ∴， 设， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（2024重庆渝高中学二模）在矩形中，，，平分，连接交于，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．延长交的延长线于，根据矩形的性质得到，得到，推出，根据勾股定理得到，求得，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】延长交的延长线于， 四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 40．（2024重庆育才中学二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，点为的中点，过点作的垂线分别交、于点、，连接交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点M 作交于点H，连接，由正方形的性质得到，，证明四边形是矩形，得到，，利用特殊角的三角函数值求出，，再根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，连接，易证，进而证明，得到，利用特殊角的三角函数值求出，，进而得到，，然后证明，得到，进而求得，即可求出的长． 【解析】解：过点M 作交于点H，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ，， 点为的中点，， 垂直平分， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 41．（2024重庆南开中学三模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质．连接交于，根据菱形的性质得，，则利用勾股定理开始计算出，利用面积计算长，再根据勾股定理求出，最后根据即可解决问题． 【解析】解：连接交于， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（2024重庆巴川中学训练）如图，在矩形中，，点为边上一点，且，连接，过点作的垂线交于点，若，则线段的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设，则，证明，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【解析】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：5． 43．（2023重庆江津中学三模）如图，将矩形折叠，使C点与A点重合，折痕为若，，则点A到的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质，先由勾股定理求出的长，再证明四边形是菱形，根据菱形的性质求解即可 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ 由题意可知：，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ∴点A到的距离为， 故答案为： 44．（2023重庆育才中学一诊）如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以过E作的垂线交于N，交于M，证明，设，利用列出方程，再运用勾股定理即可求解． 【解析】解：过E作的垂线交于N，交于M，如图， ∵是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，, ∴， 故答案为：． 45．（2024重庆南开中学一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到． 【解析】解：如图所示，连接，设交于F， ∵四边形是矩形，点O是对角线的中点， ∴，点O是对角线的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（2023重庆南开中学期中）如图，在平行四边形中， 的平分线与的延长线交于点E、与交于点F，且点F为边的中点， 的平分线交于点M，交于点N，连接，若，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】先判定△ADF≌△ECF，即可得到AF=EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质，即可得到DN=MN=1，最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长，进而得出DE的长． 【解析】解：点为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又平分，平分， ， ， 平分， ， 又， ， ， ， 同理可得，， 又平分， ， 中，， ，， ， 中，． 故答案为：． 47．（2024重庆育才中学一模）如图，矩形纸片，，，点在线段上，将沿向上翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于，连接交于G，连接，证明四边形是正方形，进而证明，得到；证明，推出，则，由勾股定理得，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即，根据折叠的性质，可得，，利用等面积法即可得到． 【解析】如图，过点作于，连接交于G，连接， 四边形是矩形， ， 将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得，即， 根据折叠的性质，可得，， ， ． 故答案为：． 试卷第 1 页，共 58 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题八 特殊平行四边形的综合应用 1．（2023重庆西附三模）如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 2．（2024重庆一外二诊）如图，是正方形的对角线，过点C作，在上取点E﹐使得，连接，点Р是线段上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3．（2024重庆中考B卷）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 4．（2024重庆一中二模）如图正方形的对角线与相交于点，点为边上一动点，连接，作于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5．（2023重庆南开中学期中）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6．（2023重庆江津中学三模）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7．（2024重庆南开中学一模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8．（2024重庆三十七中一诊）如图，正方形中，边长为8，E为中点，F为正方形内部一点，连接、，若平分且，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 9．（2024重庆一中三模）如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且，，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10．（2024重庆十一中二模）如图，在正方形中，是边上一动点，连接，过点作，垂足为，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 11．（2024重庆渝高中学二模）如图，正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 12．（2023重庆中考A卷）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 13．（2024重庆巴川中学训练）如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（ ） A. B. C. D. 14．（2024重庆巴蜀中学一模）如图，正方形中，是上一点，是延长线上一点，，连接为中点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 15．（2022重庆中考B卷）如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ） A. 50° B. 55° C. 65° D. 70° 16．（2024重庆南开中学三模）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ） A. B. C. D. 17．（2024重庆量子巴川三模）如图，正方形中，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则一定等于（　　） A. B. C. D. 18．（2024重庆巴蜀中学二模）如图，在正方形中，点 、点 分别是和 边的中点，连接 、 交于点，连接 和，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 19．（2024重庆沙八一模）如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 20．（2023重庆育才中学三模）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 21．（2024重庆中考模拟）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 55° 22．（2024重庆中考A卷）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 23．（2024重庆中考二模）如图，正方形的边长为，点E，F分别在，上，，连接、，与DF相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 24．（2024重庆巴蜀中学定时作业）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 25．（2024重庆渝北六校联盟月考）如图，在正方形中，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，若四边形的面积为10，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 26．（2024重庆南岸监测）如图，在矩形纸片中，，E是边的中点，连接，F是边上一点，连接，将矩形纸片沿着翻折，使得点C落在上（如图中的点G），则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 27．（2023重庆巴蜀中学三模）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 28．（2022重庆中考A卷）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 29．（2023重庆中考B卷）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 30．（2024重庆八中月考）如图，在正方形中，为对角线的中点，连接，为边上一点，于点，若，，则的长为(　　) A. B. C. 3 D. 31．（2024重庆一中三模）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作且，连接，点是的中点，连接、．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 32．（2023重庆一外三模）如图，正方形中，点、分别在边，上，连接、交于点，连接，，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 33．（2024重庆一中二模）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______． 34．（2024重庆中考二模）如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______． 35．（2024重庆育才中学三诊）如图，点为矩形的边上一点，连接，，连接，交于点，若，，则的长为______． 36．（2024重庆十一中二模）如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为______ 37．（2024重庆巴蜀中学一模）如图，在平行四边形中，于，，于，延长、交于点，若，，则线段的长为______． 38．（2024重庆一外二诊）如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为___________ 39．（2024重庆渝高中学二模）在矩形中，，，平分，连接交于，则________． 40．（2024重庆育才中学二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，点为的中点，过点作的垂线分别交、于点、，连接交于点，若，，则的长为______． 41．（2024重庆南开中学三模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是____． 42．（2024重庆巴川中学训练）如图，在矩形中，，点为边上一点，且，连接，过点作的垂线交于点，若，则线段的长为______． 43．（2023重庆江津中学三模）如图，将矩形折叠，使C点与A点重合，折痕为若，，则点A到的距离为________ 44．（2023重庆育才中学一诊）如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______． 45．（2024重庆南开中学一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为______． 46．（2023重庆南开中学期中）如图，在平行四边形中， 的平分线与的延长线交于点E、与交于点F，且点F为边的中点， 的平分线交于点M，交于点N，连接，若，则的长为____． 47．（2024重庆育才中学一模）如图，矩形纸片，，，点在线段上，将沿向上翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长_________． 试卷第 1 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$