专题21 数学语言——模型观念四(几何新定义)(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

2024《中考拐点》 ——浙江数学 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 三角形、四边形与圆的相关性质. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 总目录 2 必备素养 模型观念，运算能力，几何直观；化归思想. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 总目录 3 素养积累 三角形中的新定义 素养导向 1 1.(2023·创编)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”.如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为__________________________. 例 1 30°，90°或40°，80° 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 由题意，分两种情况： ①当60°的角为“奇妙角”时，有另一个角为30°. ∴第三个内角为180°－60°－30°＝90°； ②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2， 且∠1＝2∠2， 有∠1＋∠2＋60°＝180°，即2∠2＋∠2＝120°. 解得∠2＝40°.∴∠1＝80°. 综上所述，这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.(2022·嘉兴)小东在做九上课本123页习题：“1∶也是一个很有趣的比.已知线段AB(如图1)，用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP∶AB＝1∶.”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点.小东称点P为线段AB的“趣点”. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (1)你赞同他的作法吗？请说明理由； [解答] 解：赞同. 理由：∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°. ∴cos 45°＝＝＝. ∵AC＝AP，∴＝. ∴点P为线段AB的“趣点”. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB. ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数； 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解：由题意，得∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC. ∴∠ACP＝∠APC＝×(180°－45°)＝67.5°. ∴∠BCP＝90°－67.5°＝22.5°， ∠CPB＝180°－67.5°＝112.5°. ∵△DPE∽△CPB，D，A重合， ∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°. ∴∠CPE＝∠DPE＋∠CPB－180°＝45°. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时(CD＜AD)，猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由. 解：点N是线段ME的“趣点”. 理由：当点D为线段AC的“趣点”(CD＜AD)时，＝. ∵AC＝AP，∴＝. ∵＝，∴＝，即＝. 又∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴∠ADP＝∠ACB＝90°.∴DP∥CB. ∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE.∴DM＝PM. ∴∠MDC＝90°－22.5°＝67.5°＝∠MCD. ∴MD＝MC，∠MDP＝∠MCN＝22.5°＝∠MNC. ∴MC＝MN.∴MP＝MD＝MC＝MN. ∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∴∠EMP＝45°. ∵∠E＝∠B＝45°，∴∠MPE＝90°. ∴＝＝.∴点N是线段ME的“趣点”. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 1.(2023·创编)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线.已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D，E在边BC上，且BD＝2，E为BC的 中点，过点D的优美线交过点E的优美线于点F，那么线段AF的长等 于______. 变式 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.(2023·创编)【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. 【理解运用】 (1)如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB，BC的端点均在 格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形 ABCD，要求：点D在格点上； 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解：由题意知，四边形ABCD是等邻边四边形. 作图如图所示.(答案不唯一) 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，求CD 的长； 解：图2中，连结BD，过点D作DE⊥BC于点E. ∵AB＝AD＝4，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBC＝30°. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵DE⊥BC，∠BED＝∠CED＝90°， ∴DE＝BD＝2. ∴BE＝＝2. ∵BC＝3，∴CE＝BC－BE＝. ∴CD＝＝. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 【拓展提升】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知OC＝4，OA＝6，D是OA的中点.在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解：在矩形OABC边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”. 当CE取得最大值时，四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”. ∵四边形OABC是矩形，OC＝4，OA＝6，D是OA的中点， ∴BC∥OA，C(0，4)，A(6，0)，D(3，0). 设E(m，4)，则CE＝m. ∵CE＝DE，∴CE2＝DE2. ∴m2＝(m－3)2＋(4－0)2.解得m＝. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴CE＝，E(，4). ∴S四边形OCED＝(CE＋OD)·OC＝×(＋3)×4＝. ∴在矩形OABC边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形OCED的面积最大值为， 点E的坐标为(，4). 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 三角形新定义除了要根据定义将其转化为常规几何问题外，也特别强调迁移应用的能力. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 四边形中的新定义 素养导向 2 1.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“垂等四边形”，则下列四边形中是“垂等四边形”的是(  ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 例 2 [解析] ∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相 等，菱形的对角线互相垂直平分， ∴A，B，C选项都不符合题意. ∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，∴D选项符合题意.故选D. D 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知 矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩 形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长 为__________. 2 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×(3＋1)－x]， 依题意，得x[2×(3＋1)－x]＝2×3×1. 整理，得x2－8x＋6＝0.解得x1＝4＋，x2＝4－. 当x＝4＋时，2×(3＋1)－x＝4－＜4＋，符合题意； 当x＝4－时，2×(3＋1)－x＝4＋＞4－，不符合题意，舍去. ∴“加倍矩形”的对角线长为＝2. 故答案为2. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 3.(2023·创编)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE 绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在 DA的延长线上，则四边形BEDF______(填“是”或“不 是”)“直等补”四边形； 是 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝ 2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于点E. ①过点C作CF⊥BE于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； 证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形， AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC＋∠D＝180°.∴∠D＝90°. ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°.∴四边形CDEF是矩形. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∴DE＝CF，EF＝CD＝2. ∵∠ABE＋∠A＝90°，∠ABE＋∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF. 又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS).∴BE＝CF，AE＝BF. ∵DE＝CF，∴BE＝DE. ∵AE＝BF，EF＝2，∴AE＝BE－2. 设BE＝x，则AE＝x－2. 在Rt△ABE中，x2＋(x－2)2＝102. 解得x＝8或x＝－6(舍去).∴BE的长是8. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值. 解：∵△BCM周长为BC＋BM＋CM＝10＋BM＋CM， ∴当BM＋CM的值最小时，△BCM的周长最小. 如图2，延长CD到点G，使DG＝CD， 连结BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC， 交BC的延长线于点H. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称. ∴BM＋CM＝BM＋MG≥BG，即BM＋CM≥BM′＋M′C. ∴当点M与M′重合时，BM′＋M′C的值最小，即△BCM的周长最小，为10＋BG. 在Rt△ABE中，AE＝＝＝6. ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 又∵∠AEB＝∠H＝90°， ∴△ABE∽△CGH.∴＝＝＝＝， 即＝＝.∴GH＝，CH＝. ∴BH＝BC＋CH＝10＋＝. ∴BG＝＝＝2. ∴△BCM周长的最小值为2＋10. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝_______. 变式 3 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 四边形新定义对审题要求较高，对类比转化的能力要求也较高，要具备一定的跨情景迁移能力. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 圆中的新定义 素养导向 3 1.(2023·创编)已知定点P(a，b)，且动点Q(x，y)到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程.如图，已知一次函数的y＝－2x＋10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一 个动点，则当以OC为半径的⊙C的面积最小时，⊙C 的方程为____________________________. 例 3 (x－4)2＋(y－2)2＝(2)2 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] ∵一次函数y＝－2x＋10的图象交y轴于点A，交x轴于点B， ∴A(0，10)，B(5，0).∴OA＝10，OB＝5. ∴AB＝＝＝5. ∵以OC为半径的⊙C的面积最小，∴OC⊥AB. ∵S△ABO＝AB·OC＝OA·OB，∴OC＝＝＝2. 设C(t，－2t＋10)，则OC2＝t2＋(－2t＋10)2＝(2)2. 解得t1＝t2＝4.∴C(4，2). ∴以OC为半径的⊙C的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝(2)2. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，－3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2.开动脑筋想一想，经过点D的“蛋圆”切线的解析 式为(  ) A.y＝－2x－3 B.y＝－x－3 C.y＝－3x－3 D.y＝－x－3 A 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] ∵经过点D的“蛋圆”切线过点D(0，－3)， ∴设它的解析式为y＝kx－3. ∵AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2， ∴A(－1，0)，B(3，0). ∵抛物线过点A，B， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3). 又∵抛物线过点D(0，－3)， ∴a×1×(－3)＝－3，解得a＝1.∴y＝x2－2x－3. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 又∵抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝kx－3相切， ∴x2－2x－3＝kx－3，即x2－(2＋k)x＝0只有一个解. ∴Δ＝(2＋k)2－4×0＝0.∴k＝－2. ∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝－2x－3.故选A. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 3.(2023·创编)在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，AB，CD是⊙O的弦，如果AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB，CD是⊙O“等垂弦”. (1)如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA，OD⊥OB，分别交⊙O于点 C，D，连结CD，求证：AB，CD 是⊙O的“等垂弦”； 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解答] 证明：图②中，连结BC. ∵OC⊥OA，OD⊥OB， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°. ∴∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD. ∵∠ABC＝∠AOC＝45°，∠BCD＝∠BOD＝45°， ∴∠AEC＝∠ABC＋∠BCD＝90°， 即AB⊥CD.∴AB，CD是⊙O的“等垂弦”. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)在图①中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB，CD的分割点，＝，求AB的长度. 解：图①中，连结OA，OD，过点O作OH⊥AB， 垂足为H，OG⊥CD，垂足为G， 则四边形OHEG为矩形. ∵AB，CD是⊙O的“等垂弦”， ∴AB＝CD，AB⊥CD. ∴AH＝DG＝AB. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 又∵OA＝OD，∠AHO＝∠DGO＝90°， ∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL).∴OH＝OG. ∴矩形OHEG为正方形.∴OH＝HE. ∵＝，AH＝BH，∴AH＝2BE＝2OH， 在 Rt△AOH中，AO2＝AH2＋OH2. 即(2OH)2＋OH2＝AO2＝25. 解得OH＝，则AB＝4OH＝4. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 圆新定义综合性较强，对于灵活运用所学知识分析问题与解决问题与类比转化的能力都能得到体现. 返回首页 专题21　数学语言——模型观念四(几何新定义) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》A63～64 专题练测21 $$