专题18 数学语言——模型观念一(代数最值)(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 2024《中考拐点》 ——浙江数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1.代数式的恒等变形(如配方等). 2.非负数的性质. 3.函数的区间最值. 4.不等式(组)的解法. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 总目录 2 必备素养 推理能力，运算能力；转化思想. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 总目录 3 素养积累 配方法 素养导向 1 小明遇到下面的问题：求代数式x2－2x－3的最小值，并写出取到最小值时的x值.通过观察式子的结构特征，小明联想到可以用一元二次方程的解法中的配方法来解决问题，具体分析过程如下： 　x2－2x－3 ＝x2－2x＋1－3－1 ＝(x－1)2－4. ∴当x＝1时，代数式x2－2x－3有最小值，是－4. 例 1 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 (1)请你用上面小明思考问题的方法解决下面的问题： ①求x2－6x的最小值； ②求x2－4x＋y2＋2y＋9的最小值； [解答] 解：①按照上面小明思考问题的方法， 则x2－6x＝x2－6x＋9－9＝(x－3)2－9≥－9.∴当x＝3时， 代数式x2－6x有最小值，是－9. ②x2－4x＋y2＋2y＋9＝x2－4x＋4＋y2＋2y＋1＋4＝(x－2)2＋(y＋1)2＋4. ∴当x＝2，y＝－1时，代数式x2－4x＋y2＋2y＋9有最小值，是4. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 (2)小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4＋2x2＋6的最小值. 解：∵x4＋2x2＋6＝x4＋2x2＋1＋5＝(x2＋1)2＋5， ∴原式有最小值，是5. 请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由. 解：小明的结论错误. 理由：当x2＋1＝0时，x无实数解.∴(x2＋1)2＋5最小值不是5. ∵x2≥0，∴当x2＝0时，(x2＋1)2＋5有最小值，是6. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 1.设a，b为实数，则代数式a2＋b2－a－2b＋3的最小值是______. 2.(2022·舟山)已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为(  ) A.　　　 B.2　　　 C.　　　 D.1 变式 B 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解题反思 配方法是数学中的一种重要解题思想方法，将已知代数式(等式的一 边)配成若干个完全平方式的形式，结合其非负性质，从而使问题得到解决. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 分类讨论法 素养导向 2 (2023·创编)若一次函数y＝kx＋b中的自变量x的取值范围是－3≤ x≤6，相应的函数值y的取值范围是－5≤y≤－2，则这个一次函数的表达式是(  ) A.y＝x－4 B.y＝－x－3 C.y＝x－4或y＝－x－3 D.不能确定 例 2 C 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 [解析] ①当k＞0时，y随x的增大而增大. ∴y＝kx＋b过点(－3，－5)，(6，－2). ∴解得∴y＝x－4； ②当k＜0时，y随x的增大而减小. ∴y＝kx＋b过点(－3，－2)，(6，－5)， ∴解得∴y＝－x－3.故选C. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 1.(2023·创编)已知0≤a≤4，那么|a－2|＋|3－a|的最大值与最小值的和等于(  ) A.1 B.5 C.8 D.6 2.(2022·衢州)已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为(  ) A.或4 B.或－ C.－或4 D.－或4 变式 D D 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解题反思 当解决的问题存在一些不确定因素，这时常用分类讨论法按一定的标准或原则分为若干类，然后逐类求解，再综合这几点的结论从而求解. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 数形结合法 素养导向 3 (2023·创编)使取最小值的实数x的值 为_______. 例 3 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 [解析] 如图，C为线段BD上一动点， 分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC. 已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x，则CB＝8－x， CE＋AC＝. 当A，C，E三点在同一直线上时，CE＋AC最小. 过点E作EF⊥AB交AB延长线于点F. ∵∠ABD＝90°，∴∠FBD＝90°. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 ∵∠BDE＝∠BFE＝90°， ∴四边形BFED是矩形. ∵AB＝4，DE＝2，∴AF＝6. ∴EF＝BD＝8.AE＝＝10. ∴的最小值为10. ∵AB∥ED， ∴＝，即＝.∴x＝. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 (2023·创编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则当0≤x＜3时，函数值y的取值范围是_____________. 变式 －1≤y＜3 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解题反思 有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来，从而利用几何关系来求解. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 消元法 素养导向 4 a，b，c是非负实数，并且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1.设m ＝3a＋b－7c，记x为m的最小值，y为m的最大值.则xy＝_______. 例 4 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 [解析] 由题意，得即 ∴a＝7c－3，b＝7－11c. 由a，b，c是非负数，得解得≤c≤. 又∵m＝3a＋b－7c＝3c－2，∴－≤m≤－.∴x＝－，y＝－. 故xy＝－×(－)＝. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解题反思 对于有条件等式的多元问题，常通过消元法把多个元素转化为以某一元素为主元的等式，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，再求解. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 均值不等式 素养导向 5 阅读与应用： 阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a－2＋b≥0，从而a＋b≥2(当a＝b时取等号). 阅读2：若函数y＝x＋(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知： x＋≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x＋的最小值为2. 例 5 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x＋)，求当x＝______时，周长的最小值为_____. 问题2：已知函数y1＝x＋1(x＞－1)与函数y2＝x2＋2x＋10(x＞－1)，当x＝____时，的最小值为____. 2 8 2 6 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4 900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用.其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？(生均投入＝支出总费用÷学生人数) 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解：设学校学生人数为x，学校每天的支出总费用为y元， 则y＝4 900＋10x＋0.01x2. 每天的生均投入为＝＋10＋0.01x，当＝0.01x时，的值最小. 即x＝700(负值已舍去)时，每天生均投入费用最低， 最低费用为＋10＋0.01×700＝24(元). 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 解题反思 考查配方法的应用、二次根式的非负性，解题的关键是配方法的应 用，特别注意取最值的前提是“等号成立”. 返回首页 专题18　数学语言——模型观念一(代数最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养导向5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》B53～54 专题练测18 $$