专题19 数学语言——模型观念二(几何最值)(讲义PPT)-【中考拐点】2024年中考数学讲义（浙江专用）

2024《中考拐点》 ——浙江数学 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1.相似与全等的性质及判定. 2.轴对称、平移、旋转与位似的作图及性质. 3.直线型与圆弧形路径的确定方法. 4.三角形与四边形的性质及判定. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 总目录 2 必备素养 模型观念，推理能力，运算能力；化归思想. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 总目录 3 素养积累 垂线段最短 素养导向 1 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连结PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连结CQ.则CQ的最小值是(  ) A. B.1 C. D. 例 1 B 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 在CD的上方，作等边△CDM，连结PM， 过点M作MH⊥CB于点H. ∵△DPQ，△DCM都是等边三角形， ∴∠CDM＝∠PDQ＝60°.∴∠MDP＝∠CDQ. ∵DP＝DQ，DM＝DC， ∴△DPM≌△DQC(SAS).∴PM＝CQ.∴PM的值最小时，CQ的值最小. 当PM⊥MH时，PM的最小值为CH＝CD＝BC＝1. ∴CQ的最小值为1.故选B. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“一动一定型”最值问题.如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A，B 之间距离的最小值.通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM＋MN的最小值为 ______. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4. ∴CD＝＝＝5. 在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连结MN′，过点A作AH⊥CD于点H. ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝CD·AH， ∴AH＝＝. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′(SAS). ∴MN＝MN′. ∴EM＋MN＝EM＋MN′≥AH＝. ∴ME＋MN的最小值为. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“两动一定型” 最值问题.如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP＋PN的值最小.解题思路如下： 一找——第一步：作点M关于AC的对称点M′；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P； 二证——证明MP＋PN的最小值为M′N. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 两点之间线段最短(将军饮马) 素养导向 2 1.如图，抛物线y＝ax2－bx－4与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两 点，与y 轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一 点，则MA＋MC的最小值为_______. 例 2 4 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 连结BC交直线l于M′点，连结M′A. 当x＝0时，y＝ax2－bx－4＝－4，则C(0，－4). ∵抛物线y＝ax2－bx－4与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点， ∴A，B点关于直线l对称.∴M′B＝M′A. ∴M′A＋M′C＝M′B＋M′C＝BC. ∴此时M′A＋M′C的值最小. ∴BC＝＝4，∴M′A＋M′C的最小值为4. ∴当M点运动到M′点时，MA＋MC有最小值，最小值为4. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“两定一动型” 同侧线段和最小值问题(将军饮马模型).其问题与思路如下： 问题：两定点A，B位于直线l同 侧，在直线l上找一点P，使得 PA＋PB值最小. 思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点B关于l的对称点B′，连结AB′，与直线l的交点即为点P. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 另有异侧线段和最小值问题，属其简化形式： 问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小. 思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长.连结AB交直线l 于点P，点P即为所求. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4.点P为AC上一点，则|PF－PE|的最大值为______. 4 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 在OB上取一点E′，使得OE′＝OE，作射线FE′交AC于点P′. 则PE＝PE′.∴|PF－PE|＝PF－PE′≤FE′. 当P与P′重合，P′，E′，F三点在同一直线上时，|PF－PE′|有最大值，即为FE′的长. 在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠DAB＝60°. ∴△ABD为等边三角形. ∴AB＝BD＝AD＝12.∴OD＝OB＝6. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵BF＝DE＝4，∴OE＝OE′＝2. ∴BE′＝OB－OE′＝4.∴BF＝BE′＝4. ∵∠ABD＝60°，∴△BE′F为等边三角形. ∴E′F＝FB＝4.故|PF－PE|的最大值为4. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“两定一动型” 异侧差最大值问题.其问题与思路如下： 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大. 思路：将异侧点转化为同侧，类比上一个“解题反思”即可解决. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 另有同侧差最大值问题，属其简化形式： 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大. 思路：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A， B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长.连结AB并延长，与直线l的交 点即为点P. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点 M，N分别在BC，CD上. (1)当∠MAN＝∠C时，∠AMN＋∠ANM＝________； [解析] ∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠C＝180°－121°＝59°. ∴∠MAN＝∠C＝59°. ∴∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN ＝180°－59°＝121°. 121° 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 (2)当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝________. 118° 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 如图，作点A关于BC和CD的对称点分别为A′，A″， 连结A′A″，交BC于点M，交CD于点N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值. 作DA延长线AH. ∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°. ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝59°. ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″ ＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×59°＝118°. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“一点两线下的两动一定型”最小值问题.其问题与思路如下： 问题：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点 N，使得△PMN周长最小. 思路：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小.根据两点之间线段最短，将三条线段转化到 同一直线上即可. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点 P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为 ____________. 3＋3 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 如图，作出点A关于CD的对称点A′，作出点E关于BC的对称点E′， 连结A′E′，分别交CD，BC于点Q，P. ∴AQ＝A′Q，EP＝E′P. ∴四边形AEPQ的周长＝A′Q＋PQ＋E′P＋AE＝A′E′＋AE， 此时周长最小. ∵AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，∴AD＝3，AE＝BE＝3. ∵AD′＝AD＝3，BE′＝AE＝BE＝3， ∵AA′＝6，AE′＝9，∴A′E′＝＝＝3. ∴四边形AEPQ周长的最小值为3＋3. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“两点两线下的两动两定型”最小值问题.其问题与思路如下： 问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找点M，在OB上找点 N，使得四边形PQNM周长最小. 思路：要使四边形PQNM周长最 小，因为PQ为定值，所以求得 PM＋MN＋NQ的最小值即可， 需将PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 5.【基本模型】 问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N 的位置，使AM＋MN＋BN的值最小. 【解题思路】 一找：以AM，MN为邻边.构造▱AMNA′，作点 A′关于直线l的对称点A″，连结 A″B，交直线l 于点N，再确定点M； 二证：验证当 A″，N，B三点共线时，AM＋MN＋BN的值最小； 三计算. 请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解答] 解：如图所示. ∵四边形AMNA′为平行四边形， ∴AA′＝MN，AM＝A′N. ∵点A′与点A″关于直线l对称， ∴NA′＝NA″. ∴AM＋BN＝A″N＋NB＝BA″， ∵两点之间线段最短，MN的长度为定值，∴此时AM＋BN的值最小， 即AM＋MN＋BN的值最小. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 瓜豆原理 素养导向 3 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连结OF，则线段OF长的最小值是______. 例 3 2 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] ∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF， ∴∠APF＝60°，PF＝PA.∴△APF是等边三角形.∴AP＝AF. 如图，当点F1在x轴上时，同理可得△P1AF1为等边三角形， 则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°. ∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°. ∴∠P1AO＝30°.∴AP1＝2P1O. ∵AO＝4，由勾股定理，得P1O＝F1O＝， ∴P1A＝P1F1＝AF1＝.点F1的坐标为(，0). 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 如图，当点F2在y轴上时，同理可得△P2AF2为等边三角形. ∵AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4.∴F2(0，－4). ∵tan ∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°. ∴∠AF1P1＝60°＝∠AF1F. ∴∠AF1P1＋∠AF1F＋∠OF1F2＝180°. ∴F，F1，F2三点共线.∴点F在直线F2F1上运动. ∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝. 在Rt△OF1F2中， 设点O到F1F2的距离为h，则 ×OF1×OF2＝×F1F2×h， 即×4＝×h.解得h＝2. ∴线段OF的最小值为2. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“瓜豆原理中的直线型路径”最值问题.其问题与思路如下： 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP∶AQ是定值). 结论：P，Q两点轨迹所在直线的夹角等 于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于 MN与BC的夹角α). 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 P，Q两点轨迹长度之比等于AP∶AQ(由△ABC∽ △AMN，可得AP∶AQ＝BC∶MN). 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的点 Q的位置，连线即可，如Q点的起始位置和终点位 置，连结即得Q点轨迹线段. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 2.(2023·创编)如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为________. ＋1 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 [解析] 如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE， 连结CE，BD. ∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD， ∴BC＝CD，∠DCB＝90°. ∴∠DBC＝45°，BD＝BC. ∵△OBE是等腰直角三角形， ∴OE＝BE，∠OBE＝45°， OB＝BE＝1.∴BE＝OE＝. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 ∵∠DBC＝∠OBE，∴∠OBD＝∠CBE. 又∵＝＝，∴△DBO∽△CBE. ∴＝＝.∴OD＝CE. ∴当CE有最大值时，OD有最大值. 当C，O，E三点共线时，即点C位于C′处，CE有最大值为1＋. ∴OD的最大值为CE＝＋1. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 本题属“瓜豆原理中的圆弧形路径”最值问题.其问题与思路如下： 为了便于区分动点P，Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”. 此类问题的必要条件：(两个定量) 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)； 主动点、从动点到定点的 距离之比是定量(AP∶AQ 是定值). 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 解题反思 结论： (1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ＝∠OAM； (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP∶AQ＝AO∶AM，也等于两圆半径之比. 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于“旋转＋伸缩”. 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 如图，分别经过原点O和点A(4，0)的动直线a，b的夹角∠OBA＝30°，M是OB的中点，连结AM，则sin ∠OAM的最大值是(  ) A.　　 B.　　 C.　　 D. 变式 A 返回首页 专题19　数学语言——模型观念二(几何最值) 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》A61～62 专题练测19 $$