精品解析：四川省内江市威远县新场中学2024-2025学年九年级上册数学期中测试卷 (1)

严陵中学2025届九年级上学期半期考试数学试题 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 要使有意义，则字母x的值不能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 7. 如图，路灯离地面距离，若身高的小明站在点A处，小明的影子AM的长为，则点A离点O的距离是（ ） A. 15m B. 20m C. 24m D. 25m 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 设是方程的两个实数根，则（　　） A. B. C. D. 11. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每题6分，共20分） 13. 若与最简二次根式能够合并，则________． 14. 已知关于的方程的一个根为，则m的值为_________． 15. 秋冬是流感易发季节，已知有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中一个人传染人，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为________． 三、解答题（共44分） 17. （1）计算：； （2）解方程： 18. 已知，，求： （1） （2） 19. 关于x的方程 （1）当k为何值时方程有实数根． （2）若方程的两实数根为，且满足，求k的值． 20. 如图，在菱形中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 22. 关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为_______． 23. 已知，则_______． 24. 已知的三边、、满足，则的面积为_________． 25. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边的中点，的面积为，的面积为，．．．．．的面积为，若，则_______． 26. 如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长度． 27. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ （3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 28. 已知函数的图象与轴、轴分别交于点和点，与函数的图象交于点，点的横坐标为，为直线上一点，作轴交直线于， （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点，点M，分别在直线和上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 严陵中学2025届九年级上学期半期考试数学试题 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 要使有意义，则字母x的值不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意，被开方数为非负数即可． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由（，），，（，），合并同类二次根式，据此进行计算即可． 【详解】解：A．，结论错误，不符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论错误，不符合题意； D．，结论正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式运算，掌握公式是解题的关键． 3. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得，再根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴=． 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键． 5. 如图，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故A不符合题意； 由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故B不符合题意； 由条件，结合，可以由两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似证明，故C不符合题意； 由条件，结合，不可以证明，故D符合题意； 故选D． 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 7. 如图，路灯离地面距离，若身高的小明站在点A处，小明的影子AM的长为，则点A离点O的距离是（ ） A. 15m B. 20m C. 24m D. 25m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出：，进而利用相似三角形的性质得出的长度，继而求得的长度． 【详解】解：由题意可得：， 则，即， 解得：． 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用；在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值应大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且， 故选：C 9. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽度为x米，根据种植地的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】解：设道路宽度为x米， 根据题意得，， 故选：A． 10. 设是方程的两个实数根，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．利用一元二次方程的解的定义知，，．然后将其代入所求的代数式并化简得，进而即可求解． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = = = = = =； 故选：B． 11. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据 可得到和，再根据相似三角形的性质即可得出，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】 ， 故选：B． 12. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PH∙PC，故④正确； 故选C． 二、填空题（每题6分，共20分） 13. 若与最简二次根式能够合并，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， 依题意得：， 解得， 故答案为：3． 14. 已知关于的方程的一个根为，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程解的定义．熟知方程解的定义是解决问题的关键；将代入即可求得结果． 【详解】解：方程的一个根是， ， 解得， 故答案为：． 15. 秋冬是流感易发季节，已知有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中一个人传染人，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解． 【详解】解；根据题意，， 在矩形中，，则 ①当时，，有：，解得， 即当时，； ②当时，，有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 三、解答题（共44分） 17. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和分母有理化化简，再算加减； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ∴ 即 解得： 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义，分母有理化，以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 18. 已知，，求： （1） （2） 【答案】（1） （2）35 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，求代数式的值，因式分解等知识，将a、b的值进行化简，再将所求的代数式利用因式分解进行变形后代入求解是解题关键． （1）先求得，，再将变形为，代入即可求解； （2）将变形为，再代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：． 19. 关于x的方程 （1）当k为何值时方程有实数根． （2）若方程的两实数根为，且满足，求k的值． 【答案】（1）当时，此方程有实数根 （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解： （1）根据根的判别式的意义得到当时，方程有实数根，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系，得到关系式，将其代入计算，解出的值即可；熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知： ， 解得：， ∴当时，此方程有实数根； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∵ ∴， 解得：或， ∵， ∴k的值为． 20. 如图，在菱形中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， （负值舍去） 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元 （3）当时，最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 【小问3详解】 设利润为，则 ∴当时，最大，最大利润为元 22. 关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，令，则得出，即，即可求解． 【详解】解：令，则 ∵方程有一个根为， 方程有一根为， 有一根为， 故答案为：． 23. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，同底数幂的乘法，积的乘方等知识，先利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求出x的值，从而得出y的值，代入中，利用同底数幂的乘法公式，积的乘方公式求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 已知的三边、、满足，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，完全平方公式，勾股定理的逆定理，先根据，得出，求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求得面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 25. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边的中点，的面积为，的面积为，．．．．．的面积为，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质；首先根据题意求得的面积，又由，即可得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得，然后代数求解即可． 【详解】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边，，，，的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴当的面积为时，即 解得： 故答案为：． 26. 如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2） 证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ （3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1）、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）共有种满足条件的方案； （3）要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，解不等式即可求解； （3）设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得：， ， ∴共有种满足条件的方案； 【小问3详解】 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 28. 已知函数的图象与轴、轴分别交于点和点，与函数的图象交于点，点的横坐标为，为直线上一点，作轴交直线于， （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点，点M，分别在直线和上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的判定和性质，解一元二次方程； （1）将代入中求出值，即得出点的坐标，结合点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则，分当，时，分别表示出点到的距离，的长，根据三角形的面积公式结合题意列出方程，解方程，即可求解． （3）设，，根据题意得出，然后分三种情况分析：①若，为对角线，则的中点即是的中点；②若，为对角线，则的中点即是的中点；③若，为对角线，则的中点即为的中点；分别列出方程组求解即可 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：设，则， ∴ 点到的距离为 当时，，点到的距离为 ∵， ∴ 解得：（舍去）或 当时，，点到的距离为 ∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述：或 ∴或 【小问3详解】 设，， ∵，垂直x轴于F ∴, ①若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ②若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ③若，为对角线，则的中点即为的中点， ， 解得：， ∴， ∴； 综上可得，N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $