精品解析：安徽省合肥市庐阳中学2024—2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024～2025学年九年级上学期期中学情检测数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案． 【详解】解：设，且， 则， ∴， 故选：A 2. 若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. －8 B. －2 C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】用待定系数法求解即可； 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数解析式求解，准确计算是解题的关键． 3. 如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 但不能得到，即选项D不正确． 故选：D 4. 已知，且相似比为，则与面积的比是（ ） A. B. 1：3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴与面积的比是， 故选：C 5. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； D由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，点D，E分别在的边上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定：①有两个角分别相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且其夹角相等，则两个三角形相似；③三条边对应成比例，则两个三角形相似． 由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：由题意得，， A、当时，则，；故本选项不符合题意； B、当时，；故本选项不符合题意； C、当时，；故本选项不符合题意； D、当时，不能判断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 7. 将抛物线向下平移5个单位后，经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移和性质．根据二次函数的平移规律得到，把代入得到，再整体代入即可求出答案． 【详解】解：由抛物线向下平移5个单位后得到， 把点代入得到， ， ∴， ∴， 故选：C 8. 已知二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据，即可判断选项A；把二次函数化为顶点式即可判断B，求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断C；抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而减小，根据二次函数的对称性和增减性即可判断D． 【详解】解：A. ∵， ∴二次函数的图象的开口向下， 故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标是， 故选项错误，符合题意； C. 当时，， 解得， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是和， 故选项正确，不符合题意； D. ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而减小， ∴点关于直线的对称点为， 当时，，， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意． 故选：B 9. 弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用．根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式，利用销售这种玩偶每天的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式． 【详解】解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 根据题意得： 故选：C 10. 如图，将边长为9的正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②若，则的面积为3；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠可得： ，再证明，即可得出结论，可判定①正确；先求出的长，进而求出的长，再证明求出的长，进而求出的长，再利用三角形面积计算公式即可判断②；过点B作于，连接，证明，，推出，进而证明，再由勾股定理即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，故②错误； 过点B作于，连接，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ， 由折叠可得：，平分， ∴，． ，， ∴ ∴ ，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：． 12. 请写一个反比例函数，使它的图象分布在第二､四象限，结果是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质写出满足要求的反比例函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴所求的反比例函数解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．由勾股定理求出，根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，，，证明，由得到，则，由，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点B落在边的上方点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 14. 已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 【答案】 ①. ②. 或． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案． 【详解】解：设，且， 则， ∴ 16. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求b，c的值； （2）当x满足什么条件时，y随x的增大而减小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数系数，解二元一次方程组，二次函数的图象和性质；解题的关键是正确求解方程，熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将点的坐标代入，解方程组即可； （2）由（1）可知抛物线开口方向和对称轴，即可判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和． ∴， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知，抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，为边上一点，且，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． （2）由勾股定理求出，由已知可得根据得到，代入数值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 18. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． （1）以点O为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的相似比为； （2）若点是内部的一点，则点M在内部的对应点的坐标是__________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中位似的作图、位似图形的坐标变化规律． （1）根据位似图形的作图方法找到的对应点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的坐标变化规律即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点是内部的一点，则点M在内部的对应点的坐标是， 故答案为： 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. （1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）证明：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点P是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识． （1）按照作图步骤作出图形即可； （2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 20. 某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】（1） （2）当时，y有最大值，最大值为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 六、（本题满分12分） 21. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】（1） （2）这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）二次函数的最大值为，最小值的为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）点在二次函数的图象上，得到，解得，则二次函数的解析式为，根据对称轴求解即可； （2）求出，，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可； 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴点即为点， ∵点在的图象上，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴二次函数的最大值为，最小值的为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足． 求证： （1）； （2）； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 证明：由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识． （1）求出，，则，又由即可证明，则，结论得证； （2）证明，则，得到，进一步即可得到，又由，即可证明结论； （3）勾股定理求出，由，得到，则，由勾股定理得到，由（2）可知，，则，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年九年级上学期期中学情检测数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. －8 B. －2 C. 2 D. 8 3. 如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且相似比为，则与面积的比是（ ） A. B. 1：3 C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点D，E分别在的边上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向下平移5个单位后，经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则 9. 弗里热是2024年巴黎夏季奥运会和残奥会的吉祥物．某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为9的正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②若，则的面积为3；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，线段，则线段a，b的比例中项是__________． 12. 请写一个反比例函数，使它的图象分布在第二､四象限，结果是__________． 13. 如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则__________． 14. 已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，求的值． 16. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求b，c的值； （2）当x满足什么条件时，y随x的增大而减小． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，为边上一点，且，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． （1）以点O为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的相似比为； （2）若点是内部的一点，则点M在内部的对应点的坐标是__________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. （1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 20. 某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 六、（本题满分12分） 21. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； （2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，是等腰直角三角形，，点D，E分别在边上运动，连接交于点F，且始终满足． 求证： （1）； （2）； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $