空间向量与立体几何练习卷-2025届高三数学一轮专题复习

2025届高三数学一轮复习空间向量与立体几何练习卷 一、单选题 1．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知p：“直线平面”，“直线m不在平面内”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 3．在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点，到平面的距离分别为，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．关于直线，及平面，，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 二、多选题 9．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），记二面角的平面角为，二面角的平面角为，则（    ） A．该圆锥母线长为2 B．圆锥的体积为 C．若，则平面 D．三棱锥的外接球的半径为 10．如图，已知正方体的棱长为2，点为正方体的中心，点满足，则（     ） A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．平面与平面夹角的余弦值为 11．如图所示，在四棱锥中，底面是长方形，平面，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面平面 B．若三棱锥的体积为四棱锥的体积的，则为的中点 C．若，则不存在点使得直线和的夹角为 D．设平面平面，则点从运动到（点不与点重合）的过程中，二面角的平面角的大小逐渐减小 三、填空题 12．已知空间向量，，，若，则 ． 13．在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为 . 14．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为 . 四、解答题 15．如图，菱形的边长为4，，．将菱形沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 16．在直三棱柱中，是等腰直角三角形， ，，M是AB的中点，且． （1）求的长； （2）已知点N在棱上，若平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为 ，试确定点N的位置． 17．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为． (1)证明：平面平面． (2)求四棱锥的体积． (3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动． (1)当时，试确定点的位置并证明； (2)在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值． 19．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C B D B BCD AD 题号 11 答案 AB 12． 13．6 14． 15．（1）依题意，在三棱锥中，O为AC的中点，M为BC的中点，则，而平面，平面， 所以平面． （2）在菱形中，，O为BD的中点，则，， 在三棱锥中，有，由（1）知，而，， 即有，于是得，又，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. 16．（1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设．由得， 则，，，，， 所以，． 因为， 所以， 解得，即的长为． （2）由（1）知 设， 所以，． 设平面的一个法向量为． 由，得， 令，则，． 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， ． 解得或（舍去） 所以N在棱的中点处． 17．（1）设的中点分别为，连接． 在中，由，所以． 由，所以， 因为，所以二面角的平面角为， 则． 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，则， 所以． 又，所以． 又因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为． （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 记，则．连接． 设， 则， ． 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 因为平面，所以， 则，解得， 则．又， 所以，． 设平面的法向量为， 则由得取，得． 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．（1）在中，， 由余弦定理得，则， 有，又平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由，得，解得，即， 所以当时，点为线段的中点． （2）由（1）可得， 设平面的法向量为，则，取，得， 平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19.（1）如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以； （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$