精品解析：江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高二上学期十一月测试数学试题

江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高二上学期十一月测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示以圆心为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点，，可得所求取值范围． 【详解】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C． 2. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解. 【详解】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中. 故选：B 3. 过双曲线C：（，）的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由得直线l为的垂直平分线，进而得到，再解三角形即可求得. 【详解】解：因为，即， 所以点为的中点， 又因为，所以， 又因为，所以 因为，，所以， 所以. 故选：B. 4. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，利用求出的值，即得比值. 【详解】设，则，， 因平面的一个法向量为，则，即，解得， 故，故=． 故选：B. 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内， ，所以点到平面的距离是. 故选：C 6. 用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 25 B. 630 C. 605 D. 580 【答案】B 【解析】 【分析】先计算所有的情况，然后计算不涂红色和只有一个圆涂红色，最后求差即可. 【详解】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况；涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有种； 若没有红色， 先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 若红色涂一个圆， 当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第二个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况，涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种； 所以红色至少涂两个圆的方案有. 故选:B 7. 已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式的乘法法则可得展开后共有项，即可得答案. 【详解】解：根据多项式的乘法法则，展开后的项数为， 所以． 故选：C. 8. 已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ） A. 43 B. C. 27 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式通项公式得到第7项，从而得到方程，求出，，进而得到，则，求出有理项的系数和. 【详解】展开式的第7项为， 由题意可得，，，解得，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项的系数和为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面截正方体所得的截面即可求出面积判断D. 【详解】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ∵分别为棱的中点，∴、， 则，，∴和不共线，故A错误； 对于B，∵，，∴， ∴，∴直线与所成的角为，故B正确． 对于C，由于平面的一个法向量为， ， ∴，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ∵棱长为2，∴，，， ∴等腰梯形的高为， ∴，故D正确， 故选：BCD． 11. 设，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，令即可求解答案； 对于B选项，令即可求解答案； 对于C选项，利用二项式定理的通式进行求解即可； 对于D选项，分别令与，然后联立方程进行求解即可. 【详解】对于A选项，令，得，解得：，故A选项正确； 对于B选项，令，得：，故B选项正确； 对于C选项，由题意可知，当时，得：，故C选项错误； 对于D选项，令，得：，由上式， 两式相加得：， 解得：，故D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为______ 【答案】2 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线恒过定点， 而圆的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，直线被圆截得的弦长最短， 所以所求最短弦长为. 故答案为：2 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，设、，结合韦达定理可得出，，利用斜率公式可求得的值. 【详解】当直线与轴重合时，直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 设点、，易知点， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，同理可得， 所以，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 14. 如下图所示平行六面体中，，，，则体对角线________（用，，表示）. 【答案】 【解析】 【详解】由图可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆：过点，直线：和：均平分圆． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于点，且，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直线和的交点就是圆心，可求出结果； （2）设直线的方程为，结合圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 由点在圆上，则①， 又直线和均平分圆，则直线和均过圆心， 联立方程组，解得， 所以直线和的交点坐标为，即圆心的坐标为， 由圆：可知，圆心的坐标为， 则，解得， 将代入①，得， 所以圆的方程为：，即， 故圆C的标准方程为：. 【小问2详解】 由题可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，即， 取弦的中点为，则， 由，且为等腰三角形，则， 又，则圆心到直线l的距离为， 由点到直线的距离公式可知：，解得，， 所以直线的方程为，即直线的一般式方程为：，. 16. 已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. （1）求直线被圆截得的弦长； （2）经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值； ②已知，若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）①证明：设直线的方程为，与圆的方程联立， 可得，显然，， ，. 为定值； ②. 【解析】 【分析】（1）当到直线距离最大时，与垂直，可求出圆心的坐标，从而可以求出圆的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再由可得到弦长； （2）设直线的方程为，与圆的方程联立，可得到关于的一元二次方程，及根与系数关系．对于①，由代入根与系数关系可得到定值；对于②，可化为，代入根与系数关系即可求出，从而得到答案． 【小问1详解】 由题意，设圆心， 当的坐标为，， ，， ，，即半径为3. 圆的标准方程为. 圆心到直线的距离为， 所求弦长为. 【小问2详解】 ①略 ② ， ,, 直线的方程为. 17. 已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8. （1）求椭圆的标准方程. （2）对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可； （2）利用韦达定理求出的中点坐标，再根据可得，根据直线的垂直关系与斜率的关系求解即可. 【小问1详解】 因为的周长为 ，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，设中点为， 联立，消去整理得，， 所以，即， 所以或， 又由韦达定理可得，， 所以， 所以， 因为，所以， 由或，可知，直线的斜率均存在，且都不等于零， 所以，即， 整理得，解得， 又因为或，所以满足题意， 所以存在. 18. 已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【小问1详解】 由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， . 19. 等边三角形的边长为3，，分别是边和上的点，且，如图1.将沿折起到的位置，连结，.点满足，且点到平面的距离为，如图2. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 【答案】（1）证明：∵，点到平面的距离为， ∴点到平面的距离为1， ∵，， ∴，， 则平面，，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以， 又平面的法向量，所以， 因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量得到线段长和夹角，由垂直关系建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）得到面内的向量，从而得到面的法向量，由空间向量求得面面角； （3）由等体积转化法求出四面体体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， ，，由，得 令，则，，即. 设平面与平面夹角大小为，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高二上学期十一月测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 过双曲线C：（，）的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 25 B. 630 C. 605 D. 580 7. 已知乘积展开后共有60项，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 8. 已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ） A. 43 B. C. 27 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 11. 设，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为______ 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则__________. 14. 如下图所示平行六面体中，，，，则体对角线________（用，，表示）. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆：过点，直线：和：均平分圆． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于点，且，求直线的一般式方程． 16. 已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. （1）求直线被圆截得的弦长； （2）经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值； ②已知，若，求直线的方程. 17. 已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8. （1）求椭圆的标准方程. （2）对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 19. 等边三角形的边长为3，，分别是边和上的点，且，如图1.将沿折起到的位置，连结，.点满足，且点到平面的距离为，如图2. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $