精品解析：内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度高二数学期中考试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列直线中，与直线垂直的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 3. ，分别直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交 5. 在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆方程为（　　） A. B. C. D. 7. 已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且直线不经过第二象限，则， B. 方程（）表示的直线都经过点 C ，直线不可能与轴垂直 D. 直线的横、纵截距相等 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过6 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_____________ 13. 圆与圆公共弦长为______. 14. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为__________. 四、解答题 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1）焦点在轴上，且经过两个点和； （2）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 16. 已知直线：和圆：. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 17. 如图，在三棱锥中，，且. （1）证明：平面平面； （2）若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）当时，求直线被圆截得的弦长； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 19. 在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. （1）求二面角的余弦值； （2）线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二数学期中考试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列直线中，与直线垂直的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直，当斜率存在时，有，即得解 【详解】因为直线的斜率为3，所以与直线垂直的直线的斜率为，经观察只有选项D中的直线的斜率为 故选：D 2. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 3. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 4. 直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 平行或重合 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解. 【详解】因为直线和直线平行， 所以， 故直线，与直线平行 故选：B 5. 在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系，借助空间向量线面角的求法，求出与底面所成角的正弦值. 【详解】 如图分别以所在直线为轴､轴､轴建立直角坐标系， 由已知，得， 则重心，因而， 设与底面所成的角为，则 . 故选：A. 6. 已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出直线所过定点的坐标，由题意得出定点是圆的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆的半径长，即可得出圆的方程. 【详解】在直线的方程中，令，则，则直线过定点. 由于直线始终平分圆面积，则点是圆的圆心， 又圆与直线相切，则圆的半径. 因此，圆的方程为，即. 故选D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 7. 已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 8. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且直线不经过第二象限，则， B. 方程（）表示的直线都经过点 C. ，直线不可能与轴垂直 D. 直线的横、纵截距相等 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，求解可判断A，利用直线过定点的求法可判断B，直接举例可判断C，求出直线的横、纵截距可判断D. 【详解】对于A，因为，所以可化为， 若直线不经过第二象限，则即，，故A错误； 对于B，直线方程可整理， 由得 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误； 对于D，直线的横、纵截距均为，故正确． 故选：BD． 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过6 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的方程作出曲线图象，再由弧长公式，点到直线的距离公式对选项逐一判断， 【详解】当时，曲线方程可化为，即，是以为圆心，为半径的圆的一部分， 同理可作出其他象限内图象，如图所示， 对于A，曲线围成的图形有4条对称轴，分别是直线，，，，故A正确， 对于B，曲线围成的图形的周长是，故B错误， 对于C，曲线上的任意两点间的距离最大值为，故C正确， 对于D，到直线的距离为， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值是，故D正确， 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 13. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减即可得公共弦所在直线，分别求出其中一圆的圆心到直线的距离与半径，再利用直线与圆的相交弦长公式即可求出答案. 【详解】联立方程组，， 两式相减，得，为公共弦长所在直线的方程， 又圆的圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以两圆公共弦长. 故答案为：. 14. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离的最小值，即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 四、解答题 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1）焦点在轴上，且经过两个点和； （2）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程； （2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 16. 已知直线：和圆：. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1）半径为2，圆心坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【小问1详解】 圆可化为，则圆心为，半径为2； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 17. 如图，在三棱锥中，，且. （1）证明：平面平面； （2）若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理。证得平面，进而证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，得到向量的坐标，再分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 证明：由，且，所以， 取的中点，连接，可得， 再由，可得，即， 因为，且为的中点，可得， 又因为，且面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，又由， 以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，， 令，其中，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以； 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，其中，则上式可化为，即， 解得或舍去，所以，解得. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）当时，求直线被圆截得的弦长； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 【答案】(1) . （2）. （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时，取最大值， 圆心到直线的距离，令，，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，可得点横坐标的取值范围为． 试题解析：（）圆的方程为，圆心，半径． 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 弦长． （）∵圆心到直线的距离 ， 设弦长为，则， 当所截弦长最短时，取最大值， ∴，令， ． 令 ， 当时，取到最小值． 此时，取最大值，弦长取最小值， 直线上方程为． （）设， 当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时， ， 解得或， 由题意，圆与圆C有两个交点时符合题意， ∴点横坐标的取值范围为． 19. 在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. （1）求二面角的余弦值； （2）线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点M位置为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值； （2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解. 【小问1详解】 设是中点，为正三角形，则. 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面PAD，所以面ABCD. 又因为，， 所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，. 设平面PEC的法向量为， 由即可取. 平面EBC的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设，则， ，， 所以， 解得或0（舍），所以存在点M使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$