精品解析：湖南省湘潭市雨湖区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024年下学期期中考试试卷八年级数学科 （时量：120分钟 总分：100分） 一、单选题（每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列分式中属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等角的补角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 4. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下列算式中，计算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 7. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是【 】 A. B. C. D. 9. 如图，已知，能直接用“”证明的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 按一定规律排列的单项式：则第 n 个单项式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学记数法表示为_________每千克． 12. 若，则_________． 13. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为______． 14. 若分式的值为零，则______． 15. 若，则应满足条件______． 16. 若关于的分式方程的解为增根，则的值是 _______. 17. 如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为________________． 18. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： 20. 解下列分式方程 21. 先化简，再求值其中． 22. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 23. 在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? （2）经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 24. 探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： （1）计算：若n为正整数，猜想 ； （2）化简 （x为正整数） （3）若，求的值． 25. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； 概念应用： （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线； 动手操作： （3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数． 26. （1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中考试试卷八年级数学科 （时量：120分钟 总分：100分） 一、单选题（每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的定义，解题关键是熟知分式的定义． 根据分式定义对代数式进行逐一判断即可得解，分式定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：根据分式定义可得： 符合分式定义，是分式； 不符合分式定义，不是分式； 符合分式定义，是分式； 不符合分式定义，不是分式； 不符合分式定义，不是分式； 不符合分式定义，不是分式． 属于分式的有个． 故选：． 2. 下列分式中属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式的概念是解题关键．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，据此判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简分式，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等角的补角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断．涉及常见的几何命题的真假判断，注意平行线的性质． 对各个命题一一判断即可． 【详解】解：A．等角的补角相等，是真命题． B．两直线平行，内错角相等，是真命题． C．两直线平行，同位角相等．这是平行线的性质，没有两直线平行的前提，同位角相等，是假命题． D．对顶角相等，是真命题． 故选C． 4. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 6. 下列算式中，计算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【详解】A、，故此选项不合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 7. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义 ∴ ∴ 故选：B 8. 甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式： 【详解】设甲班每天植树x棵，乙班每天植树(x＋2)棵， 则甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为， 所以可列方程：． 故选B 9. 如图，已知，能直接用“”证明的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：． 10. 按一定规律排列的单项式：则第 n 个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知，第一个可以看成，后面的单项式的系数依次增大倍，且单项式的系数依次， 所以第n个单项式的系数为：； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学记数法表示为_________每千克． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000201=． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤a＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 13. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，求解最大整数解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，x， ∴ 为整数 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 14. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 15. 若，则应满足条件______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂的底数不为零得出答案． 【详解】解：， 则m应满足条件是：， 解得：． 故答案为：． 16. 若关于的分式方程的解为增根，则的值是 _______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，根据解分式方程先去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值了． 【详解】解： 方程两边都乘以，得： ∵方程有增根， ∴最简公分母，即增根是． 把代入整式方程，得： 解得，． 故答案为：2． 17. 如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 18. 如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为______． 【答案】76 ° 【解析】 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到，，利用平角的定义得到，计算即可求解． 【详解】如图，连接BO并延长， ∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，掌握整体思想与数形结合思想的应用是解题关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂、乘方、负整数指数幂、绝对值等知识，计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂后再进行加减法运算即可. 【详解】解： ． 20. 解下列分式方程 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程， 方程两边同时乘以，把分式方程变成整式方程求解， 然后再检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1，， 经检验，是分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． 21. 先化简，再求值其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝4代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， =， =， =， 当时， 原式==2． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 22. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 【答案】（1）证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD 在△ABD和△CED中， 所以； （2）10． 【解析】 【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明； （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可． 【详解】（1）略 (2)∵在△ABC中，D 是BC的中点 ∴ ∵ ． 答：三角形ACE的面积为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? （2）经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 （2）打通这条隧道的施工费用是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据“甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天”列分式方程求解即可； （2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． 【小问2详解】 解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 24. 探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： （1）计算：若n为正整数，猜想 ； （2）化简 （x为正整数） （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可； （3）利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 25. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念： （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； 概念应用： （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线； 动手操作： （3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴为的等角分割线； （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据垂线的定义和三角形内角和定理分别证明，即可得到结论； （2）先利用三角形内角和定理求出，则由角平分线的性质得到，则，，可证明，再求出，得到，由此即可证明为的等角分割线； （3）分当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，当是等腰三角形，时，五种情况根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质和等边对等角进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）略 （3）当是等腰三角形，时，如图， 则， ∴； 当是等腰三角形，时，如图， 则，， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在； 当是等腰三角形，时，如图， 则， ∴； 当是等腰三角形，时，如图， 则， 设，则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或或或． 26. （1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】 （1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $